核按钮新课标高考数学一轮复习第一章集合与常用Word格式文档下载.docx

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如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________．

（2）集合与集合之间的关系：

　　表示

关系　　

文字语言

符号语言

相等

集合A与集合B中的所有元素都相同

__________⇔A＝B

子集

A中任意一个元素均为B中的元素

________或________

真子集

A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素

空集

空集是任何集合的子集，是任何______的真子集

∅⊆A，∅

B

（B≠∅）

结论：

集合{a1，a2，…，an}的子集有______个，非空子集有________个，非空真子集有________个．

4．两个集合A与B之间的运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

表示

若全集为U，则集合A的补集记为________

Venn图表示（阴影部分）

意义

5.集合运算中常用的结论

（1）①A∩B________A；

②A∩B________B；

③A∩A＝________；

④A∩∅＝________；

⑤A∩B________B∩A.

（2）①A∪B________A;

②A∪B________B；

③A∪A＝________；

④A∪∅＝________；

⑤A∪B________B∪A.

（3）①∁U（∁UA）＝________；

②∁UU＝________；

③∁U∅＝________；

④A∩（∁UA）＝____________；

⑤A∪（∁UA）＝____________.

（4）①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B；

②A∩B＝A∪B⇔____________.

（5）记有限集合A，B的元素个数为card（A），card（B），则：

card（A∪B）＝____________________________；

card[∁U（A∪B）]＝________________________.

自查自纠

1．

（1）元素　集合　

（2）确定性　互异性　无序性

（3）列举法　描述法

2．N　N*（N＋）　Z　Q　R　C

3．

（1）属于　a∈A　不属于　a∉A

（2）A⊆B且B⊆A　A⊆B　B⊇A　A

B　B

A

非空集合　2n　2n－1　2n－2

4．A∪B　A∩B　∁UA　{x|x∈A或x∈B}　

{x|x∈A且x∈B}　{x|x∈U且x∉A}

5．

（1）①⊆　②⊆　③A　④∅　⑤＝

（2）①⊇　②⊇　③A　④A　⑤＝

（3）①A　②∅　③U　④∅　⑤U

（4）①A⊆B　②A＝B

（5）card（A）＋card（B）－card（A∩B）

card（U）－card（A）－card（B）＋card（A∩B）

（

）设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩（∁UB）＝（　　）

A．{1，2，5，6}B．{1}

C．{2}D．{1，2，3，4}

解：

∵∁UB＝{1，5，6}，∴A∩（∁UB）＝{1}．故选B.

）设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝（　　）

A．[0，1]B．（0，1]

C．[0，1）D．（－∞，1]

∵M＝{x|x2＝x}＝{0，1}，N＝{x|lgx≤0}＝{x|0＜x≤1}，∴M∪N＝[0，1]．故选A.

）已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|（x－1）（x＋2）＜0}，则A∩B＝（　　）

A．{－1，0}B．{0，1}

C．{－1，0，1}D．{0，1，2}

由已知得B＝{x|－2＜x＜1}，∴A∩B＝{－1，0}．故选A.

已知集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________．

根据x∈A，y∈A，x＋y∈A，知集合B＝{（1，1），（1，2），（2，1）}，有3个元素．故填3.

设集合A＝{x|x2＋2x－3>

0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>

0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是________．

A＝{x|x2＋2x－3>

0}＝{x|x>

1或x<

－3}，

设函数f（x）＝x2－2ax－1，则其对称轴x＝a＞0，由对称性知，若A∩B中恰含有一个整数，则这个整数为2，∴f

（2）≤0且f（3）>

0，即

得

≤a＜

.故填

.

类型一　集合的概念

（1）若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝（　　）

A．4B．2C．0D．0或4

由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；

当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.故选A.

（2）已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－

，当m＝1时，m＋2＝3，2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；

当m＝－

时，m＋2＝

，2m2＋m＝3，综上知，m＝－

.故填－

【点拨】

（1）用描述法表示集合，首先要弄清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．

（2）含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．

（1）（

）集合

中含有的元素个数为（　　）

A．4B．6C．8D．12

令x＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，代入验证，得x＝1，2，3，4，6，12时，

∈Z，即集合中有6个元素．故选B.

（2）已知a∈R，b∈R，若

＝{a2，a＋b，0}，则a2017＋b2017＝________.

由已知得

＝0及a≠0，∴b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝－1，∴a2017＋b2017＝－1.故填－1.

类型二　集合间的关系

　已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}．

（1）若B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B⊆A，求实数m的取值范围；

（2）若B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，A＝B，求实数m的取值范围；

（3）若B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，A⊆B，求实数m的取值范围．

由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，

（1）若B⊆A，则

①当B＝∅，有m＋1＞2m－1，即m＜2，此时满足B⊆A；

②当B≠∅，有

解得2≤m≤3.

由①②得，m的取值范围是（－∞，3]．

（2）若A＝B，则必有

解得m∈∅，即不存在实数m使得A＝B.

