初中数学一元二次方程应用题.docx

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初中数学一元二次方程应用题

初中数学-一元二次方程应用题

一．解答题（共15小题）

1．（2014?

随州）楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．

（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；

（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？

（注：

销售利润=销售价﹣进价）

2．（2014?

重庆）为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．

（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？

（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了

a%，求a的值．

3．（2014?

乌鲁木齐）某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元，从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．

（1）求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；

（2）购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？

（累计利润是指累计生产收入减去就设备维护费或新设备购进费）

4．（2014?

玉林）我市市区去年年底电动车拥有量是10万辆，为了缓解城区交通拥堵状况，今年年初，市交通部门要求我市到明年年底控制电动车拥有量不超过11.9万辆，估计每年报废的电动车数量是上一年年底电动车拥有量的10%，假定每年新增电动车数量相同，问：

（1）从今年年初起每年新增电动车数量最多是多少万辆？

（2）在

（1）的结论下，今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是多少？

（结果精确到0.1%）

5．（2014?

宜昌）在“文化宜昌?

全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：

本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人．

（1）求2014年全校学生人数；

（2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本（注：

阅读总量=人均阅读量×人数）

①求2012年全校学生人均阅读量；

②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2013年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．

6．（2013?

绵阳）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．

（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？

（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？

7．（2013?

铜仁地区）铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90．

（1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式．

（2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？

8．（2013?

重庆）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．

（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？

（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？

（甲、乙两队的施工时间按月取整数）

9．（2013?

重庆）“4?

20”雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完．

（1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？

（2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑

次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值．

10．（2013?

贵阳）2010年底某市汽车拥有量为100万辆，而截止到2012年底，该市的汽车拥有量已达到144万辆．

（1）求2010年底至2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度，要求到2013年底全市汽车拥有量不超过155.52万辆，预计2013年报废的汽车数量是2012年底汽车拥有量的10%，求2012年底至2013年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求．

11．（2013?

百色）为响应区“美丽广西清洁乡村”的号召，某校开展“美丽广西清洁校园”的活动，该校经过精心设计，计算出需要绿化的面积为498m2，绿化150m2后，为了更快的完成该项绿化工作，将每天的工作量提高为原来的1.2倍．结果一共用20天完成了该项绿化工作．

（1）该项绿化工作原计划每天完成多少m2？

，

（2）在绿化工作中有一块面积为170m2的矩形场地，矩形的长比宽的2倍少3m，请问这块矩形场地的长和宽各是多少米？

12．（2012?

山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：

（1）每千克核桃应降价多少元？

（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

13．（2012?

乐山）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：

方案一：

打九折销售；

方案二：

不打折，每吨优惠现金200元．

试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．

14．（2012?

黔南州）2012年3月25日央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件后，全国各大药店的销售都受到不同程度的影响，4月初某种药品的价格大幅度下调，下调后每盒价格是原价格的

，原来用60元买到的药品下调后可多买2盒．4月中旬，各部门加大了对胶囊生产监管力度，因此，药品价格4月底开始回升，经过两个月后，药品上调为每盒14.4元．

（1）问该药品的原价格是多少，下调后的价格是多少？

（2）问5、6月份药品价格的月平均增长率是多少？

15．（2012?

河池）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆．

（1）若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆？

（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？

试写出所有可能的方案．

初中数学-一元二次方程应用题

参考答案与试题解析

一．解答题（共15小题）

1．（2014?

随州）楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．

（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；

（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？

（注：

销售利润=销售价﹣进价）

考点：

一元二次方程的应用；分段函数．

专题：

销售问题．

分析：

（1）根据分段函数可以表示出当0＜x≤5，5＜x≤30时由销售数量与进价的关系就可以得出结论；

（2）由销售利润=销售价﹣进价，由

（1）的解析式建立方程就可以求出结论．

解答：

解：

（1）由题意，得

当0＜x≤5时

y=30．

当5＜x≤30时，

y=30﹣0.1（x﹣5）=﹣0.1x+30.5．

∴y=

；

（2）当0＜x≤5时，

（32﹣30）×5=10＜25，不符合题意，

当5＜x≤30时，

[32﹣（﹣0.1x+30.5）]x=25，

解得：

x1=﹣25（舍去），x2=10．

答：

该月需售出10辆汽车．

点评：

本题考查了分段函数的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出分段函数的解析式是关键．

2．（2014?

