新平面几何100题160.docx

1、新平面几何100题1601、设𝑰是𝑨𝑩𝑪的内心，𝑫是边𝑩𝑪上的一点，𝑬是𝑩𝑪延长线上一点，且满足𝑩𝑫 = 𝑩𝑬.设𝑯是𝑫到直线𝑰𝑬的垂足，证明：𝑨𝑯𝑬 =𝑰𝑫𝑬. 𝑫𝑪𝑬

2、;𝑪AI HB D C E2、设𝑶、𝑯分别是𝑨𝑩𝑪的外心和垂心，点𝑨关于直线𝑶𝑯的对称点是𝑷，点𝑷和点𝑨不在直线𝑩𝑪的同侧，𝑬、𝑭分别在𝑨𝑩和𝑨𝑪上，满足𝑩𝑬 = 𝑷𝑪，𝑪𝑭 = &#

3、119927;𝑩，直线𝑨𝑷、𝑶𝑯相交于点𝑲，证明：𝑬𝑲 𝑭𝑲. AB CP3、设正𝑨𝑩𝑪的外接圆和内切圆分别是𝜞、𝝎，𝑷为𝝎上一动点，𝑷𝟏、𝑷𝟐、𝑷𝟑分别为𝑷在𝑩𝑪、𝑪

4、𝑨、𝑨𝑩上的射影，圆𝝎𝟏、𝝎𝟐、𝝎𝟑分别与𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩切于𝑷𝟏、𝑷𝟐、𝑷𝟑且与𝜞内切（它们的圆心与𝑨、𝑩、𝑪分别在𝑩𝑪、𝑪𝑨、

5、19912;𝑩的异侧）.证明：圆𝝎𝟏、𝝎𝟐、𝝎𝟑两两外公切线的长度之和是一个定值. A𝑶上的一点，𝑷𝑫 𝑬𝑭于𝑫，交𝑨𝑩于𝑲，作𝑷𝑺 𝑩𝑪于𝑺，连接𝑺𝑲并交𝑨𝑶于𝑻.证明：ү

6、15;𝑺 = 𝑫𝑻. T接圆于点𝑨、𝑷，𝑨𝑬𝑭的外接圆在𝑨处的切线交𝑨𝑩𝑪于𝑨、𝑸两点，设𝑵、𝑴分别为𝑨𝑸、𝑩𝑪的中点.证明：𝑨𝑷𝑫 =𝑴𝑵𝑸. Q𝑶共圆，ү

7、14;、𝑨、𝑩、𝑶共圆.以𝑩为圆心，𝑩𝑪为半径的圆和以𝑪为圆心，𝑩𝑪为半径的圆的根轴为𝒍𝒂.类似定义𝒍𝒃、𝒍𝒄.证明：直线𝒍𝒂、𝒍𝒃、𝒍𝒄交出的三角形垂心与𝑨𝑩𝑪的垂心重合. 其中𝑷、𝑸

8、;分别在𝑩𝑪、𝑩𝑫内，𝑹在𝑪𝑫的延长线上.记点𝑫在直线𝑨𝑪、𝑩𝑪、𝑨𝑩上的射影分别为𝑿、𝒀、𝒁，其中𝑿、𝒀分别在线段𝑨𝑪、𝑩𝑪内，𝒁在𝑩𝑨的延长线上，设𝑨⻗

9、3;𝑫的垂心为𝑯， 证明：𝑩𝑯的中点在𝑷𝑸𝑹外接圆和𝑿𝒀𝒁外接圆的根轴上. HB8、在圆内接四边形𝑨𝑩𝑪𝑫中，𝑨𝑩 𝑩𝑪，𝑨𝑫 𝑫𝑪，𝑰、𝑱分别为𝑨𝑩𝑪、⻗

10、2;𝑫𝑪的内心. 以𝑨𝑪为直径的圆与线段𝑰𝑩交于点𝑿、与𝑱𝑫的延长线交于点𝒀.证明：若𝑩、𝑰、𝑱、𝑫四点共圆， 则点𝑿、𝒀关于直线𝑨𝑪对称. 点𝑷分别在边𝑩𝑪上（𝑵在线段𝑩𝑷上），且满足五边形𝑨

