《运筹学线性规划》部分练习题Word文档格式.docx
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饲料
蛋白质（克）
矿物质（克）
维生素（毫克）
价格（元/公斤）
1
3
0.5
0.2
2
0.5
1.0
0.7
0.2
0.4
4
6
0.3
5
12
0.8
要求确定既满足动物生长的营养要求，又使费用最省的选择饲料的方案。
设有某种原料的三个产地为A1，A2，A3，把这种原料经过加工制成成品，再运往销售地。
假设用4吨原料可制成1吨成品，产地A年产原料30万吨，同时需要成品7万吨；
产地A2年产原料26万吨，同时需要成品13万吨；
产地A3年产原料24万吨，不需要成品。
又知A1与A2间距离为150公里，A1与A3间距离为100公里，A2与A3间距离为200公里。
原料运费为3千元/万吨公里，成品运费为2.5千元/万吨公里；
在A1开设工厂加工费为5.5千元/万吨，在A2开设工厂加工费为4千元/万吨，在A3开设工厂加工费为3千元/万吨；
又因条件限制，在A2设厂规模不能超过年产成品5
万吨，A1与A3可以不限制（见表2――2），问应在何地设厂，生产多少成品，才使生产费用（包括原料运费、成品运费和加工费）最少？
表2—2
距\产
地
产地、
A1
A2
A3
产原料数
（万吨）
加工费
（千元/万吨）
150
100
30
5.5
200
26
24
需成品数
7
13
4某旅馆每日至少需要下列数量的服务员.（见表2—3）每班服务员从开始上班到下班连续
工作八小时，为满足每班所需要的最少服务员数，这个旅馆至少需要多少服务员。
表2一3
班次
时1
间（日
夜服务）
最少服务员人数
上午
6点一
上午10点
80
10点一
-下午2点
90
下午
2点一
下午6点
夜间10点
70
夜间
10点—
夜间2点
40
上午6点
5.某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。
农场劳动力情况为秋冬季
3500人日；
春夏季4000人日。
如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元
/人日，秋冬季收入为20元/人日。
该农场种植三种作物：
大豆、玉米、小麦，并饲
养奶牛和鸡。
种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3
元。
养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季
为50人日，年净收入900元/每头奶牛。
养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季
0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元/每只鸡。
农场现有鸡舍允许最多养1500
只鸡，牛栏允许最多养200头。
三种作物每年需要的人工及收入情况如表2—4所示
表2—4
大豆
玉米]
麦子
秋冬季需人日数
20
35
10
春夏季需人日数
50
75
年净收入（元/公顷）
3000
4100
4600
试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。
6.市场对I、n两种产品的需求量为：
产品I在1—4月份每月需1万件，5—9月份
每月需3万件，10—12月份每月需10万0件；
产品H在3—9月份每月需1.5万件,其它每月需5万件。
某厂生产这两种产品的成本为：
产品I在1—5月份内生产时每件
5元，6—12月份内生产时每件4.50元；
产品H在在1—5月份内生产时每件8元,6—12月份内生产时每件7元；
该厂每月生产两种产品能力总和不超过12万件。
产品
I容积每件0.2立方米，产品n容积每件0.4立方米。
该厂仓库容积为1万5千立方米，要求：
（1）说明上述问题无可行解；
（2）若该厂仓库不足时，可从外厂租借。
若占用本
厂仓库每月每立方米需1元，而租用外厂仓库时上述费用增加为1.5元，试问在满足市
场需求情况下，该厂应如何安排生产，使总的生产加库存费用最少？
（建立模型，不求解）
7.某工厂I、n、川三种产品在下一年个季度的合同预定数如表2—5所示，该三种产品
