第84讲 二项式定理的应用高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析.docx

第84讲 二项式定理的应用高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析.docx

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第84讲二项式定理的应用高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析

【知识要点】

1、二项式定理：

①项数：

展开式中总共有项，而不是项；②顺序：

注意正确选择,,其顺序不能更改.与是不同的；③指数：

的指数从逐项减到，是降幂排列.的指数从逐项减到，是升幂排列.各项的次数和等于.

2、二项式通项公式：

（）

（1）它表示的是二项式的展开式的第项，而不是第项；

（2）其中叫二项式展开式第项的二项式系数，而二项式展开式第项的系数是字母幂前的常数；

（3）注意.

3、二项式展开式的二项式系数的性质

（1）对称性：

在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等.即=.

（2）增减性和最大值：

在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大.

（3）所有二项式系数的和等于，即

奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即

4、二项展开式的系数的性质：

对于，

5、证明组合恒等式常用赋值法.

6、二项式系数展开式的系数最大项和二项式系数最大项.

（1）二项式系数的最大项：

如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值.

如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值.

（2）系数的最大项：

求展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来.

【方法讲评】

应用一

利用通项公式求的系数

解题方法

直接代二项式展开式的通项，再化简.

【例1】在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数？

【点评】

（1）要理解二项式的展开式的系数的定义，它指的是除去，剩下的所有部分，而二项式的系数则指的是通项里的组合数.

（2）二项式的展开式的通项化简时，要注意指数运算的性质的准确运用.

【反馈检测1】已知的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512．

（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）；

（2）求展开式中项的系数．

应用二

求二项式展开式的有理数项

解题方法

先求二项式的展开式的通项，再化简，再令的指数为整数解答.

【例2】求二项式展开式中的有理项.

【点评】有理项指的是的指数为整数，可以是正整数，也可以是负整数和零.学科@网

【反馈检测2】已知的展开式中的二项式系数之和为.

（Ⅰ）证明：

展开式中没有常数项；（Ⅱ）求展开式中所有有理项.

应用三

求二项式展开式的系数最大的项和二项式系数最大的项

解题方法

（1）二项式系数的最大项：

如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值.如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值.

（2）系数的最大项：

求展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来.

【例3】已知二项式．

（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；

（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

（2），

解得，设项系数最大，由于

，，第11项最大．

【点评】

（1）二项式系数的最大项：

如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值.如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值.

（2）系数的最大项：

求展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为

，设第项系数最大，应有，从而解出来.

【反馈检测3】已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14：

1．

（1）求展开式中的系数；

（2）求展开式中系数绝对值最大的项；．

（3）求的值.

应用四

求展开式的系数.

解题方法

一般把三项式变成二项式，再代二项式展开式的通项公式解答.

【例4】求当的展开式中的一次项的系数.

【点评】

（1）对于三项式的展开式教材上没有讲过，教材上只讲了二项式的展开式.所以我们可以想办法把三项式转化成二项式，再利用二项式的展开式的性质解答.

（2）对于三项式的展开式的研究，一般转化成二项式的展开式研究，实际上就是数学的一个转化的思想的运用,把陌生的转化为熟悉的问题解答.【反馈检测4】展开式中常数项为（）

A．252B．－252C．160D．－160

应用五

两个二项式相乘的系数问题

解题方法

一般先分别求两个二项式的展开式的通项，再对它们进行组合研究.

【例5】在的展开式中，求的系数.

【解析】，

要得到，

当第一个因式取1时，展开式取5次项，项系数为

当第一个因式取时，展开式取4次项，项系数为

当第一个因式取时，展开式取3次项，项系数为

当第一个因式取-时，展开式取2次项，项系数为

∴项系数为+=-63

【点评】两个二项式相乘的系数问题，一般先分别求两个二项式的展开式的通项，再对它们进行组合

研究.

【反馈检测5】

应用六

二项式展开式的系数和与差的问题

解题方法

一般利用赋值法解答.

【例6】已知，求：

（1）；

（2）．

【点评】二项式展开式的系数和与差的问题，一般利用赋值法解答，主要是给二项式的展开式的变量

赋一些特殊值，如：

1，-1，0等.

【反馈检测6】

（1）设展开式中只有第5项的二项式系数最大．则=．

（2）1＋2＝．

应用七

整除性问题

解题方法

一般把指数的底数拆成与除数有关的数的和，再利用二项式定理展开研究.

【例7】证明：

能被64整除

【点评】整除性的问题，一般把指数的底数拆成与除数有关的数的和，再利用二项式定理展开研究，拆数是关键，本题中指数的底数是“3”，先变成“9”，再把“9”拆成“8+1”，再利用二项式定理研究就方便了.学科@网

【反馈检测7】求证：

能被7整除.

应用八

证明不等式等

解题方法

一般对二项式定理进行顺用或逆用.

【例8】求证：

2<（1+）n<3（）.

【证明】（1+）n=C+C×+C（）2+…+C（）n=1+1+C×+C×+…+C×=2+×+×+…+×<2++

++…+<2++++…+=2+=3－（）<3.显然（1+）n=1+1+C×+C×+…+C×>2.所以2<（1+）n<3.

【点评】看到一般要联想到是否能利用二项式定理解答，这是一个观察联想的能力.

【反馈检测8】

应用九

利用二项式定理求近似值

解题方法

一般先把底数拆成“1”与某个小数的和与差，再利用二项式定理研究解答.

【例9】求的近似值，使误差小于；

【点评】由，当的绝对值与1相比很小且很大时，

等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：

，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：

.

【反馈检测9】某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第84讲：

二项式定理的应用参考答案

【反馈检测1答案】

（1），；

（2）．

【反馈检测2答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）所有有理项为：

.

【反馈检测2详细解析】（Ⅰ）依题意得：

，

令得

展开式中没有常数项.

（Ⅱ）当时，为有理项.展开式中所有有理项为：

.

【反馈检测3答案】

（1）；

（2）；（3）．

【反馈检测3详细解析】

（1）由，解得．

因为通项：

，令，

于是系数为．

（2）设第项系数绝对值最大，则

解得，于是只能为6

所以系数绝对值最大的项为．

（3）原式==．

【反馈检测4答案】

【反馈检测5答案】

【反馈检测5详细解析】

.

【反馈检测6答案】

（1）；

（2）.

【反馈检测6详细解析】

（1）由二项式系数的对称性，

（2）即为展开式中各项的系数

在中令，∴

（2）在＝中，

令，得1＋2

【反馈检测7答案】见解析.学科@网

【反馈检测8答案】

【反馈检测8详细解析】与已知的有一些差距，

【反馈检测9答案】耕地平均每年至多只能减少4亩．

【反馈检测9详细解析】设耕地平均每年减少x亩，现有人口为p人，粮食单产为m吨/亩，依题意

化简：

（亩）

答：

耕地平均每年至多只能减少4亩．