人教新课标版数学高一必修2讲义 空间中直线与直线之间的位置关系Word格式文档下载.docx
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(2)正确.因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种:
平行、相交或异面.
(3)错误.过平面外一点与平面内一点的连线,和平面内过该点的直线是相交直线.
(4)错误.和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线.
【答案】
(1)×
(2)√ (3)×
(4)×
教材整理2 公理4及等角定理
阅读教材P45“探究”以下至P46倒数第7行的内容,完成下列问题.
1.公理4
文字表述:
平行于同一条直线的两条直线互相平行.这一性质叫做空间平行线的传递性.
符号表述:
⇒a∥c.
2.等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
已知AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC=30°
,则∠PQR等于( )
A.30°
B.30°
或150°
C.150°
D.以上结论都不对
【解析】 因为AB∥PQ,BC∥QR,
所以∠PQR与∠ABC相等或互补.
因为∠ABC=30°
,所以∠PQR=30°
.
【答案】 B
教材整理3 异面直线所成的角
阅读教材P46下面的两个自然段至P47“探究”以上的内容,完成下列问题.
1.定义:
已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
2.异面直线所成的角θ的取值范围:
0°
<
θ_≤90°
3.当θ=90°
时,a与b互相垂直,记作a⊥b.
如图2111,正方体ABCDA′B′C′D′中异面直线A′B′与BC所成的角为________.异面直线AD′与BC所成的角为________.
图2111
【解析】 ∵A′B′∥AB,
∴∠ABC为A′B′与BC所成的角,又∠ABC=90°
,∴A′B′与BC所成的角为90°
∵BC∥AD,∴∠D′AD为AD′与BC所成的角,因为∠D′AD=45°
,故AD′与BC所成的角为45°
【答案】 90°
45°
[小组合作型]
空间两直线位置关系的判定
如图2112,正方体ABCDA1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:
图2112
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________;
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________;
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________;
④直线AB与直线B1C的位置关系是________.
【精彩点拨】 判断两直线的位置关系,主要依据定义判断.
【自主解答】 根据题目条件知道直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中,且没有交点,则两直线“平行”,所以①应该填“平行”;
点A1、B、B1在一个平面A1BB1内,而C不在平面A1BB1内,则直线A1B与直线B1C“异面”.同理,直线AB与直线B1C“异面”.所以②④都应该填“异面”;
直线D1D与直线D1C相交于D1点,所以③应该填“相交”.
【答案】 ①平行 ②异面 ③相交 ④异面
1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断,而两条直线平行也可以用公理4判断.
2.判定两条直线是异面直线有定义法和排除法,由于使用定义判断不方便,故常用排除法,即说明这两条直线不平行、不相交,则它们异面.
[再练一题]
1.
(1)若a、b是异面直线,b、c是异面直线,则( )
A.a∥c B.a、c是异面直线
C.a、c相交D.a、c平行或相交或异面
(2)若直线a、b、c满足a∥b,a、c异面,则b与c( )
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
【解析】
(1)若a、b是异面直线,b、c是异面直线,那么a、c可以平行,可以相交,可以异面.
(2)若a∥b,a、c是异面直线,那么b与c不可能平行,否则由公理4知a∥c.
【答案】
(1)D
(2)C
公理4、等角定理的应用
如图2113,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.
图2113
(1)求证:
四边形BB1M1M为平行四边形;
(2)求证:
∠BMC=∠B1M1C1.
【精彩点拨】
(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形,可证其一组对边平行且相等;
(2)可结合
(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明.
【自主解答】
(1)∵ABCDA1B1C1D1为正方体.
∴AD=A1D1,且AD∥A1D1,
又M、M1分别为棱AD、A1D1的中点,
∴AM=A1M1且AM∥A1M1,
∴四边形AMM1A1为平行四边形,
∴M1M=AA1且M1M∥AA1.
又AA1=BB1且AA1∥BB1,
∴MM1=BB1且MM1∥BB1,
∴四边形BB1M1M为平行四边形.
(2)法一 由
(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,
∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,
∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.
∴∠BMC=∠B1M1C1.
法二 由
(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,
∴B1M1=BM.
∴C1M1=CM.