重庆）为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．

（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？

（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了

a%，求a的值．

考点：

一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．

专题：

应用题．

分析：

（1）设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有（30000﹣x）元，利用“购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍”，列出不等式求解即可；

（2）根据“自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了

a%，且总集资额为20000元”列出方程求解即可．

解答：

解：

（1）设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有（30000﹣x）元，

根据题意得：

30000﹣x≥3x，

解得：

x≤7500．

答：

最多用7500元购买书桌、书架等设施；

（2）根据题意得：

200（1+a%）×150（1﹣

a%）=20000

整理得：

a2+10a﹣3000=0，

解得：

a=50或a=﹣60（舍去），

所以a的值是50．

点评：

本题考查了一元二次方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是从题目中整理出等量关系和不等关系，难度不大．

3．（2014?

乌鲁木齐）某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元，从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．

（1）求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；

（2）购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？

（累计利润是指累计生产收入减去就设备维护费或新设备购进费）

考点：

一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．

专题：

增长率问题．

分析：

（1）设每月的增长率为x，那么2月份的生产收入为100（1+x），三月份的生产收入为100（1+x）2，根据1至3月份的生产收入累计可达364万元，可列方程求解．

（2）设使用新设备y个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据不等关系可列不等式求解．

解答：

解：

（1）设每月的增长率为x，由题意得：

100+100（1+x）+100（1+x）2=364，

解得x=0.2，或x=﹣3.2（不合题意舍去）

答：

每月的增长率是20%．

（2）设使用新设备y个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，依题意有364+100（1+20%）2（y﹣3）﹣640≥（90﹣5）y，

解得y≥12．

故使用新设备12个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．

点评：

本题考查理一元二次方程的应用和解题能力，关键是找到1至3月份的生产收入累计可达100万元和不等量关系可列方程和不等式求解．

4．（2014?

玉林）我市市区去年年底电动车拥有量是10万辆，为了缓解城区交通拥堵状况，今年年初，市交通部门要求我市到明年年底控制电动车拥有量不超过11.9万辆，估计每年报废的电动车数量是上一年年底电动车拥有量的10%，假定每年新增电动车数量相同，问：

（1）从今年年初起每年新增电动车数量最多是多少万辆？

（2）在

（1）的结论下，今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是多少？

（结果精确到0.1%）

考点：

一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．

专题：

增长率问题．

分析：

（1）根据题意分别求出今年将报废电动车的数量，进而得出明年报废的电动车数量，进而得出不等式求出即可；

（2）分别求出今年年底电动车数量，进而求出今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率．

解答：

解：

（1）设从今年年初起每年新增电动车数量是x万辆，

由题意可得出：

今年将报废电动车：

10×10%=1（万辆），

∴[（10﹣1）+x]（1﹣10%）+x≤11.9，

解得：

x≤2．

答：

从今年年初起每年新增电动车数量最多是2万辆；

（2）∵今年年底电动车拥有量为：

（10﹣1）+x=11（万辆），

明年年底电动车拥有量为：

11.9万辆，

∴设今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是y，则11（1+y）=11.9，

解得：

y≈0.082=8.2%．

答：

今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是8.2%．

点评：

此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，分别表示出今年与明年电动车数量是解题关键．

5．（2014?

宜昌）在“文化宜昌?

全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：

本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人．

（1）求2014年全校学生人数；

（2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本（注：

阅读总量=人均阅读量×人数）

①求2012年全校学生人均阅读量；

②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2013年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．

考点：

一元二次方程的应用；一元一次方程的应用．

专题：

应用题．

分析：

（1）根据题意，先求出2013年全校的学生人数就可以求出2014年的学生人数；

（2）①设2012人均阅读量为x本，则2013年的人均阅读量为（x+1）本，根据阅读总量之间的数量关系建立方程就可以得出结论；

②由①的结论就可以求出2012年读书社的人均读书量，2014年读书社的人均读书量，全校的人均读书量，由2014年读书社的读书量与全校读书量之间的关系建立方程求出其解即可．