11、19924;𝑵𝑷𝑸的五条边长相等.记点𝑺为直线𝑴𝑵和𝑸𝑷的交点，𝒍为𝑴𝑺𝑸的角平分线.证明：𝒍和𝑶𝑰平行. S类似定义𝒍𝒃、𝒍𝒄. 证明：直线𝒍𝒂、𝒍𝒃、𝒍𝒄三线共点. 𝑷ү

12、29;、𝑸𝑺把四边形𝑨𝑩𝑪𝑫分为 4 个四个对角线互相垂直的凸四边形.证明：𝑷、𝑸、𝑹、𝑺四点共圆. DB C一点𝑴，以𝑫𝑴为直径的圆与𝜴交于除𝑴以外的另一点𝑲，直线𝑴𝑲与𝑩𝑪交于点𝑺，设𝑵为𝑰𝑺的中点，ү

13、23;𝟏、𝑳𝟐为𝑲𝑰𝑫的外接圆与𝑴𝑨𝑵的外接圆的交点.证明：𝑰𝑳𝟏或𝑰𝑳𝟐的中点在𝜴上. AINB D C L2 SM KL1线（不同于直线𝑩𝑪），交直线𝑬𝑭于点𝑿.类似定义𝒀和𝒁.证明：𝑿、𝒀、&#

14、119937;三点共线. AZB D C别交𝑰于𝑴、𝑵，𝑴𝑭与𝑵𝑬交于𝑳.证明：𝑳在直线𝑩𝑫上. C于点𝑱，直线𝑰𝑱不经过点𝑶，且与边𝑨𝑩、𝑪𝑫的延长线分别交于点𝑷、𝑹，与边𝑩𝑪、𝑫𝑨分别交于点

15、19928;、𝑺.线段𝑷𝑹、𝑸𝑺的中点分别为𝑴、𝑵.证明：𝑶𝑴 𝑶𝑵. PR边𝑩𝑪上的点，满足𝑷𝑩 = 𝑩𝑫 𝟐.设𝑬在𝑷𝑵上的投影是𝑯，证明：𝑩𝑬𝑪的外接圆与𝑴𝑷&#

16、119919;的外接圆相切. 𝑷𝑪( )𝑨𝑪ANE DHB M P C于点𝑿、𝒀、𝒁、𝑻.过𝑨、𝑩的圆𝜴与圆𝜞外切于𝑺.证明：𝑺𝑷 𝑺𝑻. 直线𝑫𝑨于𝒀，交直线𝑨𝑪于𝒁，交直线𝑩𝑫于𝒁

17、.已知以上六点在𝒍上按照𝑿、𝒀、𝒁、𝑿、𝒀、𝒁 的顺序排列.证明：以𝑿𝑿、𝒀𝒀、𝒁𝒁为直径的三个圆共点. 作与𝑶内切，与线段𝑪𝑫、𝑨𝑫相切的𝑱.证明：若𝑨、𝑩、𝑰、𝑱四点共圆，则𝑫是三角形𝑨w

18、913;𝑪中的𝑨𝑪𝑩内旁切圆在𝑨𝑩上的切点. 20、设𝑶𝟏与𝑶𝟐交于𝑷、𝑸两点，过𝑷作两条割线𝑨𝑩、𝑪𝑫，过𝑸作两条平行割线𝑨𝑩、𝑪𝑫，取𝑷𝑨𝑪、𝑷𝑩𝑫

19、、𝑸𝑩𝑫、𝑸𝑨𝑪的九点圆圆心𝑭𝟏、𝑭𝟐、𝑭𝟑、𝑭𝟒.证明：四边形𝑭𝟏𝑭𝟐𝑭𝟑𝑭𝟒是矩形. AC D21、设𝑶是四边形𝑨𝑩𝑪𝑫的内切圆. 𝑨⻗

20、4;、𝑩𝑫交于𝑷，𝑰、𝑱分别是𝑨𝑩𝑪、𝑨𝑫𝑪的内心，𝑶𝑷，𝑰𝑱交于𝑲，𝑻是𝑲在𝑩𝑫上的射影.证明：𝑰、𝑱、𝑷、𝑻四点共圆. BD切圆圆心.在𝑨𝑪边上取点𝑬和ү

