秋高中数学第二章基本初等函数Ⅰ本章复习学案设计新人教A版必修1Word下载.docx

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以10为底log10N写成　　　　;

自然对数:

以e为底logeN写成　　　　（e=2.71828…）.

6.对数的性质

（1）在对数式中N=ax>

0（负数和零没有对数）;

（2）loga1=0,logaa=1（1的对数等于0,底数的对数等于1）;

（3）如果把ab=N中的b写成　　　　,则有=N（对数恒等式）.

7.对数的运算性质:

如果a>

0,且a≠1,M>

0,N>

0,那么:

（1）loga（M·

N）=　　　　;

（2）loga=　　　　;

（3）logaMn=　　　　;

（4）logab=（a>

0,且a≠1;

0,且c≠1;

0）（换底公式）;

（5）logab=　　　　;

（6）lobn=　　　　.

8.指数函数的性质

函数名称

指数函数

定义

函数y=ax（a>

0且a≠1）叫做指数函数

图象

定义域

值域

过定点

图象过定点　　　　,即x=0时,y=1

奇偶性

非奇非偶

单调性

在R上是　　函数

函数值的

变化情况

1（x>

0）,y=1（x=0）,0<

1（x<

0）

a变化对

图象的

影响

在第一象限内,a越大图象越高,越靠近y轴;

在第二象限内,a越大图象越低,越靠近x轴

在第二象限内,a越小图象越高,越靠近y轴;

在第一象限内,a越小图象越低,越靠近x轴

9.对数函数的性质

对数函数

函数y=logax（a>

0且a≠1）叫做对数函数

图象过定点　　　　,即x=1时,y=0

在（0,+∞）上是　　函数

logax>

0（x>

1）

logax=0（x=1）

logax<

0（0<

在第一象限内,a越大图象越低,越靠近x轴,

在第四象限内,a越大图象越高,越靠近y轴

在第一象限内,a越小图象越低,越靠近y轴,

在第四象限内,a越小图象越高,越靠近x轴

10.反函数

（1）反函数概念

函数y=ax（x∈R）与对数函数y=logax（x∈（0,+∞））互为反函数.即同底的指数函数与对数函数互为反函数.

（2）反函数的性质

互为反函数的两个函数的图象关于直线　　　　对称.

11.幂函数

（1）幂函数的定义

一般地,函数　　　　叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.

（2）幂函数的图象

（3）幂函数的性质

①图象分布:

幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限（图象关于y轴对称）;

是奇函数时,图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）;

是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限;

②过定点:

所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都通过点（1,1）;

③单调性:

如果α>

0,则幂函数的图象过原点,并且在[0,+∞）上为增函数.如果α<

0,则幂函数的图象在（0,+∞）上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴与y轴;

④奇偶性:

当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当α=（其中p,q互质,p和q∈Z）,若p为奇数q为奇数时,则y=是奇函数,若p为奇数q为偶数时,则y=是偶函数,若p为偶数q为奇数时,则y=是非奇非偶函数;

⑤图象特征:

幂函数y=xα,x∈（0,+∞）,当α>

1时,若0<

1,其图象在直线y=x下方,若x>

1,其图象在直线y=x上方;

当α<

1,其图象在直线y=x上方,若x>

1,其图象在直线y=x下方.

二、典例分析,性质应用

1.指数、对数运算

熟练掌握指数的定义、运算法则、公式和对数的定义、运算法则.公式是指数、对数函数及其一切运算赖以施行的基础.

【例1】计算下列各式的值.

（1）（0.027-（）-2+（2-（-1）0;

（2）lg5（lg8+lg1000）+（lg）2+lg+lg0.06.

【例2】设4a=5b=100,求2（）的值.

【例3】

（选讲）已知f（x）=,且0<

（1）求f（a）+f（1-a）的值;

（2）求f（）+f（）+f（）+…+f（）的值.

说明:

如果函数f（x）=,则函数f（x）满足f（x）+f（1-x）=1.

2.指数函数、对数函数、幂函数的图象

熟悉指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是熟练求解指、对、幂问题的关键.