（3）若A⊆B，则

解得3≤m≤4.∴m的取值范围为[3，4]．

【点拨】本例主要考查了集合间的关系，“当B⊆A时，B可能为空集”很容易被忽视，要注意这一“陷阱”．

　集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．

（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；

（2）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；

（3）当x∈R时，若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．

（1）①当m＋1>

2m－1，即m<

2时，B＝∅，满足B⊆A.

②当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使B⊆A成立，则

可得2≤m≤3.

综上，m的取值范围是（－∞，3]．

（2）当x∈Z时，A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，

∴A的非空真子集个数为28－2＝254.

（3）∵x∈R，且A∩B＝∅，

∴当B＝∅时，即m＋1＞2m－1，得m＜2，满足条件；

当B≠∅时，

有

或

解得m＞4.

综上，m的取值范围是（－∞，2）∪（4，＋∞）．

类型三　集合的运算

（1）已知全集U＝R，集合A＝{x|lgx≤0}，B＝{x|2x≤

}，则A∪B＝（　　）

A．∅B.

C.

D．（－∞，1]

由题意知，A＝（0，1]，B＝

，

∴A∪B＝（－∞，1]．故选D.

（2）已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U（A∪B）＝{4}，B＝{1，2}，则A∩（∁UB）＝________.

∵U＝{1，2，3，4}，∁U（A∪B）＝{4}，∴A∪B＝{1，2，3}．又∵B＝{1，2}，∴{3}⊆A⊆{1，2，3}．又∁UB＝{3，4}，∴A∩（∁UB）＝{3}．故填{3}．

（3）已知集合A＝{x∈R||x＋2|<

3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<

0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝________，n＝________.

A＝{x∈R||x＋2|<

3}＝{x∈R|－5<

x<

1}，由A∩B＝（－1，n），可知m<

1，由B＝{x|m<

2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.

故填－1，1.

（1）在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；

集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍．

（2）在解决有关A∩B＝∅的问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑A（或B）＝∅是否成立，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．

（1）已知集合A＝{x|y＝

}，B＝{x|

<

2x<

4}，则（∁RA）∩B等于（　　）

A．{x|－1<

2}B．{x|－1<

0}

C．{x|x<

1}D．{x|－2<

∵A＝{x|y＝

}＝{x|x≥0}，∴∁RA＝{x|x<

0}．又B＝

＝{x|－1<

2}，∴（∁RA）∩B＝{x|－1<

0}．故选B.

（2）（

）集合M＝{2，log3a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{1}，则M∪N＝（　　）

A．{0，1，2}B．{0，1，3}

C．{0，2，3}D．{1，2，3}

∵M∩N＝{1}，∴log3a＝1，即a＝3，∴b＝1.∴M＝{2，1}，N＝{3，1}，M∪N＝{1，2，3}．故选D.

（3）设集合A＝{x||x－a|<

1，x∈R}，B＝{x|1<

5，x∈R}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是（　　）

A．{a|0≤a≤6}B．{a|a≤2或a≥4}

C．{a|a≤0或a≥6}D．{a|2≤a≤4}

|x－a|<

1⇔－1<

x－a<

1⇔a－1<

a＋1，由A∩B＝∅知，a＋1≤1或a－1≥5，解得a≤0或a≥6.故选C.

类型四　Venn图及其应用

　设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为：

M－P＝{x|x∈M，且x∉P}，则M－（M－P）等于（　　）

A．PB．M∩PC．M∪PD．M

作出Venn图．当M∩P≠∅时，由图知，M－P为图中的阴影部分，则M－（M－P）显然是M∩P.当M∩P＝∅时，M－（M－P）＝M－M＝{x|x∈M，且x∉M}＝∅＝M∩P.故选B.

【点拨】这是一道信息迁移题，属于应用性开放问题．“M－P”是我们不曾学过的集合运算关系，根据其元素的属性，借助Venn图将问题简单化．

　已知集合A＝{－1，0，4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是________．

B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0，1，2，3}，图中阴影部分表示的为属于A且不属于B的元素构成的集合，该集合为{－1，4}．故填{－1，4}．

类型五　和集合有关的创新试题

　在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：

①2017∈[2]；

②－3∈[3]；

③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪

[3]∪[4]；

④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中正确命题的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

∵2017＝403×

5＋2，∴2017∈[2]，结论①正确；

－3＝－1×

5＋2，∴－3∈[2]，－3∉[3]，结论②不正确；

整数可以分为五“类”，这五“类”的并集就是整数集，即Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；

若整数a，b属于同一“类”，则a＝5n＋k，b＝5m＋k，a－b＝5（n－m）＋0∈[0]，反之，若a－b∈[0]，则a，b被5除有相同的余数，故a，b属于同一“类”，结论④正确，综上知，①③④正确．故选C.