21、36;，使得𝑨𝑩𝒀 =𝑪𝑩𝒀，𝑩𝑬 𝑨𝑪，在𝑨𝑩边上取点𝑭和𝒁，使得𝑨𝑪𝒁 =𝑩𝑪𝒁，𝑪𝑭 𝑨𝑩，直线𝑰𝑩𝑭和𝑰𝑪𝑬交于

22、点𝑷.证明：𝑷𝑶 𝒀𝒁. IBIC射影，𝑲𝑷、𝑩𝑪交于𝑿，𝑴是𝑩𝑪的中点，𝑷是𝑷关于𝑩𝑪的对称点，𝑲是𝑲关于𝑴的对称点. 𝑷𝑲分别交𝑩𝑪于𝒀，交𝑲𝑷于𝒁

23、.证明：𝑿𝒀𝒁的外接圆与𝑸𝑩𝑪的外接圆相切. D长线交于点𝑭，𝑲是𝑪𝑫𝑭的外接圆与𝑨𝑫𝑬的外接圆的交点(𝑲 𝑫).设𝑩𝑨𝑫、𝑨𝑩𝑪、𝑩𝑪𝑫、𝑨𝑫𝑪的外角

24、平分线分别为𝒍𝑨、𝒍𝑩、𝒍𝑪、𝒍𝑫，𝒍𝑨和𝒍𝑩、𝒍𝑩和𝒍𝑪、𝒍𝑪和𝒍𝑫、𝒍𝑫和𝒍𝑨分别交于点𝑮、𝑯、𝑰、𝑱.𝑪𝑫

25、9917;的外接圆中，弧𝑫𝑭（不含𝑪）的中点为𝑸，直线𝑬𝑯与𝑨𝑬𝑫的外接圆交于另一点𝑴.设𝑮𝑱中垂线与𝑰𝑯中垂线（不重合）交于点𝑷.证明：𝑷、𝑴、𝑸、𝑲四点共圆. QE KJADG MIBP C FH的直线围成的三角形的外接圆与𝑶相切. A 𝑨𝑩上

26、，𝑿、𝒀、𝒁分别是𝑿关于𝑼、𝒀关于𝑽，𝒁关于𝑾的对称点，点𝑿、𝒀、𝒁关于𝑨𝑩𝑪的密克点为𝑺，点𝑿、𝒀、𝒁关于𝑨𝑩𝑪的密克点为𝑻.证明：𝑶𝑺 = 𝑶𝑻. AB X U X

27、 C𝑪𝑬 + 𝑪𝑭 = 𝑨𝑩. 𝑨𝑫𝑭、𝑩𝑫𝑬、𝑪𝑬𝑭的外接圆与𝑨𝑩𝑪外接圆的另一个交点分别为𝑨𝟏、𝑩𝟏、𝑪𝟏，𝑷是𝑫、𝑬、𝑭关于𝑨&#

28、119913;𝑪的密克点，证明：𝑷为𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏的垂心. AA1C1FD PB E CB1𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩上的射影分别是𝑫、𝑬、𝑭，𝑿、𝒀、𝒁分别是𝑨关于𝑫、𝑩关于𝑬，𝑪关于𝑭的对称点

29、.证明：𝑿𝒀𝒁𝑨𝑩𝑪. 𝑨𝑩上一点𝑲满足直线𝑲𝑴平行于点𝑷关于𝑨𝑩𝑪的西姆松线，设𝑸为外接圆上一点满足𝑸𝑷 𝑩𝑪.记弦𝑲𝑸交边𝑩𝑪于点𝑱.证明：𝑲𝑱 = ⻘

