《步步高》高考数学第一轮复习04 解三角形应用举例Word文档格式.docx

《步步高》高考数学第一轮复习04 解三角形应用举例Word文档格式.docx

《《步步高》高考数学第一轮复习04 解三角形应用举例Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《步步高》高考数学第一轮复习04 解三角形应用举例Word文档格式.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

由正弦定理得＝，

∴AC＝·

＝.

3．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°

和60°

，而且两条船与炮台底部连线成30°

角，则两条船相距________m.

答案　10

解析　如图，OA为炮台，M、N为两条船的位置，∠AMO＝45°

，∠ANO

＝60°

，OM＝AOtan45°

＝30，

ON＝AOtan30°

＝×

30＝10，

由余弦定理得，

MN＝＝＝10（m）．

4．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°

，沿倾斜角为30°

的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°

，则山的高度BC为____________m.

答案　500（＋1）

解析　过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°

，故∠ADE＝150°

于是∠ADB＝360°

－150°

－60°

＝150°

又∠BAD＝45°

－30°

＝15°

故∠ABD＝15°

，由正弦定理得AB＝

＝＝500（＋）（m）．

所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin45°

＝500（＋1）（m）．

5．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°

，灯塔B在观察站南偏东60°

，则灯塔A在灯塔B的（　　）

A．北偏东10°

B．北偏西10°

C．南偏东10°

D．南偏西10°

答案　B

解析　灯塔A、B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°

∠CAB＝∠CBA＝50°

则α＝60°

－50°

＝10°

，即北偏西10°

题型一　测量距离问题

例1

　要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°

，∠BCD＝45°

，∠ADC＝30°

，∠ADB＝45°

，求A、B之间的距离．

思维启迪：

将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正、余弦定理解三角形．

解　如图所示，在△ACD中，

∠ACD＝120°

，∠CAD＝∠ADC＝30°

∴AC＝CD＝km.

在△BCD中，∠BCD＝45°

∠BDC＝75°

，∠CBD＝60°

∴BC＝＝.

在△ABC中，由余弦定理，得

AB2＝（）2＋2－2×

×

cos75°

＝3＋2＋－＝5，

∴AB＝（km），∴A、B之间的距离为km.

探究提高　这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．

注意：

①基线的选取要恰当准确；

②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．

如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°

的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．

答案　50

解析　连接OC，在△OCD中，

OD＝100，

CD＝150，∠CDO＝60°

由余弦定理可得

OC2＝1002＋1502－2×

100×

150×

＝17500，

解得OC＝50（米）．

题型二　测量高度问题

例2

　某人在塔的正东沿着南偏西60°

的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°

，求塔高．

依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，

CD＝40米，此时∠DBF＝45°

，从C到D沿途测塔的仰角，只有B

到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB＝，AB

为定值，BE最小时，仰角最大．要求出塔高AB，必须先求BE，而

要求BE，需先求BD（或BC）．

解　如图所示，某人在C处，AB为塔高，

他沿CD前进，CD＝40，此时∠DBF＝45°

，过点B作BE⊥CD于E，

则∠AEB＝30°

在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°

，∠DBC＝135°

，由正弦定理，得

＝，

∴BD＝＝20（米）．∠BDE＝180°

－135°

在Rt△BED中，

BE＝DBsin15°

＝20×

＝10（－1）（米）．

在Rt△ABE中，∠AEB＝30°

∴AB＝BEtan30°

＝（3－）（米）．

故所求的塔高为（3－）米．

探究提高　在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．

如图所示，B，C，D三点在地面的同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β和α（α<

β），则A点距地面的高AB为_______________．

解析　AB＝ACsinβ，＝＝，

解得AB＝.

题型三　测量角度问题

例3

　某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°

，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°

的方向，以9nmile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．

本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形．

解　如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°

，设舰艇靠近渔轮

所需的时间为th，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC

中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·

BC·

cos120°

，所以212t2＝102

＋81t2＋2×

10×

9t×

，即360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－（舍去）．所以舰艇靠

近渔轮所需的时间为h．此时AB＝14，BC＝6.