（1）以集合语言为背景的新信息题，常见的类型有定义新概念型、定义新运算型及开放型，解决此类信息迁移题的关键是在理解新信息并把它纳入已有的知识体系中，用原来的知识和方法来解决新情境下的问题．

（2）正确理解创新定义，分析新定义的表述意义，把新定义所表达的数学本质弄清楚，转化成熟知的数学情境，并能够应用到具体的解题之中，这是解决问题的基础．

　设S为复数集C的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集，下列命题：

①集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集；

②若S为封闭集，则一定有0∈S；

③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．

其中的真命题是________．（写出所有真命题的序号）

①对，当a，b为整数时，对任意x，y∈S，x＋y，x－y，xy的实部与虚部均为整数；

②对，当x＝y时，0∈S；

③错，当S＝{0}时，是封闭集，但不是无限集；

④错，设S＝{0}⊆T，T＝{0，1}，显然T不是封闭集．因此，真命题为①②.故填①②.

1．首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x|y＝f（x）}、{y|y＝f（x）}、{（x，y）|y＝f（x）}三者是不同的．

2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．

3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图实施；

对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；

对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用．

4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．

5．五个关系式A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B，∁UB⊆∁UA以及A∩（∁UB）＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．

6．正难则反原则

对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论不明确、难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易、化隐为显，从而解决问题．

例如：

已知A＝{x|x2＋x＋a≤0}，B＝{x|x2－x＋2a－1＜0}，C＝{x|a≤x≤4a－9}，且A，B，C中至少有一个不是空集，求a的取值范围．

这个问题的反面即是三个集合全为空集，

即

解得

≤a＜3，

从而所求a的取值范围为

1．（

）已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）

A．5B．4C．3D．2

A∩B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}∩{6，8，10，12，14}＝{8，14}．故选D.

2．设集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝（　　）

A．{0}B．{0，1}

C．{－1，1}D．{－1，0，1}

∵N＝{x|0≤x≤1}，M＝{－1，0，1}，

∴M∩N＝{0，1}．故选B.

3．（

）已知集合A＝{x|0<

log4x<

1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝（　　）

A.

B.

D.

易知A＝

，∴A∩B＝

.故选D.

4．（

）已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　）

A．1B．3C．5D．9

由题意知，x－y＝0，－1，－2，1，2.故B中元素个数为5，故选C.

5．设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|y＝

}，B＝{x∈Z|－1<

x≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为（　　）

A．3B．4C．7D．8

A＝{x∈N|y＝

}＝{x∈N|7x－x2－6≥0}＝{x∈N|1≤x≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{1，2，3}，其真子集有：

∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个．故选C.

6．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：

①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；

②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；

③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．

其中正确结论的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

①（－4）＋（－2）＝－6∉A，不正确；

②设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，正确；

③令A1＝{n|n＝5k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，不正确．故选B.

7．（

）设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则（∁UA）∩B＝________.

∵U＝{1，2，3，…，9，10}，A＝{1，2，3，5，8}，∴∁UA＝{4，6，7，9，10}．∴（∁UA）∩B＝{7，9}．故填{7，9}．

8．已知集合S＝{0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个．

由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}这样的集合，共有6个．故填6.

9．（

）已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}，当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.

当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋2x2＋4x3，xi∈M，i＝1，2，3}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．

10．设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a＜0}．

（1）当a＝－4时，求A∩B和A∪B；

（2）若（∁RA）∩B＝B，求实数a的取值范围．

（1）A＝

当a＝－4时，B＝{x|－2＜x＜2}，

A∩B＝

，A∪B＝{x|－2＜x≤3}．

（2）∁RA＝

当（∁RA）∩B＝B时，B⊆∁RA，即A∩B＝∅.

①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁RA；

②当B≠∅，即a＜0时，B＝{x|－

＜x＜

}，

要使B⊆∁RA，只须

≤

，解得－

≤a＜0.

综上可得，实数a的取值范围是

11．设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．

易知A＝{0，－4}，若B⊆A，则可分以下三种情况：

①当B＝∅时，Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＜0，解得a＜－1；

②当∅≠B

A时，B＝{0}或B＝{－4}，

并且Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝0，

解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；

③当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程

x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，

解得a＝1.

综上所述，a的取值范围为

）已知集合A＝{x|x2－3（a＋1）x＋2（3a＋1）<

0}，B＝

（1）当a＝2时，求A∩B；

（2）求使B⊆A时实数a的取值范围．

（1）当a＝2时，A＝{x|x2－9x＋14<

0}＝（2，7），

B＝

＝（4，5），∴A∩B＝（4，5）．

（2）当a≠1时，B＝（2a，a2＋1）；

当a＝1时，B＝∅.

又A＝{x|（x－2）[x－（3a＋1）]<

0}，

①当3a＋1<

2，即a<

时，A＝（3a＋1，2），要使B⊆A成立，只须满足

解得a＝－1；

②当a＝

时，A＝∅，B＝

，B⊆A不成立；

③当3a＋1>

2，即a>

时，

A＝（2，3a＋1），要使B⊆A成立，

只须满足

解得1≤a≤3.

综上可知，使B⊆A的实数a的取值范围为[1，3]∪{－1}．