新平面几何100题160.docx
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新平面几何100题160
1、设𝑰是△𝑨𝑩𝑪的内心,𝑫是边𝑩𝑪上的一点,𝑬是𝑩𝑪延长线上一点,且满足𝑩𝑫=𝑩𝑬.设𝑯是
𝑫到直线𝑰𝑬的垂足,证明:
∠𝑨𝑯𝑬=∠𝑰𝑫𝑬.
𝑫𝑪
𝑬𝑪
A
IH
BDCE
2、设𝑶、𝑯分别是△𝑨𝑩𝑪的外心和垂心,点𝑨关于直线𝑶𝑯的对称点是𝑷,点𝑷和点𝑨不在直线𝑩𝑪的同侧,𝑬、𝑭分别在𝑨𝑩和𝑨𝑪上,满足𝑩𝑬=𝑷𝑪,𝑪𝑭=𝑷𝑩,直线𝑨𝑷、𝑶𝑯相交于点𝑲,证明:
𝑬𝑲⊥𝑭𝑲.
A
BC
P
3、设正△𝑨𝑩𝑪的外接圆和内切圆分别是𝜞、𝝎,𝑷为𝝎上一动点,𝑷𝟏、𝑷𝟐、𝑷𝟑分别为𝑷在𝑩𝑪、𝑪𝑨、
𝑨𝑩上的射影,圆𝝎𝟏、𝝎𝟐、𝝎𝟑分别与𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩切于𝑷𝟏、𝑷𝟐、𝑷𝟑且与𝜞内切(它们的圆心与𝑨、𝑩、𝑪分别在𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩的异侧).证明:
圆𝝎𝟏、𝝎𝟐、𝝎𝟑两两外公切线的长度之和是一个定值.
A
⊙𝑶上的一点,𝑷𝑫⊥𝑬𝑭于𝑫,交𝑨𝑩于𝑲,作𝑷𝑺⊥𝑩𝑪于𝑺,连接𝑺𝑲并交𝑨𝑶于𝑻.证明:
𝑫𝑺=𝑫𝑻.
T
接圆于点𝑨、𝑷,△𝑨𝑬𝑭的外接圆在𝑨处的切线交△𝑨𝑩𝑪于𝑨、𝑸两点,设𝑵、𝑴分别为𝑨𝑸、
𝑩𝑪的中点.证明:
∠𝑨𝑷𝑫=∠𝑴𝑵𝑸.
Q
𝑶共圆,𝑪、𝑨′、𝑩′、𝑶共圆.以𝑩′为圆心,𝑩′𝑪为半径的圆和以𝑪′为圆心,𝑩𝑪′为半径的圆的根轴为𝒍𝒂.类似定义𝒍𝒃、𝒍𝒄.证明:
直线𝒍𝒂、𝒍𝒃、𝒍𝒄交出的三角形垂心与△𝑨𝑩𝑪的垂心重合.
其中𝑷、𝑸分别在𝑩𝑪、𝑩𝑫内,𝑹在𝑪𝑫的延长线上.记点𝑫在直线𝑨𝑪、𝑩𝑪、𝑨𝑩上的射影分别为𝑿、𝒀、𝒁,其中𝑿、𝒀分别在线段𝑨𝑪、𝑩𝑪内,𝒁在𝑩𝑨的延长线上,设△𝑨𝑩𝑫的垂心为𝑯,证明:
𝑩𝑯的中点在△𝑷𝑸𝑹外接圆和△𝑿𝒀𝒁外接圆的根轴上.
H
B
8、在圆内接四边形𝑨𝑩𝑪𝑫中,𝑨𝑩>𝑩𝑪,𝑨𝑫>𝑫𝑪,𝑰、𝑱分别为△𝑨𝑩𝑪、△𝑨𝑫𝑪的内心.以𝑨𝑪为直径的圆与线段𝑰𝑩交于点𝑿、与𝑱𝑫的延长线交于点𝒀.证明:
若𝑩、𝑰、𝑱、𝑫四点共圆,则点𝑿、𝒀关于直线𝑨𝑪对称.