解答：

解：

（1）由题意，得

2013年全校学生人数为：

1000×（1+10%）=1100人，

∴2014年全校学生人数为：

1100+100=1200人；

（2）①设2012人均阅读量为x本，则2013年的人均阅读量为（x+1）本，由题意，得

1100（x+1）=1000x+1700，

解得：

x=6．

答：

2012年全校学生人均阅读量为6本；

②由题意，得

2012年读书社的人均读书量为：

2.5×6=15本，

2014年读书社人均读书量为15（1+a）2本，

2014年全校学生的人均读书量为6（1+a）本，

80×15（1+a）2=1200×6（1+a）×25%

2（1+a）2=3（1+a），

∴a1=﹣1（舍去），a2=0.5．

答：

a的值为0.5．

点评：

本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，增长率问题的数量关系的运用，解答时根据阅读总量之间的关系建立方程是关键．

6．（2013?

绵阳）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．

（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？

（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？

考点：

一元二次方程的应用；一次函数的应用．

分析：

（1）首先根据1月份和3月份的销售量求得月平均增长率，然后求得4月份的销量即可；

（2）设A型车x辆，根据“A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍”列出不等式组，求出x的取值范围；然后求出利润W的表达式，根据一次函数的性质求解即可．

解答：

解：

（1）设平均增长率为a，根据题意得：

64（1+a）2=100

解得：

a=0.25=25%或a=﹣2.25

四月份的销量为：

100（1+25%）=125（辆）．

答：

四月份的销量为125辆．

（2）设购进A型车x辆，则购进B型车

辆，

根据题意得：

2×

≤x≤2.8×

解得：

30≤x≤35

利润W=（700﹣500）x+

（1300﹣1000）=9000+50x．

∵50＞0，∴W随着x的增大而增大．

当x=35时，

不是整数，故不符合题意，

∴x=34，此时

=13（辆）．

答：

为使利润最大，该商城应购进34辆A型车和13辆B型车．

点评：

本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用，解题关键是根据题意列出方程或不等式，这也是本题的难点．

7．（2013?

铜仁地区）铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90．

（1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式．

（2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？

考点：

一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式．

专题：

压轴题．

分析：

（1）利用“总利润=月利润的平均值×月数”列出函数关系式即可；

（2）根据总利润等于1620列出方程求解即可．

解答：

解：

（1）y=w?

x=（10x+90）x=10x2+90x（x为正整数），

（2）设前x个月的利润和等于1620万元，

10x2+90x=1620

即：

x2+9x﹣162=0

得x=

x1=9，x2=﹣18（舍去），

答：

前9个月的利润和等于1620万元．

点评：

本题考查了一元二次方程的应用及根据实际问题列出二次函数关系式的知识，解题的关键是弄清总利润与月平均利润和月数之间的关系．

8．（2013?

重庆）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．

（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？

（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？

（甲、乙两队的施工时间按月取整数）

考点：

一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．

专题：

压轴题．

分析：

（1）设甲队单独完成需要x个月，则乙队单独完成需要x﹣5个月，根据题意列出关系式，求出x的值即可；

（2）设甲队施工y个月，则乙队施工

y个月，根据工程款不超过1500万元，列出一元一次不等式，解不等式求最大值即可．

解答：

解：

（1）设甲队单独完成需要x个月，则乙队单独完成需要（x﹣5）个月，

由题意得，x（x﹣5）=6（x+x﹣5），

解得x1=15，x2=2（不合题意，舍去），

则x﹣5=10．

答：

甲队单独完成这项工程需要15个月，则乙队单独完成这项工程需要10个月；

（2）设甲队施工y个月，则乙队施工

y个月，

由题意得，100y+（100+50）

≤1500，

解不等式得y≤8.57，

∵施工时间按月取整数，

∴y≤8，

答：

完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．

点评：

本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，难度一般，解本题的关键是根据题意设出未知数列出方程及不等式求解．

9．（2013?

重庆）“4?

20”雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完．

（1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？

（2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m顶，每辆小货车每次比原计划少运3