又∵B1C1=BC,∴△BCM≌△B1C1M1,
1.空间两条直线平行的证明
一是定义法:
即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;
二是利用平面图形的有关平行的性质,如三角形中位线,梯形,平行四边形等关于平行的性质;
三是利用公理4:
找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.
2.求证角相等
一是用等角定理;
二是用三角形全等或相似.
2.如图2114,已知在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点.
图2114
求证:
(1)四边形MNA1C1是梯形;
(2)∠DNM=∠D1A1C1.
【证明】
(1)如图,连接AC,在△ACD中,
∵M,N分别是CD,AD的中点,
∴MN是△ACD的中位线,
∴MN∥AC,MN=
AC.
由正方体的性质得:
AC∥A1C1,AC=A1C1.
∴MN∥A1C1,且MN=
A1C1,
即MN≠A1C1,
∴四边形MNA1C1是梯形.
(2)由
(1)可知MN∥A1C1.
又∵ND∥A1D1,∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角,
∴∠DNM=∠D1A1C1.
[探究共研型]
求异面直线所成的角
探究1 已知直线a,b是两条异面直线,如图2115,如何作出这两条异面直线所成的角?
图2115
【提示】 如图,在空间中任取一点O,作直线a′∥a,b′∥b,则两条相交直线a′,b′所成的锐角(或直角)角θ即两条异面直线a,b所成的角.
探究2 异面直线a与b所成角的大小与什么有关,与点O的位置有关吗?
通常点O取在什么位置?
【提示】 异面直线a与b所成角的大小只由a,b的相互位置有关,与点O的位置选择无关,一般情况下为了简便,点O常选取在两条异面直线中的一条上.
如图2116,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E、F分别是AB、CD的中点,若EF=
,求异面直线AD、BC所成角的大小.
图2116
【精彩点拨】 根据求异面直线所成角的方法,将异面直线AD、BC平移到同一平面上解决.
【自主解答】 如图,取BD的中点M,连接EM、FM.
因为E、F分别是AB、CD的中点,
所以EM綊
AD,FM綊
BC,
则∠EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角.
因为AD=BC=2,所以EM=MF=1,
在等腰△MEF中,过点M作MH⊥EF于H,
在Rt△MHE中,EM=1,EH=
EF=
,
则sin∠EMH=
,于是∠EMH=60°
则∠EMF=2∠EMH=120°
所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角,即异面直线AD、BC所成的角为60°
求两异面直线所成的角的三个步骤
1.作:
根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角.
2.证:
证明作出的角就是要求的角.
3.计算:
求角的值,常利用解三角形得出.
可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角θ的取值的范围是0°
θ≤90°
3.在正方体ABCDA1B1C1D1中,求A1B与B1D1所成的角.
【解】 如图,连接BD、A1D,
∵ABCDA1B1C1D1是正方体,
∴DD1綊BB1,
∴四边形DBB1D1为平行四边形,
∴BD∥B1D1.
∵A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线,
∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,
∴∠A1BD=60°
∵∠A1BD是锐角,
∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角,
∴A1B与B1D1所成的角为60°
1.对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有直线m,使m与l( )
A.平行 B.相交
C.垂直D.互为异面直线
【解析】 不论l∥α,l⊂α还是l与α相交,α内都有直线m使得m⊥l.
【答案】 C
2.下列命题中,正确的结论有( )
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;
④如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.
A.1个B.2个
C.3个D.4个
【解析】 由公理4及等角定理知,只有②④正确.
3.已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同,另一组边的方向相反,若α=45°
,则β=________.
【解析】 由等角定理可知β=135°
【答案】 135°
4.在长方体ABCDA1B1C1D1中,与棱AA1垂直且异面的棱有________.
【解析】 如图,与棱AA1垂直且异面的棱有DC,BC,D1C1,B1C1.
【答案】 DC,BC,D1C1,B1C1
5.如图2117所示,空间四边形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E、F分别为BC、AD的中点,求EF和AB所成的角.
图2117
【解】 取AC的中点G,连接EG,FG,
则FG∥CD,EG∥AB,
所以∠FEG即为EF与AB所成的角,
且FG=
CD,EG=
AB,
所以FG=EG.
又由AB⊥CD得FG⊥EG,
所以∠FEG=45°
故EF和AB所成的角为45°
.