【例4】已知c<

0,下列不等式中成立的一个是（　　）

A.c>

2cB.c>

（）cC.2c<

（）cD.2c>

（）c

【例5】方程2x-x2=2x+1的解的个数为　　　　.

【例6】0.32,log20.3,20.3这三个数之间的大小顺序是（　　）

A.0.32<

20.3<

log20.3B.0.32<

log20.3<

20.3

C.log20.3<

0.32<

20.3D.log20.3<

0.32

【例7】方程log3x+x=3的解所在的区间是（　　）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,+∞）

【例8】函数f（x）=1+log2x与g（x）=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（　　）

3.指数函数、对数函数的性质

【例9】比较下列每组中两个数的大小.

（1）2.10.3　　　　2.10.4;

（2）（）1.3　　　　（）1.6;

（3）2.10.3　　　　（）-1.3;

（4）log51.9　　　　log52;

（5）log0.70.2　　　　log0.52;

（6）log42　　　　log34.

【例10】求下列函数的定义域.

（1）y=;

（2）y=;

（3）y=lo（3x-2）;

（4）y=.

【例11】求下列函数的值域.

（1）y=1-2x,x∈[1,4];

（2）y=3+log2x,x∈[1,+∞）.

【例12】解下列不等式.

（1）<

2x-1<

（2）log0.7（2x）<

log0.7（x-1）.

变式:

设函数f（x）=若f（x0）<

2,求x0的取值范围.

4.指数、对数型复合函数的单调性

指数、对数函数的单调性应用十分广泛,可以用来比较数或式的大小,求函数的定义域、值域、最大值、最小值,求字母参数的取值范围等.

对复合函数y=f[g（x）],若u=g（x）在区间（a,b）上是增函数,其值域为（c,d）,又函数y=f（u）在（c,d）上是增函数,那么复合函数在（a,b）上为增函数.可推广为下表（简记为同增异减）:

u=g（x）

增

减

y=f（u）

y=f[g（x）]

【例13】如果函数f（x）=（a2-1）x在R上是减函数,求实数a的取值范围.

【例14】求下列函数的单调区间.

（1）f（x）=（;

（2）y=log5（x2-2x-3）.

求下列函数的单调区间.

（2）y=log0.1（2x2-5x-3）.

【例15】函数y=loga（x-4）的单调增区间是（4,+∞）,求实数a的取值范围.

【例16】

（选讲）求函数y=4x+2x+1+3在区间[0,1]上的最大值与最小值.

【例17】求函数y=2lox-lox2+1（≤x≤4）的值域.

5.探究问题

【例18】课本P75习题2.2B组第5题.

（1）试着举几个满足“对定义域内任意实数a,b,都有f（a·

b）=f（a）+f（b）”的函数例子,你能说出这些函数具有哪些共同性质吗?

（2）试着举几个满足“对定义域内任意实数a,b,都有f（a+b）=f（a）·

f（b）”的函数例子,你能说出这些函数具有哪些共同性质吗?

三、作业精选,巩固提高

1.计算下列各式的值.

（1）lo（3+2）;

（2）lg25+lg2×

lg50;

（3）log6[log4（log381）.

2.求下列函数的定义域.

（3）y=;

（4）y=loga（x-1）2（0<

a≠1）;

（5）y=log（x+1）（16-4x）.

3.求下列函数的值域:

（1）y=（）x+2,x∈[-1,2];

（2）y=log2（x2-4x-5）.

4.求函数y=log2·

log2（x∈[1,8]）的最大值和最小值.

5.函数f（x）=ax+loga（x+1）在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,求实数a的值.

6.求下列函数的单调区间.

（1）f（x）=;

（2）f（x）=log4（2x+3-x2）;

（3）f（x）=（0<

a≠1）.

（1）y=lox是减函数,求实数a的取值范围;

（2）若函数f（x）=log0.5（x2-ax+3a）在区间[2,+∞）上是减函数,求实数a的取值范围;

（3）已知函数f（x）=loga（2-ax）在区间[0,1]上是减函数,求实数a的取值范围;

（4）已知f（x）=是（-∞,+∞）上的减函数,求实数a的取值范围.

8.求不等式loga（2x+7）>

loga（4x-1）（a>

0,且a≠1）中x的取值范围.