点𝑷分别在边𝑩𝑪上(𝑵在线段𝑩𝑷上),且满足五边形𝑨𝑴𝑵𝑷𝑸的五条边长相等.记点𝑺为直线
𝑴𝑵和𝑸𝑷的交点,𝒍为∠𝑴𝑺𝑸的角平分线.证明:
𝒍和𝑶𝑰平行.
S
类似定义𝒍𝒃、𝒍𝒄.证明:
直线𝒍𝒂、𝒍𝒃、𝒍𝒄三线共点.
𝑷𝑹、𝑸𝑺把四边形𝑨𝑩𝑪𝑫分为4个四个对角线互相垂直的凸四边形.证明:
𝑷、𝑸、𝑹、𝑺四点共圆.
D
BC
一点𝑴,以𝑫𝑴为直径的圆与𝜴交于除𝑴以外的另一点𝑲,直线𝑴𝑲与𝑩𝑪交于点𝑺,设𝑵为𝑰𝑺的中点,𝑳𝟏、𝑳𝟐为△𝑲𝑰𝑫的外接圆与△𝑴𝑨𝑵的外接圆的交点.证明:
𝑰𝑳𝟏或𝑰𝑳𝟐的中点在𝜴上.
A
I
N
BDCL2S
MK
L1
线(不同于直线𝑩𝑪),交直线𝑬𝑭于点𝑿.类似定义𝒀和𝒁.证明:
𝑿、𝒀、𝒁三点共线.
A
Z
BDC
别交⊙𝑰于𝑴、𝑵,𝑴𝑭与𝑵𝑬交于𝑳.证明:
𝑳在直线𝑩𝑫上.
C
于点𝑱,直线𝑰𝑱不经过点𝑶,且与边𝑨𝑩、𝑪𝑫的延长线分别交于点𝑷、𝑹,与边𝑩𝑪、𝑫𝑨分别交于点𝑸、𝑺.线段𝑷𝑹、𝑸𝑺的中点分别为𝑴、𝑵.证明:
𝑶𝑴⊥𝑶𝑵.
P
R
边𝑩𝑪上的点,满足𝑷𝑩=
𝑩𝑫
𝟐
.设𝑬在𝑷𝑵上的投影是𝑯,证明:
△𝑩𝑬𝑪的外接圆与△𝑴𝑷𝑯的
外接圆相切.
𝑷𝑪
()
𝑨𝑪
A
N
ED
H
BMPC
于点𝑿、𝒀、𝒁、𝑻.过𝑨、𝑩的圆𝜴与圆𝜞外切于𝑺.证明:
𝑺𝑷⊥𝑺𝑻.
直线𝑫𝑨于𝒀′,交直线𝑨𝑪于𝒁,交直线𝑩𝑫于𝒁′.已知以上六点在𝒍上按照𝑿、𝒀、𝒁、𝑿′、𝒀′、𝒁′的顺序排列.证明:
以𝑿𝑿′、𝒀𝒀′、𝒁𝒁′为直径的三个圆共点.
作与⊙𝑶内切,与线段𝑪𝑫、𝑨𝑫相切的⊙𝑱.证明:
若𝑨、𝑩、𝑰、𝑱四点共圆,则𝑫是三角形𝑨𝑩𝑪中的
∠𝑨𝑪𝑩内旁切圆在𝑨𝑩上的切点.
20、设⊙𝑶𝟏与⊙𝑶𝟐交于𝑷、𝑸两点,过𝑷作两条割线𝑨𝑩、𝑪𝑫,过𝑸作两条平行割线𝑨′𝑩′、𝑪′𝑫′,取△𝑷𝑨𝑪、△𝑷𝑩𝑫、△𝑸𝑩′𝑫′、△𝑸𝑨′𝑪′的九点圆圆心𝑭𝟏、𝑭𝟐、𝑭𝟑、𝑭𝟒.证明:
四边形𝑭𝟏𝑭𝟐𝑭𝟑𝑭𝟒是矩形.
A'
CD'
21、设⊙𝑶是四边形𝑨𝑩𝑪𝑫的内切圆.𝑨𝑪、𝑩𝑫交于𝑷,𝑰、𝑱分别是△𝑨𝑩𝑪、△𝑨𝑫𝑪的内心,
𝑶𝑷,𝑰𝑱交于𝑲,𝑻是𝑲在𝑩𝑫上的射影.证明:
𝑰、𝑱、𝑷、𝑻四点共圆.