30、4;𝑱. 𝑰于另外的点𝑿、𝒀.设𝑱为𝑨𝑬𝑭外接圆的另一个交点，𝑿𝑱𝑰外接圆与𝑰的另一个交点为𝑺，𝑻在𝑰上满足𝑻𝑺 𝑨𝑰，连接𝒀𝑻、𝑿𝑺交于𝑷，直线𝑫𝑷与𝑰的另一个交点为

31、𝑸.证明：𝑲𝑸是𝑰的直径. AC点，𝑬𝑭、𝑴𝑵交于𝑺，𝑫𝑺与𝑰的另一个交点为𝑱.证明：𝑱在𝑨𝑩𝑪的九点圆上. AB C𝑨𝑩的中点分别为𝑫、𝑬、𝑭，直线𝒍分别交𝑩𝑰𝑪外接圆、ү

32、14;𝑰𝑨外接圆、𝑨𝑰𝑩外接圆于另一点𝑫、𝑬、𝑭，过点𝑿、𝒀、𝒁分别作平行于𝑫𝑫、𝑬𝑬、𝑭𝑭的直线𝒍𝟏、𝒍𝟐、𝒍𝟑.证明：直线𝒍𝟏、𝒍𝟐、𝒍ҷ

33、85;交于一点. 于𝑩𝑪的异侧，过点𝑨作𝑨𝑫的垂线，分别与𝑨𝑪、𝑨𝑩交于𝑬、𝑭两点.以𝑬𝑭为底，作底角为𝝅的𝟔等腰𝑬𝑻𝑭，并使得𝑨、𝑻位于𝑩𝑪的异侧.证明：𝑨𝑻经过𝑨𝑩𝑪

34、;的九点圆圆心. AFB A C E TD𝑨𝑩𝑪的顶点𝑩、𝑪所对的旁切圆，𝑷、𝑸分别为𝑰𝑩𝑬，𝑰𝑪𝑭的中点，若𝑫𝑬、𝑫𝑭与𝑰𝑩𝑰𝑪交于点𝑲、𝑱，𝑬𝑱与𝑭𝑲交于点

35、9924;，𝑷𝑬与𝑷𝑨𝑪的外接圆交于另一点𝑿，𝑸𝑭与𝑸𝑨𝑩的外接圆交于另一点𝒀. 证明：𝑩𝒀、𝑪𝑿、𝑨𝑴三线共点. 35、已知凸四边形𝑨𝑩𝑪𝑫内两动点𝑷、𝑸满足𝑨𝑷𝑩

36、=𝑨𝑸𝑩 =𝑪𝑷𝑫 =𝑪𝑸𝑫.证明：动直线𝑷𝑸要么均经过一个定点，要么相互平行. 36、在凸四边形𝑨𝑩𝑪𝑫中，𝑨𝑩𝑪 =𝑨𝑫𝑪 𝝅，𝑨𝑩𝑪、𝑨𝑫𝑪的平分

37、线交于点𝑷，并分𝟐别与𝑨𝑪交于点𝑬、𝑭，𝑴为𝑨𝑪的中点，𝑩𝑴、𝑫𝑴与𝑩𝑫𝑷的外接圆分别交于另一点𝑿、𝒀，𝑬𝑿与𝑷𝒀交于点𝑸.证明：𝑨𝑪 𝑷𝑸. ABDC37、凸六边形&

