精品教案《全等三角形》名师教案人教版八年级上册数学.docx

精品教案《全等三角形》名师教案人教版八年级上册数学.docx

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精品教案《全等三角形》名师教案人教版八年级上册数学

12.1全等三角形（刘翔）

一、教学目标

（一）学习目标

1．认识全等形、全等三角形的概念和全等三角形的对应元素；

2．理解寻找全等三角形中对应元素的方法；

3．掌握三角形全等变换方式和性质，利用全等三角形的性质解决简单的问题．

（二）学习重点

全等三角形的概念、性质．

（三）学习难点

掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速正确地指出两个三角形的对应元素.

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

能够完全重合的两个图形叫做　　全等形　　；完全重合的两个三角形叫做　　全等三角形　　；一个图形经过　　平移、翻折、旋转　　后位置变化了，但形状大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形　　全等　　；把两个全等三角形重合在一起，　　重合的顶点　　叫做对应顶点，　　重合的边　　叫做对应边，　重合的角　　叫做对应角；全等三角形的对应边　　相等　　，　　对应角　　相等．

2．预习自测

（1）下列各图形中，不是全等图形的是（　　）

【知识点】全等图形

【解题过程】解：

A两个图形不能重合，不是全等图形；B、C、D两个图形都能重合，是全等图形．故选A．

【思路点拨】能够完全重合的两个图形叫做全等形，由此可判断各选项．

【答案】A．

（2）下列四个汽车标志图案中，不存在全等图形的标志图案是（　　）

【知识点】全等图形

【解题过程】解：

A、B、D存在全等图形、C不存在全等图形．故选C．

【思路点拨】能够完全重合的两个图形叫做全等形，由此可判断各选项．

【答案】C．

（3）如图，△ABC≌△DEF，∠B＝60°，则∠E的度数为（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

【知识点】全等三角形的性质．

【解题过程】解：

∵△ABC≌△DEF，

∴∠B=∠E=60°；

故选：

C．

【思路点拨】全等三角形对应角相等．

【答案】C．

（4）如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是（）

A．5B．4C．3D．2

【知识点】全等三角形的性质．

【解题过程】解：

∵△ABC≌△DEF，

∴AB=DE；

∵BE＝4，AE＝1

∴AB=DE=4+1=5

故选：

A．

【思路点拨】全等三角形对应边相等．

【答案】A．

（二）课堂设计

1．知识回顾

（1）三角形：

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形．

（2）一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变．

2．问题探究

探究一：

全等形、全等三角形的概念.

●活动回顾旧知，回忆构成三角形的元素

学生活动：

（1）三个顶点；

（2）三条边；（3）三个内角．

【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.

●活动整合旧知，探究全等形、全等三角形的概念.

问题1：

一位哲人曾经说过：

“世界上没有两片完全相同的叶子”，但是在我们的周围却有着好多形状、大小完全相同的图案。

你能举出这样的例子吗？

学生活动：

（1）举手抢答.

（2）学生自己裁剪、粘贴出形状大小、且能完全重合的三角形、四边形、正五边形、等任意图形自己观察？

问题2：

下面的图形中，形状和大小完全相同的图形有哪几对？

生答：

1和6，3和7，4和9.

问题3：

判断两个图形的形状和大小是否完全相同，可以通过运动把两个图形叠在一起，看它们是否重合吗？

追问：

这里“运动”指哪些:

总结：

能够完全重合的两个图形叫做全等形；完全重合的两个三角形叫做全等三角形；一个图形经过平移、翻折、旋转后位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等；

【设计意图】鼓励学生独立自主解决问题，让学生初步感受通过动手操作来掌握几何知识的相关概念，引导学生由观察得到的感性认识，思考满足全等图形条件，寻求解决问题的方法。

探究二：

全等三角形的对应元素以及寻找全等三角形中对应元素的方法.▲

●活动①大胆猜想，探究新知识

观察这两个三角板，小组讨论，有何发现？

记作:

△ABC≌△DEF读作:

△ABC全等于△DEF

把两个全等三角形重合在一起，重合的顶点，叫做对应顶点，重合的边，叫做对应边，重合的角叫做对应角.