B
D
切圆圆心.在𝑨𝑪边上取点𝑬和𝒀,使得∠𝑨𝑩𝒀=∠𝑪𝑩𝒀,𝑩𝑬⊥𝑨𝑪,在𝑨𝑩边上取点𝑭和𝒁,使得∠𝑨𝑪𝒁=∠𝑩𝑪𝒁,𝑪𝑭⊥𝑨𝑩,直线𝑰𝑩𝑭和𝑰𝑪𝑬交于点𝑷.证明:
𝑷𝑶⊥𝒀𝒁.
IB
IC
射影,𝑲𝑷、𝑩𝑪交于𝑿,𝑴是𝑩𝑪的中点,𝑷′是𝑷关于𝑩𝑪的对称点,𝑲′是𝑲关于𝑴的对称点.𝑷′𝑲′
分别交𝑩𝑪于𝒀,交𝑲𝑷于𝒁.证明:
△𝑿𝒀𝒁的外接圆与△𝑸𝑩𝑪的外接圆相切.
D
长线交于点𝑭,𝑲是△𝑪𝑫𝑭的外接圆与△𝑨𝑫𝑬的外接圆的交点(𝑲≠𝑫).设∠𝑩𝑨𝑫、∠𝑨𝑩𝑪、
∠𝑩𝑪𝑫、∠𝑨𝑫𝑪的外角平分线分别为𝒍𝑨、𝒍𝑩、𝒍𝑪、𝒍𝑫,𝒍𝑨和𝒍𝑩、𝒍𝑩和𝒍𝑪、𝒍𝑪和𝒍𝑫、𝒍𝑫和𝒍𝑨分别交于点𝑮、𝑯、𝑰、𝑱.△𝑪𝑫𝑭的外接圆中,弧𝑫𝑭(不含𝑪)的中点为𝑸,直线𝑬𝑯与△𝑨𝑬𝑫的外接圆交于另一点𝑴.设𝑮𝑱中垂线与𝑰𝑯中垂线(不重合)交于点𝑷.证明:
𝑷、𝑴、𝑸、𝑲四点共圆.
Q
EK
J
A
D
GM
I
B
PCF
H
的直线围成的三角形的外接圆与⊙𝑶相切.
A
𝑨𝑩上,𝑿′、𝒀′、𝒁′分别是𝑿关于𝑼、𝒀关于𝑽,𝒁关于𝑾的对称点,点𝑿、𝒀、𝒁关于△𝑨𝑩𝑪的密克点为𝑺,点𝑿′、𝒀′、𝒁′关于△𝑨𝑩𝑪的密克点为𝑻.证明:
𝑶𝑺=𝑶𝑻.
A
BX'UXC
𝑪𝑬+𝑪𝑭=𝑨𝑩.△𝑨𝑫𝑭、△𝑩𝑫𝑬、△𝑪𝑬𝑭的外接圆与△𝑨𝑩𝑪外接圆的另一个交点分别为𝑨𝟏、
𝑩𝟏、𝑪𝟏,𝑷是𝑫、𝑬、𝑭关于△𝑨𝑩𝑪的密克点,证明:
𝑷为△𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏的垂心.
A
A1
C1
F
DP
BEC
B1
𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩上的射影分别是𝑫、𝑬、𝑭,𝑿、𝒀、𝒁分别是𝑨′关于𝑫、𝑩′关于𝑬,𝑪′关于𝑭的对称点.证明:
△𝑿𝒀𝒁∽△𝑨𝑩𝑪.
𝑨𝑩上一点𝑲满足直线𝑲𝑴平行于点𝑷关于△𝑨𝑩𝑪的西姆松线,设𝑸为外接圆上一点满足
𝑸𝑷∥𝑩𝑪.记弦𝑲𝑸交边𝑩𝑪于点𝑱.证明:
𝑲𝑱=𝑴𝑱.