38、#119912;𝟏𝑨𝟐𝑨𝟑𝑨𝟒𝑨𝟓𝑨𝟔满足𝑨𝟏𝑨𝟐 = 𝑨𝟑𝑨𝟒 = 𝑨𝟓𝑨𝟔，𝑨𝟐𝑨𝟑 = 𝑨𝟒𝑨𝟓

39、= 𝑨𝟔𝑨𝟏，点𝑿、𝒀在凸六边形内部且不重合，点𝑿在𝑨𝟏𝑨𝟐、𝑨𝟑𝑨𝟒、𝑨𝟓𝑨𝟔上的投影分别为𝑿𝟏、𝑿𝟐、𝑿𝟑，点𝒀在𝑨𝟐𝑨ҷ

40、85;、𝑨𝟒𝑨𝟓、𝑨𝟔𝑨𝟏上的投影分别为𝒀𝟏、𝒀𝟐、𝒀𝟑，且满足𝑿𝑿𝟏 = 𝑿𝑿𝟐 = 𝑿𝑿𝟑，𝒀𝒀𝟏 = 𝒀𝒀𝟐 =𝒀

41、𝒀𝟑.设𝑿𝟏𝑿𝟐𝑿𝟑、𝒀𝟏𝒀𝟐𝒀𝟑的欧拉线分别为𝒍𝟏、𝒍𝟐，证明：𝒍𝟏 𝒍𝟐. A4交于点𝑴，𝑫𝑬与𝑨𝑪相交于点𝑵.证明：𝑬ү

42、24;𝑵外接圆与𝑰相切. A使𝑨𝑬 = 𝑩𝑫，𝑪𝑫 + 𝑪𝑬 = 𝑨𝑩.记𝑲为𝑩𝑬与𝑨𝑫交点，证明：𝑲𝑯 = 𝟐𝑰𝑶. AB D C𝑴为边𝑩𝑪的中点.𝑸、𝑲为圆

43、0606;上的点，使得𝑯𝑸𝑨 =𝑯𝑲𝑸 = 𝝅.若点𝑨、𝑩、𝑪、𝑲、𝑸互𝟐不相同，且按此顺序排列在𝜞上，证明：𝑲𝑸𝑯的外接圆与𝑭𝑲𝑴的外接圆相切. 𝑨𝑪于𝑬、𝑭，𝑨𝑮交𝑶

44、;于𝑲，证明：𝑨𝑲平分𝑬𝑲𝑭. AFEGT B CK个圆𝝎与射线𝑩𝑨相切（切点不在线段𝑩𝑨上），与射线𝑩𝑪相切（切点不在线段𝑩𝑪上），且与直线𝑨𝑫和直线𝑪𝑫都相切.证明：圆𝝎𝟏和𝝎𝟐的两条外公切线的交点在圆𝝎上. &

45、#119912;𝑩.延长𝑨𝑷、𝑩𝑷、𝑪𝑷分别交𝑨𝑩𝑪的外接圆于点𝑫、𝑬、𝑭.证明：𝑨𝑷𝑭、𝑨𝑷𝑬、𝑩𝑷𝑭、𝑩𝑷𝑫、𝑪𝑷𝑫、𝑪ү

46、27;𝑬的外接圆圆心六点共圆. AD𝑷𝑨𝑪外接圆的两条外公切线的交点，则𝑷𝑨 + 𝑷𝑩𝑷𝑪 = 𝟏. ( )𝑿𝒀𝑨𝑩𝑨𝑪 45、在凸四边形𝑨𝑩𝑪𝑫中，𝑨𝑩𝑪 =𝑪𝑫𝑨

47、= 𝝅，𝑯是𝑨在𝑩𝑫上的射影，边𝑨𝑩上的𝑺和边𝑨𝑫上𝟐的𝑻使𝑯在𝑺𝑪𝑻内部，𝑪𝑯𝑺 𝑪𝑺𝑩 = 𝝅，𝑻𝑯𝑪 𝑫𝑻𝑪 = 𝝅

48、;，证明：直线𝑩𝑫和𝑻𝑺𝑯的𝟐 𝟐外接圆相切. ASTH DBC关于点𝑶对称，直线𝑨𝟎𝑴交𝑶于异于点𝑨𝟎的一点𝑿，证明：𝑨𝑫𝑿的外接圆与直线𝑩𝑪相切. X别与𝑨𝑷𝑫以及𝑪𝑷𝑩的内切圆切