9.已知f（x6）=log2x,求f（8）.

10.判断函数f（x）=lg（-x）的奇偶性.

11.已知函数f（x）=loga（a>

0,且a≠1）.

（1）求函数f（x）的定义域;

（2）判断函数f（x）的奇偶性;

（3）求不等式f（x）>

0的解集.

参考答案

（1）-　

（2）±

5.x=logaN　lgN　lnN

6.（3）logaN

（1）logaM+logaN

（2）logaM-logaN

（3）nlogaM

（5）

（6）logab

8.R　（0,+∞）　（0,1）　增　减

9.（0,+∞）　R　（1,0）　非奇非偶　增　减

10.

（2）y=x

11.

（1）y=xα

【例1】

（1）-45;

（2）1.

【例2】2.

（1）1;

（2）500.

【例4】解析:

在同一坐标系中分别作出y=x,y=（）x,y=2x的图象（如图）,显然x<

0时,x<

2x<

（）x,即c<

0时,c<

2c<

（）c,故选C.

答案:

【例5】解析:

原方程即2x=x2+2x+1,在同一坐标系中画出y=2x,y=x2+2x+1的图象,由图象可知有3个交点.

【例6】解析:

如图,在同一坐标系中作出函数y=2x,y=x2及y=log2x的图象.观察图象知当x=0.3时,log20.3<

20.3.选C.

【例7】解析:

直接解方程是无法实现的,而借助数形结合思想作出图象,则问题易于解决.

设y1=log3x,y2=-x+3,在同一坐标系中画出它们的图象（如图）,观察可排除A,D.其交点P的横坐标应在（1,3）内.又x=2时,y1=log32<

1,而y2=-x+3=1,且知y1是增函数,y2是减函数,所以交点P的横坐标应在（2,3）内,故选C.

【例8】解析:

f（x）的图象过点（1,1）,g（x）的图象过点（0,2）,只有C符合,故选C.

【例9】

;

（2）>

（3）<

（4）<

（5）>

（6）<

【例10】

（1）（-∞,）∪（,+∞）;

（2）[0,+∞）;

（3）（,+∞）;

（4）（5,6].

【例11】

（1）[-15,-1];

（2）[3,+∞）.

【例12】

（1）（0,3）;

（2）（1,+∞）.

（-1,1）

【例13】

（-,-1）∪（1,）

【例14】

（1）减区间:

（3,+∞）,增区间:

（-∞,3）;

（2）增区间:

（3,+∞）,减区间:

（-∞,-1）.

（1）增区间:

（1,+∞）,减区间:

（-∞,1）;

（2）减区间:

（,3）,增区间:

（-）.

【例15】

（1,+∞）

【例16】最大值为11,最小值为6.

【例17】解:

令lox=u,∵≤x≤4,∴-2≤u≤2,

函数变为y=2u2-2u+1=2（u-）2+（-2≤u≤2）.

∴当u=时,ymin=;

当u=-2时,ymax=13.

由u=得,x=,由u=-2得,x=4.

∴x=时,函数取最小值,x=4时,函数取最大值13,∴函数的值域为[,13].

【例18】

（1）y=log2x,y=log0.3x;

（2）y=3x,y=0.1x.

（1）2;

（2）1;

（3）0.

（1）（-∞,0];

（2）（-,-];

（3）（1,4）∪（4,+∞）;

（4）（-∞,1）∪（1,+∞）;

（5）（-1,0）∪（0,2）.

（1）[,5];

（2）R.

4.ymin=-,ymax=2.

（1）减区间:

（1,+∞）,增区间:

（-1,1）,减区间:

（1,3）;

（3）a>

1时,增区间:

（-1,+∞）,减区间:

（-∞,-1）;

（-∞,-1）,减区间:

（-1,+∞）.

（1）（-,-1）∪（1,）;

（2）（-4,4];

（3）（1,2）;

（4）（）.

8.a>

1时,x的取值范围为（,4）;

1时,x的取值范围为（4,+∞）.

10.奇函数

11.

（1）（-1,1）;

（2）奇函数;

1时,（0,1）;

1时,（-∞,0）∪（1,+∞）.

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