⊙𝑰于另外的点𝑿、𝒀.设𝑱为△𝑨𝑬𝑭外接圆的另一个交点,△𝑿𝑱𝑰外接圆与⊙𝑰的另一个交点为
𝑺,𝑻在⊙𝑰上满足𝑻𝑺⊥𝑨𝑰,连接𝒀𝑻、𝑿𝑺交于𝑷,直线𝑫𝑷与⊙𝑰的另一个交点为𝑸.证明:
𝑲𝑸是⊙
𝑰的直径.
A
C
点,𝑬𝑭、𝑴𝑵交于𝑺,𝑫𝑺与⊙𝑰的另一个交点为𝑱.证明:
𝑱在△𝑨𝑩𝑪的九点圆上.
A
BC
𝑨𝑩的中点分别为𝑫、𝑬、𝑭,直线𝒍分别交△𝑩𝑰𝑪外接圆、△𝑪𝑰𝑨外接圆、△𝑨𝑰𝑩外接圆于另一点𝑫′、𝑬′、𝑭′,过点𝑿、𝒀、𝒁分别作平行于𝑫𝑫′、𝑬𝑬′、𝑭𝑭′的直线𝒍𝟏、𝒍𝟐、𝒍𝟑.证明:
直线
𝒍𝟏、𝒍𝟐、𝒍𝟑交于一点.
于𝑩𝑪的异侧,过点𝑨′作𝑨′𝑫的垂线,分别与𝑨𝑪、𝑨𝑩交于𝑬、𝑭两点.以𝑬𝑭为底,作底角为𝝅的
𝟔
等腰△𝑬𝑻𝑭,并使得𝑨、𝑻位于𝑩𝑪的异侧.证明:
𝑨𝑻经过△𝑨𝑩𝑪的九点圆圆心.
A
F
BA'CET
D
𝑨𝑩𝑪的顶点𝑩、𝑪所对的旁切圆,𝑷、𝑸分别为𝑰𝑩𝑬,𝑰𝑪𝑭的中点,若𝑫𝑬、𝑫𝑭与𝑰𝑩𝑰𝑪交于点𝑲、𝑱,𝑬𝑱与𝑭𝑲交于点𝑴,𝑷𝑬与△𝑷𝑨𝑪的外接圆交于另一点𝑿,𝑸𝑭与△𝑸𝑨𝑩的外接圆交于另一点𝒀.证明:
𝑩𝒀、𝑪𝑿、𝑨𝑴三线共点.
35、已知凸四边形𝑨𝑩𝑪𝑫内两动点𝑷、𝑸满足∠𝑨𝑷𝑩=∠𝑨𝑸𝑩=∠𝑪𝑷𝑫=∠𝑪𝑸𝑫.证明:
动直线𝑷𝑸要么均经过一个定点,要么相互平行.
36、在凸四边形𝑨𝑩𝑪𝑫中,∠𝑨𝑩𝑪=∠𝑨𝑫𝑪<𝝅,∠𝑨𝑩𝑪、∠𝑨𝑫𝑪的平分线交于点𝑷,并分
𝟐
别与𝑨𝑪交于点𝑬、𝑭,𝑴为𝑨𝑪的中点,𝑩𝑴、𝑫𝑴与△𝑩𝑫𝑷的外接圆分别交于另一点𝑿、𝒀,
𝑬𝑿与𝑷𝒀交于点𝑸.证明:
𝑨𝑪⊥𝑷𝑸.
A
B
D
C
37、凸六边形𝑨𝟏𝑨𝟐𝑨𝟑𝑨𝟒𝑨𝟓𝑨𝟔满足𝑨𝟏𝑨𝟐=𝑨𝟑𝑨𝟒=𝑨𝟓𝑨𝟔,𝑨𝟐𝑨𝟑=𝑨𝟒𝑨𝟓=𝑨𝟔𝑨𝟏,点𝑿、𝒀在凸六边形内部且不重合,点𝑿在𝑨𝟏𝑨𝟐、𝑨𝟑𝑨𝟒、𝑨𝟓𝑨𝟔上的投影分别为𝑿𝟏、𝑿𝟐、𝑿𝟑,点𝒀在
𝑨𝟐𝑨𝟑、𝑨𝟒𝑨𝟓、𝑨𝟔𝑨𝟏上的投影分别为𝒀𝟏、𝒀𝟐、𝒀𝟑,且满足𝑿𝑿𝟏=𝑿𝑿𝟐=𝑿𝑿𝟑,𝒀𝒀𝟏=𝒀𝒀𝟐=
𝒀𝒀𝟑.设△𝑿𝟏𝑿𝟐𝑿𝟑、△𝒀𝟏𝒀𝟐𝒀𝟑的欧拉线分别为𝒍𝟏、𝒍𝟐,证明:
𝒍𝟏∥𝒍𝟐.