49、于点𝑲和𝑳，𝑨𝑪与𝑩𝑫交于点𝑬，𝑨𝑲、𝑩𝑳交于点𝑭.证明：𝑬、𝑰、𝑭共线. ADB于点𝑨且与𝝎外切；圆𝜴𝑨与𝜴内切于点𝑨且与𝝎内切.设𝑷𝑨和𝑸𝑨分别是𝝎𝑨

50、;和𝜴𝑨的圆心.同样定义𝑷𝑩和𝑸𝑩、𝑷𝑪和𝑸𝑪.证明：8𝑷𝑨𝑸𝑨 𝑷𝑩𝑸𝑩 𝑷𝑪𝑸𝑪 𝑹𝟑 证明：𝑫、𝑬、𝑭共线当且仅当𝑶𝑯 =

51、20784;𝑹，其中𝑹为𝑨𝑩𝑪外接圆半径. FO足𝑷𝑨、𝑷𝑩、𝑷𝑪的长度都保持不变.求𝑨𝑩𝑪面积的最小值. A交𝑪𝑨于𝑴，𝑪𝑲交𝑩𝑨于𝑵. 𝑳𝑼切𝑰于𝑼，𝑴ү

52、33;切𝑰于𝑽，𝑵𝑾切𝑰于𝑾.证明：𝑨𝑼、𝑩𝑽、𝑪𝑾三线共点. AB L D C𝑶于𝑻，𝑴、𝑵分别为𝑨𝑩、𝑨𝑪上一点，使得𝑨𝑴 = 𝑨𝑵，且𝑴、𝑱、𝑵共线，作w

53、912;𝑴𝑵外接圆𝑷，直线𝑩𝑪交𝑷于𝑬、𝑭两点，证明：𝑻𝑴𝑵 𝑻𝑵𝑴 =𝑻𝑬𝑱 𝑻𝑭𝑱. N53、设𝑨𝑩𝑪内接于𝑶，𝑯为𝑨𝑩𝑪的垂心，𝑫

54、为𝑨𝑯上一点，使得𝑩𝑫𝑪 = 𝝅，线段𝑩𝑪中𝟐垂线交𝑨𝑩、𝑨𝑪于𝑬、𝑭，𝑷为𝑨𝑬𝑭外心，𝑲为𝑶𝑷上一点，使得𝑶𝑲 = 𝑯𝑫，过𝑩、𝑪分别作⻘

55、6;的切线相交于𝑻.证明：𝑻𝑲 = 𝑻𝑩 + 𝑨𝑲. 𝑲𝑷𝑫𝑨ET𝑩𝑪于另一点𝑮，𝑮𝑳 𝑬𝑭交𝑷于另一点𝑳，平面上一点𝑱使得四边形𝑱𝑭𝑲𝑬为平行四边形，𝑯为𝑨w

56、913;𝑪的垂心.证明：𝑳𝑱平分线段𝑨𝑯. AB C𝑪、𝑫. 𝑴、𝑵分别为𝑩𝑪、𝑨𝑫的中点.证明：𝑸𝑴 = 𝑩𝑪. 𝑸𝑵 𝑨𝑫L别切𝑨𝑩、𝑩𝑪于𝑴、𝑵两点，ү

57、24;𝑬、𝑫𝑮交于点𝑳，𝑰为𝑨𝑩𝑪内心，证明：𝑨𝑳 𝑶𝑰. D于𝑻，𝑴为𝑫𝑬中点，以𝑫𝑬为直径作𝑴交𝑶于𝑷、𝑸两点，证明：𝑷𝑻𝑬 =𝑸𝑻𝑬. AO TP

58、B CD FM QEJ𝑬、𝑭、𝑺、𝑻分别是𝑫𝟏、𝑫𝟐关于直线𝑨𝑩、𝑨𝑪、𝑨𝑷、𝑨𝑸的光路反射点，证明：𝑬、𝑻、𝑷三 点共线当且仅当𝑭、𝑺、𝑸三点共线. 𝑫𝑪𝑷 =𝑸𝑪&

59、#119913;.证明：𝑷𝑨 𝑷𝑪 𝑸𝑨 𝑸𝑪 + 𝑷𝑩 𝑷𝑫 𝑸𝑩 𝑸𝑫 = 𝑨𝑩 𝑩𝑪 𝑪𝑫 𝑫𝑨. DAB𝑪𝑩𝟐 𝑪𝟏𝑩𝟐.类似定义𝑨、𝑩两点.证明：𝑨𝑨、𝑩𝑩、𝑪𝑪三线共点. A2A1C2 B1