第一季度初无库存，要求在在第四季度末每种产品的库存为150件。
已知该厂每季度生产工
时为15000小时，生产产品I、n、川每件需3,4,3小时。
因更换工艺装备，产品I在第二季度无法生产。
规定当产品不能按期交货时，产品I、n每件每迟交一个季度赔偿20元,
产品川赔偿15元，又生产出来的产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费为5元。
问
应如何安排生产，使总的赔偿加库存费用最小。
表2—5
含口
产口仃
季
度
I
1500
1000
2000
1200
n
出
2500
&
某玩具厂生产I、n、川三种玩具，这三种玩具需在A、E、C三种机器上加工，每60
个为一箱。
每箱玩具在不同的机器上加工所需的时间（天）如表2—6所示，本月可供使
用的机器的时间为：
A为15天，E为20天，C为24天。
每箱玩具的价格为I:
1500元；
n：
1700元；
川:
2400元。
问怎样安排生产，使总的产值最大。
表2一6
加工天数
机器
A
B
C
玩具I
玩具n
玩具川
一
9•某线带厂生产A、E两种纱线和C、D两种纱带，纱带由纱线加工而成。
这四种产品的
产值，可变成本（即材料、人工等随产品数量变化的直接费用），加工工时等由表2—7给
出，工厂有供纺纱的总工时7200h，织带的总工时1200h
（1）列出线性规划模型，以便确定产品数量，使总的利润最大。
（2）如果组织这次生产的固定成本（即与产品数量无关的间接费用）为20万元，线性
规划模型有何变化？
表2—7
项目
D
单位产值（元）
168
140
1050
406
单位可变成本（兀）
42
28
350
单位纺纱工时（h）
单位织带工时（h）
10.某制衣厂生产4种规格的出口服装，有三种制衣机可以加工这4种服装，他们的生
产效率（每天制作的服装件数）等有关数据如表2—8所示，试确定各种服装的生产数量，使总的加工费用最小。
表2—8
衣服规格
制衣机
需要生产数量（件）
300
600
800
10000
280
450
700
9000
680
7000
IV
410
8000
每天加工费
（元）
11.某制衣厂生产两种服装，现有100名熟练工人。
已知一名熟练工人每小时生产10件服
装I或6件服装n。
据销售部门消息，从本周开始，这两种服装的需求量将持续上升。
见表
2—9，为此，该厂决定到第8周末需培训出100名新工人，两班生产。
已知一名工人一周工作40小时，一名熟练工人每周时间可培训出不多余5名的新工人（培训期间熟练工人和
培训人员不参加生产）熟练工人每周工资400元，新工人在培训期间工资每周80元，培训
合格后参加生产每周工资260元，生产效率同熟练工人。
在培训期间，为按期交货，工厂安
排部分工人加班生产每周工作50小时，工资每周600元。
又若所定的服装不能按期交货，
每推迟交货一周的赔偿费为：
服装I每件10元，服装n每件20元。
工厂应如何安排生产，
使各项费用总和最少。
表2—9（单位：
千件/周）
周次
服装、\
8
25
33
34
14
17
22
12•某家具制造厂生产五种不同规格的家具。
每种家具都要经过机械成型、打磨、上漆几种主要工序。
每种家具的每道工序所用时间及每道工序的可用时间，每种家具的利润由表2—
10给出。
问工厂应如何安排生产，使总的利润最大？
表2—10
生产工序
所需时间
（小时）
每道工序
-一-
-二二
四
五
可用时间
成型
3600
打磨
3950
上漆
2800
利润（百元）
2.7
4.5
2.5
13.某混合饲料场饲养为某种动物配置。
已知此动物的生长速度和饲料中的三种营养成分甲、
乙、丙有关，且每头动物每天需要营养甲85克，乙5克，丙18克。
现有五种饲料都含有这三种营养成分，每种饲料每公斤所含营养成分及每种饲料成本如表2—11所示，求即满足
动物成长需要又使成本最低的饲料配方。
表2—11
营养甲（克）
营养乙（克）
营养丙（克）
成本（元）
0.50
0.10
0.08
2.00
0.06
0.70
3.00
0.04
0.35
1.50
0.15
0.25
0.80
0.20
0.02
投资所得的收益及银行所得利息也可用于投资.求使公司在第五年底收回资金最多的投
资方案.
