黄河小浪底调水调沙工程数学实验实验报告Word文档格式.docx
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00
20：
20:
8:
水流量
1800
1900
2100
2200
2300
2400
2500
2600
2650
2700
2720
含沙量
32
60
75
85
90
98
100
102
108
112
115
116
5
7.6
7
7.8
9
7.10
2000
1850
1820
1750
1500
1000
900
118
120
105
80
50
26
20
8
注：
以上数据主要是根据媒体公开报道的结果整理而成。
现在,根据试验数据建立数学模型研究下面的问题:
（1）给出估算任意时刻的排沙量及总排沙量的方法；
（2）确定排沙量与水流量的变化关系.
关键词:
拟合,SAS,Matlab，线性回归，调水调沙实验
问题分析：
1、对于问题一，所给数据中水流量x和含沙量h的乘积即为该时刻的排沙量y即:
y=hx。
2、对于问题二，研究排沙量与排水量的关系，从实验数据中可以看出,开始排沙量随水量增加而增加,而后随水流量的增加而减少，显然变化关系并非线性的关系，为此，把问题分为两部分，从水流量增加到最大值为第一阶段,从水流量最大值到结束为第二阶段，分别来研究水流量与排沙量之间的函数关系。
模型假设：
1、水流量和排沙量都是连续的,不考虑上游泄洪所带来的含沙量和外界带来的含沙量。
2、时间是连续变化的，所取时间点依次为1，2，3，…,24,单位时间为12h。
模型的建立与求解：
<
一〉对于问题一,因为排沙量与时间的散点图基本符合正态曲线，如图二所示。
所以，排沙量的对数与时间的函数关系就应该符合二次函数关系，因而排沙量取对数后,再与时间t进行二次回归，排沙量取自然后的数据见表2。
假设排沙量与时间函数关系的数学模型是
两边取对数得
Lny=at^2+bt+c
先由表二做出排沙量的自然对数lny与时间t的散点图见图一，并利用SAS软件进行拟合，得到排沙量的自然对数与时间的回归方程为：
Lny=-0.0209t^2+0。
4298t+10。
6321
由回归拟合参数表可知回归方程是显著的,因为相关系数人R^2=0。
9629，误差均方S^2=0。
0543，说明回归曲线拟合效果很好。
所以排沙量与时间之间的函数关系式为
图二：
排沙量对时间的曲线图
时间点
1
57600
10。
96128
114000
11.64395
3
157500
11.96718
4
187000
12.13886
207000
12.24047
6
235200
12.36819
250000
12。
42922
265200
12.48824
286200
12.56445
10
302400
12.61951
11
312400
65332
12
307400
12.63591
13
306800
12.63395
14
300000
12.61154
15
271400
12.51135
16
231000
12.35017
17
160000
11。
98293
18
111000
61729
19
91000
41864
54000
89674
21
45500
72547
22
30000
30895
23
8000
8.987197
24
4500
8。
411833
最后对所求出的函数关系在区间［0,24]之间进行积分
结果为总排沙量1。
93962亿吨，此与媒体报道的排沙量几乎一样。
二>
对于第二个问题，两个阶段的数据如表三、表四所示
表三：
第一阶段试验数据
序号
水流量x
含沙量h
表四：
第二阶段的试验观测数据
对于第一阶段，有表四用MATLAB作图（如图三）可以看出其变化趋势,我们用多项式做最小二乘拟合.
设三次拟合函数关系h=a0+a1x+a2x^2+a3x^3
其中a0,a1，a2,a3,为待定系数.
四次拟合函数关系h=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4
其中a0,a1，a2,a3，a4为待定系数.
图三：
第一阶段水流量与排沙量之间的关系图
三次多项式拟合由MATLAB拟合函数求解出a0=a1=0，a2=0.0032，a3=-2。
4929.则拟合函数
h=0。
0032x^2-2.4929x^3，拟合效果如图四所示
图四:
三次多项式拟合效果，红线为拟合曲线
类似的四次多项式拟合由MATLAB拟合函数求解出a0=a1=a2=0，a3=0.0121，a4=-7。
4347则拟合函数
0121x^3-7。
4347x^4，拟合效果如图五所示
图五:
四次多项式拟合效果，蓝线线为拟合曲线
对于第二阶段,有表五用MATLAB作图可以看出其变化趋势，我们用多项式做最小二乘拟合。
其中a0，a1,a2,a3，为待定系数.