老师通过多媒体展示两图形的动态重合过程，以及对应点、对应角的位置．

【设计意图】老师综合学生的疑惑，把有意义的问题归纳，并展示出来．

●活动②集思广益，寻找对应元素的方法

如图，已知△ABC与△EBD全等，请指出其中的对应角和对应边．

让学生找出对应角和对应边.

教师活动：

你是怎样想的？

总结：

找对应元素的常用方法有两种：

（一）从运动角度看

1．翻折法：

找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．

2．旋转法：

三角形绕某一点旋转一定角度能与另一个三角形重合，从而发现对应元素．

3．平移法：

沿某一方向平移使两个三角形重合来找对应元素．

（二）根据位置元素来推理

1．全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．

2．全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．

3.还可用如下规律确定常见全等三角形的对应边和对应角：

类型

图例

说明

有公共边

公共边是对应边，如图，△ABC≌△BAD，AB是公共边，AB与BA是对应边

有公共角

公共角是对应角，如图，△ABC≌△ADE，∠A是公共角，则∠BAC与∠DAE是对应角

对顶角

对顶角是对应角，如图，△ABC≌△ADE，

∠CAB与∠EAD是对顶角，故它们是对应角

最长（短）与最长（短）边，最大（小）角与最大（小）角

两个全等三角形中，一对最长（短）边是对应边，一对最大（小）角是对应角，如图，△ABC≌△A’B’C’，AC与A’C’为最长边，AB与A’B’为最短边，它们分别是对应边；∠B与∠B’是最大角，∠C与∠C’是最小角，它们分别是对应角

【设计意图】快速准确找全等三角形对应边、对应角的方法是精华.

探究三：

全等三角形的性质，利用全等三角形的性质解决简单的问题.★▲

●活动①全等三角形的性质

问题1：

通过前面的探究，我们知道全等三角形有哪些性质?

全等三角形的对应边相等，对应角相等．

问题2：

利用全等三角形的性质可以解决一些怎样的问题?

1.根据三角形全等，可以证明线段相等，角相等；

2.根据三角形全等，求边长或角度

例1用同样粗细，同样材料的金属粗线构制两个全等三角形，如图所示，△ABC和△DEF，已知∠B＝∠E，AC的质量为25千克，求DF的质量．

【知识点】全等三角形的性质

【解题过程】因为△ABC≌△DEF，∠B＝∠E，所以∠B与∠E是对应角．所以AC与DF为对应边．故有AC＝DF.又因为AC的质量为25千克，所以DF的质量为25千克．

【思路点拨】因为构成三角形的金属线是同样粗细，同种材料，又长度相等，故质量相等．

【答案】DF的质量为25千克

练习：

如图所示，△ABC≌△DCB，则观察图形一定有下列关系成立：

（1）AB＝______，AC＝___________；

（2）∠A＝____，∠ABC＝________，∠ACB＝______．

【知识点】全等三角形的性质

【解题过程】∵△ABC≌△DCB

∴AB＝DC，AC＝DB；

∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC．

【思路点拨】全等三角形的对应边相等，对应角相等．

【答案】

（1）DC，DB

（2）∠D，∠DCB，∠DBC

【设计意图】通过练习，掌握全等三角形的性质

●活动2

例2如图，△ABC≌△DEF，AB＝DE，AC＝DF，且点B，E，C，F在同一条直线上．

（1）求证：

BE＝CF，AC∥DF；

（2）若∠D＋∠F＝90°，试判断AB与BC的位置关系．

【知识点】全等三角形的性质、等式性质、平行线的性质、垂线的性质

【解题过程】

（1）证明：

∵△ABC≌△DEF，

∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，

∴BC－EC＝EF－EC，AC∥DF

∴BE＝CF.