16.某工厂生产I、n、川、w四种产品，产品I需依次经过aB两种机器加工，产品n需
依次经过AC两种机器加工，产品川需依次经过B、C两种机器加工，产品W需依次经过AB机器加工。
。
有关数据如表2—12所示，请为该厂制定一个最优生产计划。
表2—12
产品
机器生产率（件/小时）
原料成本
产品价格（元）
16
65
15
w
18
机器成本（元/小时）
225
每周可用小时数
120
四、用图解法解下列线性规划
1.
maxZ=x12x2
2.
maxZ二2x12x2
X〔一X?
3-1
*一0.5X[+x2兰2
x1,x^0
4minZ=2X[-10x2
-x2兰2
<
3X[—x?
_5
x1,x20
6maxZ=旳x2
3x15x2_15
«
6X[+2x2<
x1,x2色0
3minZ=2x13x2
%+3x2兰3
X[+x22
iX[,x230
5maxZ=3x19x2
X+3x2兰32
—X[+x2兰4
*x2兰6
2x〔-5x2乞0
X1,X2-0
五、用单纯形法解下列线性规划问题。
（1）maxZ二2x〔_x2x3
3X]+x2+x3兰60
X[—x2+2x3兰10
X[x2_x3岂20
为公2公3-0
⑶maxZ=3X[x23x3
2X[+x2+x3兰2
x12x23X3岂5
2x12x2x3乞6
X1,X2,X3一0
⑸maxZ二x12x23x3_x4
X[+2x2+3x3=15
』2X[+x2+5x3=20
X[+x2+x3+x4=10M,X2,X3,X4A0
⑺maxZ=6旳x2_x3x4
人+2x2+x3=15
2x15x3=18
2X[+4x2+x3+x4=10
“，X2,X3,X4z0
（9）minZ=3x「2x24x38x4
X[+2x2+5X3+6X4艺8«
—2X[+5x2+3x3—5x4兰3,Xi,X2,X3,X4KO（伯）maxZ=2X[3x2_x3x4『X[_x2+2x3+x439
2x2+x3-x4兰5
_2xi+X2—3X3+X4兰_1
x1+x3>
3
Xi,X2,X3,X4一0
X[+4x2+x3兰6
2X[+x2+3x332
x1,x^,x3符号不限
（12）maxZ=5x13x26x3
X[+2x2+x3兰18
2X[+x2+3x3兰16
1为+x2+x3=10
X[,x2_0,x3符号不限
六、表2—13中给出求极大化问题的单纯形表，问表中ai,a2,C1,C2,d为何值时以及表中
变量属于哪一种类型时有：
（1）表中解为唯一最优解；
（2）表中解为无穷多最优解之一；
（3）表中解为退化的可行解；
（4）下一步迭代将以X1代替基变量X5；
（5）该线性规划问题具有无界解；
（6）该线性规划问题无可行解。
表2—13
Xb
b
X1
X2
X3
X4
X5
d
a1
—1
a2
—5
—3
Cj-
zj
C1
C2
七、某医院的护士分四个班次，每班工作12h。
报到的时间分别是早上6点，中午12点,
下午6点，夜间12点。
每班需要的人数分别为19人，21人，18人，16人。
问：
（1）每天最少需要派多少护士值班？
（2）如果早上6点上班和中午12点上班的人每月有120元加班费，下午6点和夜间12点上班的人每月分别有100元和150元加班费，如何安排上班人数，使医院支付的加班费最少？
八、某石油公司有两个冶炼厂。
甲厂每天可生产高级、中级和低级的石油分别为200，300
和200桶，乙厂每天可生产高级、中级和低级的石油分别为100,200和100桶。
公司需要
这三种油的数量分别为14000，24000和14000桶。
甲厂每天的运行费是5000元，乙厂是
4000元。
（1）公司应安排这两个厂各生产多少天最经济？
（2）如甲厂的运行费是2000元，乙厂是5000元。
公司应如何安排两个厂的生产。
列出线性规划模型并求解。
《运筹学》习题解答
第二章线性规划模型及其单纯形法
二、
（1）X⑵V（3）V（4）V（5）X⑹X（7）V（8）丸9）X（10）V
1解：
