不等式的证明及著名不等式Word文档下载推荐.docx

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0，因此要证明a>

b，只要证明______即可，这种方法称为求差比较法．

②求商比较法

由a>

b>

0⇔>

1且a>

0，b>

0，因此当a>

0时要证明a>

b，只要证明______即可，这种方法称为求商比较法．

（2）分析法

从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的__________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式（已知条件、定理等）．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．

（3）综合法

从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．

（4）反证法的证明步骤

第一步：

作出与所证不等式______的假设；

第二步：

从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．

（5）放缩法

所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地____________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立．

（6）数学归纳法

设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果：

（1）证明起始命题P1（或P0）成立；

（2）在假设Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以断定{Pn}对一切自然数成立．

1．已知a<

0，b<

0，且>

，则a，b的大小关系为______．

2．已知a、b、m均为正数，且a<

b，M＝，N＝，则M、N的大小关系是________．

3．设a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为__________．

4．已知a>

0，则P＝lg（1＋），Q＝[lg（1＋a）＋lg（1＋b）]的大小关系为________．

5．设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为________.

题型一　柯西不等式的应用

例1

　已知3x2＋2y2≤6，求证：

2x＋y≤.

思维升华　使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，当且仅当ad＝bc时等号成立．

跟踪训练　若3x＋4y＝2，则x2＋y2的最小值为______．

题型二　用综合法或分析法证明不等式

例2

　已知a，b，c∈（0，＋∞），且a＋b＋c＝1，

求证：

（1）（－1）·

（－1）·

（－1）≥8；

（2）＋＋≤.

思维升华　用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．

　设a，b，c>

0，且ab＋bc＋ca＝1.

（1）a＋b＋c≥；

（2）＋＋≥（＋＋）．

题型三　放缩法或数学归纳法

例3

　若n∈N*，Sn＝＋＋…＋，求证：

<

Sn<

.

思维升华　

（1）与正整数n有关的不等式证明问题，如果用常规方法有困难，可以考虑利用数学归纳法来证明．在利用数学归纳法证明不等式时，在第二步骤中，要注意利用归纳假设．同时，这一步骤往往会涉及分析法、放缩法等综合方法．本题可用数学归纳法进行证明，但较麻烦．

（2）放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性证明不等关系．常见的放缩变换有<

，>

，<

.上面不等式中k∈N*，k>

1.

　求证：

－<

1＋＋＋…＋<

2－（n≥2，n∈N＋）．

利用算术—几何平均不等式求最值

典例：

（5分）已知a，b，c均为正数，则a2＋b2＋c2＋2的最小值为________．

方法与技巧

1．不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法．

2．柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法（或判别式法）等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛．柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等．应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式．

失误与防范

1．利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征．

2．注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立.

A组　专项基础训练

1．若<

0，则下列四个结论：

①|a|>

|b|；

②a＋b<

ab；

③＋>

2；

④<

2a－b.

其中正确的是________．

2．若T1＝，T2＝，则当s，m，n∈R＋时，T1与T2的大小为________．

3．设0<

x<

1，则a＝，b＝1＋x，c＝中最大的一个是________．

4．已知x，y∈R，且xy＝1，则（1＋）（1＋）的最小值为________．

5．设x>

0，y>

0，M＝，N＝＋，则M、N的大小关系为__________．

6．若a，b∈R＋，且a≠b，M＝＋，N＝＋，则M、N的大小关系为________．

7．若a，b，c∈（0，＋∞），且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为________．

8．已知a，b，c为正实数，且a＋2b＋3c＝9，则＋＋的最大值为________．

9．设a＋b＝2，b>

0，则当a＝________时，＋取得最小值．

10．设a>

0，则以下不等式①>

，②a>

|a－b|－b；

③a2＋b2>

4ab－3b2；

④ab＋>

2中恒成立的序号是________．

B组　专项能力提升

1．已知x>

0，且＋＝1，则x＋y的最小值为_________________________．

2．函数y＝x2·

（1－3x）在上的最大值是________．

3．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则（am＋bn）（bm＋an）的最小值为________．

4．已知a，b为实数，且a>

0.

则的最小值为________．

5．P＝＋＋（x>

0，z>

0）与3的大小关系是________．

6．已知x2＋2y2＋3z2＝，则3x＋2y＋z的最小值为_________________________．

7．设a，b，c都是正数，那么三个数a＋，b＋，c＋________.（填序号）

①都不大于2；

②都不小于2；

③至少有一个大于2；

④至少有一个不小于2.

答案

基础知识自主学习

要点梳理

1．

（2）≥　a＝b　正数　不小于（即大于或等于）

（3）①x＝y　大　②x＝y　小

2．

（1）≥　a＝b＝c　不小于　

（2）不小于　≥　a1＝a2＝…＝an

4．

（1）①a－b>

0　②>

1　

（2）充分条件　（4）相反

（5）放大或缩小

夯基释疑

1．a>

b2．M<

N解析　M－N＝－＝<

0，即M<

N.

3．a>

c解析　分子有理化得a＝，b＝，c＝∴a>

c.

4．P≤Q解析　[lg（1＋a）＋lg（1＋b）]＝lg.

∵（1＋a）（1＋b）＝1＋（a＋b）＋ab≥1＋2＋ab＝（1＋）2，∴≥1＋，

∴lg（1＋）≤lg＝[lg（1＋a）＋lg（1＋b）]，

即lg（1＋）≤[lg（1＋a）＋lg（1＋b）]．∴P≤Q.