在△ABC中，根据正弦定理得＝，

所以sin∠CAB＝＝，

即∠CAB≈21.8°

或∠CAB≈158.2°

（舍去）．

即舰艇航行的方位角为45°

＋21.8°

＝66.8°

所以舰艇以66.8°

的方位角航行，需h才能靠近渔轮．

探究提高　对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件．

如图所示，位于A处的信息中心获悉：

在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°

、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ等于

（　　）

A.B.C.D.

解析　如图所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°

，由

余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·

AC·

＝2800，所以BC＝

20.

由正弦定理，得

sin∠ACB＝·

sin∠BAC＝.

由∠BAC＝120°

，知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝.

故cosθ＝cos（∠ACB＋30°

）

＝cos∠ACBcos30°

－sin∠ACBsin30°

正、余弦定理在实际问题中的应用

典例：

（12分）如图，在海岸A处发现北偏东45°

方向，距A处（－1）海里

的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°

方向，距A处2海里的C处

的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船

正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°

方向逃窜．问：

缉私

船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？

并求出所需时间．

审题视角　

（1）分清已知条件和未知条件（待求）．

（2）将问题集中到一个三角形中，如△ABC和△BCD.

（3）利用正弦定理或余弦定理求解．

规范解答

解　设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则CD＝10t（海里），BD＝10t（海里），[1分]

在△ABC中，由余弦定理，有

BC2＝AB2＋AC2－2AB·

ACcos∠BAC

＝（－1）2＋22－2（－1）·

2·

＝6.

∴BC＝（海里）．[3分]

又∵＝，

∴sin∠ABC＝＝＝，

∴∠ABC＝45°

，∴B点在C点的正东方向上，

∴∠CBD＝90°

＋30°

＝120°

，[5分]

在△BCD中，由正弦定理，得＝，

∴sin∠BCD＝＝＝.

∴∠BCD＝30°

，∴缉私船沿北偏东60°

的方向行驶．[8分]

又在△BCD中，∠CBD＝120°

，∠BCD＝30°

∴D＝30°

，∴BD＝BC，即10t＝.

∴t＝小时≈15（分钟）．[11分]

∴缉私船应沿北偏东60°

的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．[12分]

答题模板

解斜三角形应用题的一般步骤为

第一步：

分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图；

第二步：

建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；

第三步：

求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；

第四步：

检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．

温馨提醒　

（1）由实际出发，构建数学模型是解应用题的基本思路．如果涉及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问题进行解答，之后再还原成实际问题，即利用上述模板答题．

（2）本题的易错点：

不能将已知和待求量转化到同一个三角形中，无法运用正、余弦定理求解.

方法与技巧

1．合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型．

2．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值．

3．合理运用换元法、代入法解决实际问题．

失误与防范

在解实际问题时，应正确理解如下角的含义．

1．方向角——从指定方向线到目标方向线的水平角．

2．方位角——从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角．

3．坡度——坡面与水平面所成的二面角的正切值．

4．仰角与俯角——与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下方时称为俯角．

A组　专项基础训练

（时间：

35分钟，满分：

57分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1．如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为，设α为坡角，那么cosα等于（　　）

A.B.C.D.

解析　因为tanα＝，所以cosα＝.

2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°

，现高不变，将倾斜角改为10°

，则斜坡长为（　　）

A．1B．2sin10°

C．2cos10°

D．cos20°

答案　C

解析　如图，∠ABC＝20°

AB＝1，∠ADC＝10°

∴∠ABD＝160°

在△ABD中，由正弦定理得＝，

∴AD＝AB·

＝＝2cos10°

3．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°

，沿点A向北偏东30°

前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°

，则水柱的高度是（　　）

A．50mB．100mC．120mD．150m

答案　A

解析　设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，∠A＝60°

，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，（h）2＝h2＋1002－2·

h·

100·

cos60°

，即h2＋50h－5000＝0，即（h－50）（h＋100）＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.

4.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一

点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°

，∠CAB＝105°

后，就可以计

算出A、B两点的距离为（　　）

A．50mB．50m

C．25mD.m

解析　∵∠ACB＝45°

∴∠ABC＝180°

－105°

－45°

＝30°

在△ABC中，由正弦定理得＝，

∴AB＝＝＝50（m）．

二、填空题（每小题5分，共15分）

5．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°

，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°

，则甲、乙两楼的高分别是________________．

答案　20米、米

解析　如图，依题意有甲楼的高度为AB＝20·

tan60°

＝20（米），又CM＝DB＝20（米），∠CAM＝60°

，所以AM＝CM·

＝（米），故乙楼的高度为CD＝20－＝（米）．

6．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°

方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°

方向，这时船与灯塔的距离为______km.