（2）解：

结论：

AB⊥BC.

证明：

∵△ABC≌△DEF，

∴∠A＝∠D，∠ACB＝∠F

∵∠D＋∠F＝90°

∴∠A＋∠ACB＝90°

∴∠B＝90°

∴AB⊥BC.

【思路点拨】利用全等三角形的对应边相等，对应角相等．

【答案】

（2）结论：

AB⊥BC.

练习：

如图，AM平分∠CAD，CN平分∠ACB，△ACB≌△CAD，请你判断AM和CN的位置关系，并说明理由．

【知识点】全等三角形的性质

【解题过程】

解：

AM∥CN.

理由：

∵△ACB≌△CAD，

∴∠ACB＝∠CAD.

∵AM和CN分别平分∠CAD和∠ACB，

∴∠ACN＝∠ACB，∠CAM＝∠CAD.

∴∠ACN＝∠CAM.

∴AM∥CN.

【思路点拨】利用全等三角形的对应角相等，角平分线的定义可知两小角相等，再由平行线的判定得平行.

【答案】AM∥CN.

【设计意图】考查运用三角形全等的性质进行简单推理的能力，体会证明过程的规范性.

●活动3

例3在△ABC中，点A的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（﹣5，1），如果△ABD与△ABC全等，求点D的坐标．

【知识点】全等三角形性质的应用

【解题过程】

解：

当△ABC≌△ABD时，D坐标为（﹣2，0）；

当△ABC≌△BAD时，D坐标为（﹣4，0）；

当△ABC≌△BAD时，D坐标为（﹣4，2）；

故点D坐标是（﹣2，0）或（﹣4，0）或（﹣4，2）．

【思路点拨】利用全等三角形的对应边相等，对应角相等．解此题的关键是能根据题意化成符合条件的所有图形．

【答案】点D坐标是（﹣2，0）或（﹣4，0）或（﹣4，2）．

练习：

如图，△ABC的顶点A，B，C都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫做格点三角形，试在下面5×5的方格纸上按下列要求画出格点三角形．

（1）所画的三角形与△ABC全等且有1个公共顶点；

（2）所画的三角形与△ABC全等且有1条公共边；

（3）探索与△ABC全等且有公共边AB的格点三角形共有多少个．

【知识点】全等三角形性质的应用

【解题过程】

（1）如图①；

（2）如图②；

（3）根据C点的不同方向可以有三个以AB为边的格点三角形与△ABC全等，如图②，图③，图④：

【思路点拨】

（1）所画的三角形与△ABC全等且有1个公共顶点，也就是说画出的三角形可以分别与A、B或C三点为顶点作一个与△ABC全等的三角形即可；

（2）所画的三角形与△ABC全等且有1个公共边，也就是说所作出的与△ABC全等的三角形只要与AC、AB或BC重合便可；

（3）可以C点不同的方向分析得出答案，当C点在线段AB的左上方时，左下方时，右下方时，右上方时进行分析.

 【答案】解：

（1）如图①；

（2）如图②；

（3）3个．

【设计意图】通过画图，训练学生思维的多样性，有利于提高学生综合运用条件推理、考虑问题全面的能力.

3.课堂总结

知识梳理

（1）能够完全重合的两个图形是全等形，能够完合重合的两个三角形是全等三角形．

（2）全等三角形的表示方法：

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”

（3）全等三角形的有关概念：

对应顶点、对应边、对应角.

（4）全等三角形的对应边相等，对应角相等．

重难点归纳

（1）能够完合重合的两个三角形是全等三角形．

（2）全等三角形的对应边相等，对应角相等

（3）找对应元素的常用方法有两种：

（一）从运动角度看，

（二）根据位置元素来推理.

（三）课后作业

基础型自主突破

1．一个图形经过平移后，发生变化的是（）

A．形状B．大小C．位置D．以上都变化了

【知识点】平移、全等图形

【解题过程】全等图形的形状、大小一样，只