设决策变量x11，x12分别表示第一年投资到项目I、n的资金额；
X21,X23分别表
示第二年投资到项目I、川的资金额；
X31,X34分别表示第三年投资到项目I、w的资
金额。
则得线性规划模型如下：
maxZ=0.2x“0.2x210.2x310.5x120.6x230.4x34
X11+X12—300000
—0.2X[i+X21+X12*X23—300000
-0.2x〔i-0.2x21+X31—0.5x〔2+X23+X34兰300000
“x12<
200000
x23<
150000
x34兰100000
、X11,X21,X31,X12,X23,X340
2.解：
设五种饲料分别选取X1,X2,x3,X4,X5公斤，则得下面的数学模型：
minZ=0.2x10.7x20.4x30.3x40.8x5
3X[+2x2+x3+6X4+12x5>
700
X[+0.5x2+0.2x3+2x4+0.5x5兰30
0.5X[+x2+0.2x3+2x4+0.8x5^100
、、Xj^0（j=123,4,5）
;
3•解：
设xij表示由Ai运往Aj的原料数（单位：
万吨）（i，j=1,2,3）。
其中i=j时，表示Ai留用数；
yij表示由Ai运往Aj的成品数（单位：
万吨）（i,j"
2,3）。
其中i=j时，表示Ai留用数；
zi表示在Ai设厂的年产成品数（单位：
万吨）（1,2,3）。
则这一问题的数学模型为：
minZ=3（x12X13X21X23X31X32）2.5（y12y13y21
y23『31『32）5.5^4z?
g
X11
x12x13=30
X21
■X22'
X23=13
X31
x32x33-24
X21X31=4乙
X12
x22x32二4z2
X13
X23X33二4Z3
yn
y12%3二Z1
y21
y22y23二Z2
y31
y32y33Z3
『21『31=7
y12
y22y32=13
Z2乞
Xij_O,yij—O,Zj-0（i,j=1,2,3）
4•解：
设Xi（i=1,2,3,4,5,6）为第i班开始上班的服务员人数。
则数学模型:
minL=x1x2x3x4x5x6
X6
-80
-90
-70
-40
-30
Xj
-0
（jJ,6）
5.用xl,x2,x3分别表示大豆、玉米、麦子的种植公顷数；
x4,x5分别表示奶牛和鸡的饲
养数；
x6,x7分别表示秋冬季和春夏季的劳动力（人日）数，则有
maxZ=3000xr4100x24600x3900x420x520x625x7
为+x2+x3+1.5x4<
100（土地限制）
400x4+3x5<
15000（资金限制）
20为+35x2+10x3+100x4+0.6%+x6兰3500（劳动力限制）
巧0为+175x2+40x3+50x4+0.3%+x7兰4000（劳动力限制）
x4<
200（牛栏限制）
x5<
1500（鸡舍限制）
、XjA。
（j=1,2，…，7）
6•解：
（1）因为10—12月份市场需求总计45万件，这三个月最多生产36万件，故需10月初有9万件的库存，超过该厂的最大仓库容积，故按上述条件，本题无解。
（2）考虑到生产成本、库存费用和生产能力，该厂10—12月份需求的不足只需在7
—9月份生产出来留用即可，故设：
xi为第i个月生产的产品I的数量；
yi为第i个月生
产的产品n的数量；
zi，ui分别为第i个月末产品I、n的库存数，sii，s2i分别为用于第（i+1）个月库存的原有及租用的仓库容积（立方米），则所求问题的数学模型为：
51211
minZ八（5Xi8yJ'
（4.5为7yJ'
（引s?
i）
i=1H6i夕
xiyi<
120000（i=7,8,9,10,11,12）
0.2zi0.4u^s1i-s2i（i=7,8,9,10,11,12）
引乞15000（i=7,8,9,10
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