A4
交于点𝑴,𝑫𝑬与𝑨𝑪相交于点𝑵.证明:
△𝑬𝑴𝑵外接圆与⊙𝑰相切.
A
使𝑨𝑬=𝑩𝑫,𝑪𝑫+𝑪𝑬=𝑨𝑩.记𝑲为𝑩𝑬与𝑨𝑫交点,证明:
𝑲𝑯=𝟐𝑰𝑶.
A
BDC
𝑴为边𝑩𝑪的中点.𝑸、𝑲为圆𝜞上的点,使得∠𝑯𝑸𝑨=∠𝑯𝑲𝑸=𝝅.若点𝑨、𝑩、𝑪、𝑲、𝑸互
𝟐
不相同,且按此顺序排列在𝜞上,证明:
△𝑲𝑸𝑯的外接圆与△𝑭𝑲𝑴的外接圆相切.
𝑨𝑪于𝑬、𝑭,𝑨𝑮交⊙𝑶于𝑲,证明:
𝑨𝑲平分∠𝑬𝑲𝑭.
A
F
E
G
TBC
K
个圆𝝎与射线𝑩𝑨相切(切点不在线段𝑩𝑨上),与射线𝑩𝑪相切(切点不在线段𝑩𝑪上),且与直线𝑨𝑫和直线𝑪𝑫都相切.证明:
圆𝝎𝟏和𝝎𝟐的两条外公切线的交点在圆𝝎上.
𝑨𝑩.延长𝑨𝑷、𝑩𝑷、𝑪𝑷分别交△𝑨𝑩𝑪的外接圆于点𝑫、𝑬、𝑭.证明:
△𝑨𝑷𝑭、△𝑨𝑷𝑬、△𝑩𝑷𝑭、△
𝑩𝑷𝑫、△𝑪𝑷𝑫、△𝑪𝑷𝑬的外接圆圆心六点共圆.
A
D
𝑷𝑨𝑪外接圆的两条外公切线的交点,则
𝑷𝑨
+𝑷𝑩∙𝑷𝑪=𝟏.
()
𝑿𝒀
𝑨𝑩∙𝑨𝑪
45、在凸四边形𝑨𝑩𝑪𝑫中,∠𝑨𝑩𝑪=∠𝑪𝑫𝑨=𝝅,𝑯是𝑨在𝑩𝑫上的射影,边𝑨𝑩上的𝑺和边𝑨𝑫上
𝟐
的𝑻使𝑯在△𝑺𝑪𝑻内部,∠𝑪𝑯𝑺−∠𝑪𝑺𝑩=𝝅,∠𝑻𝑯𝑪−∠𝑫𝑻𝑪=𝝅,证明:
直线𝑩𝑫和△𝑻𝑺𝑯的
𝟐𝟐
外接圆相切.
A
S
T
HD
B
C
关于点𝑶对称,直线𝑨𝟎𝑴交⊙𝑶于异于点𝑨𝟎的一点𝑿,证明:
△𝑨𝑫𝑿的外接圆与直线𝑩𝑪相切.
X
别与△𝑨𝑷𝑫以及△𝑪𝑷𝑩的内切圆切于点𝑲和𝑳,𝑨𝑪与𝑩𝑫交于点𝑬,𝑨𝑲、𝑩𝑳交于点𝑭.证明:
𝑬、𝑰、𝑭共线.
A
D
B
于点𝑨且与𝝎外切;圆𝜴𝑨与𝜴内切于点𝑨且与𝝎内切.设𝑷𝑨和𝑸𝑨分别是𝝎𝑨和𝜴𝑨的圆心.同样定义𝑷𝑩和𝑸𝑩、𝑷𝑪和𝑸𝑪.证明:
8𝑷𝑨𝑸𝑨∙𝑷𝑩𝑸𝑩∙𝑷𝑪𝑸𝑪≤𝑹𝟑
证明:
𝑫、𝑬、𝑭共线当且仅当𝑶𝑯=𝟐𝑹,其中𝑹为△𝑨𝑩𝑪外接圆半径.