其中a0，a1，a2,a3，a4为待定系数。
三次多项式拟合由MATLAB拟合函数求解出a0=a1=0，a2=—0.9475，a3=464.9601。
则拟合函数
h=—0.9475x^2+464。
9601x^3,拟合效果如图图六所示
图六：
三次拟合函数拟合效果
类似的四次多项式拟合由MATLAB拟合函数求解出a0=a1=0，a2=-0。
0013，a3=1。
1219a4=-354。
5952则拟合函数
h=-0。
0013x^2+1.1219x^3-354.5952x^4,拟合效果如图七所示
图七：
四次拟合函数拟合效果
结论以及分析检验：
一>
用SAS软件做线性回归得到排沙量与时间的函数关系式为:
再利用所求函数在区间［0，24]上进行积分得到总排沙量1。
93962亿吨,这与现实情况基本相符.
对于第一阶段三次多项式拟合由MATLAB拟合函数求解a0=a1=0，a2=0.0032，a3=-2。
4929则拟合函数h=0.0032x^2-2。
4929x^3
对于第一阶段四次多项式拟合由MATLAB拟合函数求解出a0=a1=a2=0,a3=0.0121,a4=-7.4347则拟合函数h=0。
0121x^3—7.4347x^4
对于第二阶段三次多项式拟合由MATLAB拟合函数求解出a0=a1=0,a2=-0。
9475,a3=464。
9601则拟合函数h=-0。
9475x^2+464。
9601x^3
对于第二阶段四次多项式拟合由MATLAB拟合函数求解出a0=a1=0，a2=—0.0013,a3=1。
5952则拟合函数h=-0.0013x^2+1.1219x^3-354.5952x^4
讨论与推广：
1、对于第一个问题排沙量与时间不是严格的正态函数关系可能与实际有些偏差，此外还可以用SAS软件进行高次的多向式回归
2、对于第二个问题，由于MATLAB软件的计算可能有些偏差导致拟合的函数关系可能与实际有稍微偏差,此外,还可以进行高次的拟合。
附录：
1、排沙量与时间的关系图像的MATLAB程序：
〉〉t=1:
1:
24；
〉>
y=[57600,114000，157500，187000，207000,235200,250000,265200，2862000,2400，312800，307400,306800,300000，271400,231000,160000，111000,91000，54000，45500，30000,8000，4500]；
>
plot（t,y,'
r'
2、对排沙量求自然对数的MATLAB程序与结果：
y3=log（y）
y3=
Columns1t
hrough17
10。
961311。
644011。
967212.138912.240512。
368212.429212。
488212.564412.619512.653312。
635912.634012.611512。
511312.350211。
9829
Columns18through24
11.617311.418610。
896710。
725510。
30908.98728。
4118
3、第一阶段的排沙量与水流量之间的关系MATLAB程序：
x=[1800,1900,2100,2200，2300,2400,2500,2600,2650,2700,2720］；
〉h=[32,60,75，85，90,98,100，102，108,112，115];
〉〉x1=［2650,2600,2500,2300,2200,2000，1850,1820，1800，1750,1500，1000,900］；
〉h1=[116，118，120,118，105，80，60,50,40,32,20,8，5];
plot（x,h，'
r:
’）
4、第一阶段三次多项式拟合函数以及拟合效果程序与结果：
〉A1=polyfit（x，h,3）
〉〉inpolyfitat80
A1=
0。
0000-0。
00000。
0032—2.4929
〉z1=polyval（A1,x）;
plot（x，h,'
k+'
x,z1,'
5、第一阶段四次多项式拟合函数以及拟合效果程序与结果:
〉〉A2=polyfit（x，h,4）
〉Inpolyfitat80
A2=
—0。
0000-0.00000。
0121—7.4347
z2=polyval（A2,x）;
plot（x，h，'
＊'
x，z2,’r’）
6、第二阶段三次多项式拟合函数以及拟合效果程序与结果：
〉A3=polyfit（x1，h1,3）
〉〉Inpolyfitat80
A3=
0006—0.9475464.9601
z3=polyval（A3，x1）；
plot（x，h,’＊'
，x1,z3,'
b’）
7、第二阶段四次多项式拟合函数以及拟合效果程序与结果：
〉〉A4=polyfit（x1，h1，4）
Inpolyfitat80
A4=
—0.00000.0000—0.00131.1219-354。
5952
〉〉z4=polyval（A4,x1）;
〉plot（x1，h1，’k＊’，x1，z4,’r:
参考文献:
【1】姜启源,数学模型（第三版），高等教育出版社
【2】楼顺天,MATLAB程序设计语言（第二版），西安电子科技大学出版社
【3】刘娜，在SAS中拟合ARCH/GARCH模型
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