5．2解析　∵（a＋b＋c）＝[（）2＋（）2＋（）2]·

[（　）2＋（　）2＋（　）2]≥2＝18.

∴＋＋≥2.∴＋＋的最小值为2.

题型分类深度剖析

　证明　由于2x＋y＝（x）＋（y），

由柯西不等式（a1b1＋a2b2）2≤（a＋a）（b＋b）得

（2x＋y）2≤[（）2＋（）2]（3x2＋2y2）≤（＋）×

6＝×

6＝11，∴|2x＋y|≤，∴2x＋y≤.

跟踪训练1　

解析　由柯西不等式（32＋42）·

（x2＋y2）≥（3x＋4y）2，①

得25（x2＋y2）≥4，所以x2＋y2≥.

不等式①中当且仅当＝时等号成立，x2＋y2取得最小值，由方程组解得因此当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为.

　证明　

（1）∵a，b，c∈（0，＋∞），

∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，

（－1）＝≥＝8.

（2）∵a，b，c∈（0，＋∞），

∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，2（a＋b＋c）≥2＋2＋2，

两边同加a＋b＋c得3（a＋b＋c）≥a＋b＋c＋2＋2＋2＝（＋＋）2.

又a＋b＋c＝1，∴（＋＋）2≤3，∴＋＋≤.

跟踪训练2　证明　

（1）要证a＋b＋c≥，

由于a，b，c>

0，因此只需证明（a＋b＋c）2≥3.

即证：

a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3，而ab＋bc＋ca＝1，

故需证明：

a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3（ab＋bc＋ca）．

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2（当且仅当a＝b＝c时等号成立）证得．∴原不等式成立．

（2）＋＋＝.

在

（1）中已证a＋b＋c≥.

因此要证原不等式成立，只需证明≥＋＋.即证a＋b＋c≤1，

即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.

而a＝≤，b≤，c≤.∴a＋b＋c≤ab＋bc＋ca（a＝b＝c＝时等号成立）．∴原不等式成立．

　证明　∵n（n＋1）>

n2，∴Sn>

1＋2＋…＋n＝.

又∵<

＝＝n＋，

∴Sn<

（1＋）＋（2＋）＋…＋（n＋）＝＋＝<

.∴<

跟踪训练3　证明　∵k（k＋1）>

k2>

k（k－1），k≥2，

∴<

，即－<

－，

分别令k＝2,3，…，n得

1－；

－；

…

将上述不等式相加得：

－＋－＋…＋－<

＋＋…＋<

1－＋－＋…＋－，

即－<

1－，∴－<

2－.

练出高分

A组

1．②③④

解析　取特殊值a＝－1，b＝－2，

代入验证得②③④正确．

2．T1≤T2解析　因为－＝s·

＝≤0.所以T1≤T2.

3．c解析　由a2＝2x，b2＝1＋x2＋2x>

a2，a>

0得b>

a.

又c－b＝－（1＋x）＝＝>

0得c>

b，知c最大．

4．4解析　（1＋）（1＋）≥（1＋）2＝4.

5．M<

N解析　N＝＋>

＋＝＝M.

6．M>

N解析　∵a≠b，∴＋>

2，＋>

2，

∴＋＋＋>

2＋2，∴＋>

＋.即M>

7.解析　（＋＋）2＝（1×

＋1×

）2≤（12＋12＋12）（a＋b＋c）＝3.

当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．∴（＋＋）2≤3.故＋＋的最大值为.

8.解析　＋＋＝＋＋≤＝，故最大值为.

9．－2解析　由于a＋b＝2，所以＋＝＋＝＋＋，由于b>

0，|a|>

0，所以＋≥2＝1，因此当a>

0时，＋的最小值

是＋1＝；

当a<

0时，＋的最小值是－＋1＝.故＋的最小值为，此时即a＝－2.

10．②④解析　∵a>

0，∴a＋b≥2.∴≥.故①不恒成立．

②中a＋b>

|a－b|恒成立．

③中a2＋b2－4ab＋3b2＝a2－4ab＋4b2＝（a－2b）2≥0，故③不恒成立．

④中由ab>

0及ab＋≥2>

2恒成立，因此只有②④正确．

B组

1．16解析　∵x>

0，＋＝1，

∴x＋y＝（x＋y）·

＝＋＋10≥6＋10＝16，当且仅当＝时，上式等号成立．

又＋＝1，∴x＝4，y＝12时，（x＋y）min＝16.

2.解析　由y＝x2·

（1－3x）＝·

x·

x（1－3x）≤3＝.

3．2解析　由柯西不等式（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得（am＋bn）（bm＋an）≥（·

＋）2＝mn（a＋b）2＝2.

4．9解析　因为a>

0，所以a＋b＋≥3＝3>

0，①

同理可证：

a2＋＋≥3>

0.②由①②及不等式的性质得

＝3×

3＝9.

5．P<

3解析　∵P－3＝－1＋－1＋－1＝＋＋<

0，∴P<

3.

6．－2解析　∵（x2＋2y2＋3z2）[32＋（）2＋2]≥（3x＋y·

＋z·

）2＝（3x＋2y＋z）2，

当且仅当x＝3y＝9z时，等号成立．∴（3x＋2y＋z）2≤12，

即－2≤3x＋2y＋z≤2.当x＝－，y＝－，z＝－时，

3x＋2y＋z＝－2，∴最小值为－2.

7．④解析　∵a＋＋b＋＋c＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6.∴a＋，b＋，c＋三数之和不小于6，即三个数中至少有一个不小于2.