答案　30

解析　如图所示，依题意有

AB＝15×

4＝60，∠MAB＝30°

，∠AMB＝45°

在△AMB中，

由正弦定理得＝，解得BM＝30（km）．

7.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA

，∠BCD＝135°

，则BC的长为________．

答案　8

解析　在△ABD中，设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·

AD·

cos∠BDA，即142＝x2＋102－2·

10x·

，整理得x2－10x－96＝0，解之得x1＝16，x2＝－6（舍去）．

在△BCD中，由正弦定理：

∴BC＝·

sin30°

＝8.

三、解答题（共22分）

8．（10分）如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面

内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°

，∠BDC＝30°

，CD＝30m，并在

点C处测得塔顶A的仰角为60°

，求塔高AB.

解　在△BCD中，∠CBD＝180°

－15°

＝135°

由正弦定理，得＝，

所以BC＝＝15（m）．

在Rt△ABC中，AB＝BC·

tan∠ACB＝15tan60°

＝15（m）．所以塔高AB为15m.

9．（12分）如图，在△ABC中，已知∠B＝45°

，D是BC边上的一点，AD

＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．

解　在△ADC中，AD＝10，

AC＝14，DC＝6，

由余弦定理得cos∠ADC＝

＝＝－，

∴∠ADC＝120°

，∴∠ADB＝60°

在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°

，∠ADB＝60°

∴AB＝＝＝＝5.

B组　专项能力提升

25分钟，满分：

43分）

一、选择题（每小题5分，共15分）

1．在△ABC中，已知∠A＝45°

，AB＝，BC＝2，则∠C等于（　　）

A．30°

B．60°

C．120°

D．30°

或150°

解析　利用正弦定理可得＝，

∴sinC＝，∴∠C＝30°

又∵∠A＝45°

，且∠A＋∠B＋∠C＝180°

∴∠C＝30°

，故选A.

2．某人向正东方向走xkm后，向右转150°

，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是km，那么x的值为（　　）

A.B．2

C.或2D．3

解析　如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC

由余弦定理得（）2＝x2＋32－2x·

3·

cos30°

整理，得x2－3x＋6＝0，解得x＝或2.

3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°

的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°

，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°

，那么B，C两点间的距离是（　　）

A．10海里B．10海里

C．20海里D．20海里

解析　如图，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°

，∠ACB＝45°

，根据正弦定理得＝，解得BC＝10（海里）．

4．一船由B处向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔C、D恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达A处，看见灯塔C在它的南偏西60°

方向，灯塔D在它的南偏西75°

方向，则这艘船的速度是______海里/小时．

解析　如图所示，依题意有∠BAC＝60°

，∠BAD＝75°

，所以∠CAD＝∠CDA＝15°

，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10（海里/小时）．

5．某路边一树干被大风吹断后，折成与地面成45°

角，树干也倾斜为与地面成75°

角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是__________米．

解析　如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，

则∠ABO＝45°

，∠AOB＝75°

，∴∠OAB＝60°

由正弦定理知，＝，

∴AO＝（米）．

6．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝DC，∠ADB＝120°

，AD＝2.若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝_____.

答案　60°

解析　S△ADC＝×

2×

DC×

＝3－，

解得DC＝2（－1），

∴BD＝－1，BC＝3（－1）．

在△ABD中，AB2＝4＋（－1）2－2×

（－1）×

＝6，∴AB＝.

在△ACD中，AC2＝4＋[2（－1）]2－2×

2（－1）×

＝24－12，

∴AC＝（－1），则cos∠BAC＝＝，

三、解答题

7．（13分）如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D

为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰

角分别为75°

、30°

，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°

，AC

＝0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，

然后求B、D的距离（计算结果精确到0.01km，≈1.414，≈2.449）．

解　在△ACD中，∠DAC＝30°

∠ADC＝60°

－∠DAC＝30°

，所以CD＝AC＝0.1.

又∠BCD＝180°

故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.

在△ABC中，＝，

所以AB＝＝，

即BD＝≈0.33（km）．

故B、D的距离约为0.33km.