F
O
足𝑷𝑨、𝑷𝑩、𝑷𝑪的长度都保持不变.求△𝑨𝑩𝑪面积的最小值.
A
交𝑪𝑨于𝑴,𝑪𝑲交𝑩𝑨于𝑵.𝑳𝑼切⊙𝑰于𝑼,𝑴𝑽切⊙𝑰于𝑽,𝑵𝑾切⊙𝑰于𝑾.证明:
𝑨𝑼、𝑩𝑽、𝑪𝑾三线共点.
A
BLDC
⊙𝑶于𝑻,𝑴、𝑵分别为𝑨𝑩、𝑨𝑪上一点,使得𝑨𝑴=𝑨𝑵,且𝑴、𝑱、𝑵共线,作△𝑨𝑴𝑵外接圆⊙𝑷,直线𝑩𝑪交⊙𝑷于𝑬、𝑭两点,证明:
∠𝑻𝑴𝑵−∠𝑻𝑵𝑴=∠𝑻𝑬𝑱−∠𝑻𝑭𝑱.
N
53、设△𝑨𝑩𝑪内接于⊙𝑶,𝑯为△𝑨𝑩𝑪的垂心,𝑫为𝑨𝑯上一点,使得∠𝑩𝑫𝑪=𝝅,线段𝑩𝑪中
𝟐
垂线交𝑨𝑩、𝑨𝑪于𝑬、𝑭,𝑷为△𝑨𝑬𝑭外心,𝑲为𝑶𝑷上一点,使得𝑶𝑲=𝑯𝑫,过𝑩、𝑪分别作⊙
𝑶的切线相交于𝑻.证明:
𝑻𝑲=𝑻𝑩+𝑨𝑲.
𝑲𝑷
𝑫𝑨
E
T
𝑩𝑪于另一点𝑮,𝑮𝑳⊥𝑬𝑭交⊙𝑷于另一点𝑳,平面上一点𝑱使得四边形𝑱𝑭𝑲𝑬为平行四边形,𝑯为
△𝑨𝑩𝑪的垂心.证明:
𝑳𝑱平分线段𝑨𝑯.
A
BC
𝑪、𝑫.𝑴、𝑵分别为𝑩𝑪、𝑨𝑫的中点.证明:
𝑸𝑴=𝑩𝑪.
𝑸𝑵𝑨𝑫
L
别切𝑨𝑩、𝑩𝑪于𝑴、𝑵两点,𝑴𝑬、𝑫𝑮交于点𝑳,𝑰为△𝑨𝑩𝑪内心,证明:
𝑨𝑳⊥𝑶𝑰.
D
于𝑻,𝑴为𝑫𝑬中点,以𝑫𝑬为直径作⊙𝑴交⊙𝑶于𝑷、𝑸两点,证明:
∠𝑷𝑻𝑬=∠𝑸𝑻𝑬.
A
OT
P
BC
DF
MQ
E
J
𝑬、𝑭、𝑺、𝑻分别是𝑫𝟏、𝑫𝟐关于直线𝑨𝑩、𝑨𝑪、𝑨𝑷、𝑨𝑸的光路反射点,证明:
𝑬、𝑻、𝑷三点共线当且仅当𝑭、𝑺、𝑸三点共线.
𝑫𝑪𝑷=∠𝑸𝑪𝑩.证明:
√𝑷𝑨∙𝑷𝑪∙𝑸𝑨∙𝑸𝑪+√𝑷𝑩∙𝑷𝑫∙𝑸𝑩∙𝑸𝑫=√𝑨𝑩∙𝑩𝑪∙𝑪𝑫∙𝑫𝑨.
D
A
B
𝑪′𝑩𝟐⊥𝑪𝟏𝑩𝟐.类似定义𝑨′、𝑩′两点.证明:
𝑨𝑨′、𝑩𝑩′、𝑪𝑪′三线共点.
A2
A1
C2B1