离散型随机变量的期望与方差文档格式.docx
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一、复习引入：
1.随机变量：
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2.离散型随机变量:
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量
3．连续型随机变量:
对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:
离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；
但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
5.分布列:
ξx1x2...xi...PP1P2...Pi...
6.分布列的两个性质：
⑴Pi≥0，i＝1，2，...；
⑵P1+P2+...=1．
7.二项分布:
ξ～B（n，p），并记＝b（k；
n，p）．ξ01...k...nP......
8.几何分布：
g（k，p）=，其中k＝0,1,2,...，．ξ123...k...P......
9.数学期望:
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξx1x2...xn...Pp1p2...pn...
则称......为ξ的数学期望，简称期望．
10.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
11平均数、均值:
在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令...，则有...，...，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
12.期望的一个性质:
13.若ξB（n,p），则Eξ=np
二、讲解新课：
1.方差:
对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是，，...，，...，且取这些值的概率分别是，，...，，...，那么,
＝＋＋...＋＋...
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望．
2.标准差:
的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
3.方差的性质：
（1）；
（2）；
（3）若ξ～B（n，p），则np（1-p）
4.其它：
⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛
三、讲解范例：
例1．设随机变量ξ的分布列为ξ12...nP...求Dξ
解：
（略）
例2．已知离散型随机变量的概率分布为1234567P
离散型随机变量的概率分布为3．73．83．944．14．24．3P
求这两个随机变量期望、均方差与标准差解：
；
=0.04,.
点评：
本题中的和都以相等的概率取各个不同的值，但的取值较为分散，的取值较为集中．，，，方差比较清楚地指出了比取值更集中．
＝2，=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差
例3.甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：
射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;
射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平解：
+（10-9）；
同理有由上可知，，所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．
本题中，和所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．=9，这时就通过=0.4和=0.8来比较和的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况
例4．A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：
A机床B机床
次品数ξ10123
次品数ξ10123概率P0.70.20.060.04概率P0.80.060.040.10
问哪一台机床加工质量较好
Eξ1=0×
0.7+1×
0.2+2×
0.06+3×
0.04=0.44,
Eξ2=0×
0.8+1×
0.06+2×
0.04+3×
0.10=0.44.
它们的期望相同，再比较它们的方差
Dξ1=（0-0.44）2×
0.7+（1-0.44）2×
0.2+（2-0.44）2
×
0.06+（3-0.44）2×
0.04=0.6064,
Dξ2=（0-0.44）2×
0.8+（1-0.44）2×
0.06+（2-0.44）2
0.04+（3-0.44）2×
0.10=0.9264.
∴Dξ1Dξ2故A机床加工较稳定、质量较好.
四、课堂练习：
1.已知，则的值分别是（）
A．；
B．；
C．；
D．
答案：
1.D
2.一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．
分析：
涉及次品率；
抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．
设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3
当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则
P（ξ=0）=
当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则
P（ξ=1）=
当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则
P（ξ=2）=
当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则
P（ξ=3）=
所以，Eξ=
3.有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ
涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：
抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξB（200，1%），从而可用公式：
Eξ=np，Dξ=npq（这里q=1-p）直接进行计算
因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξB（200，1%）因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，Eξ=200×
1%=2,Dξ=200×
1%×
99%=1.98
4.设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4
这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差Dξ=P（1-P）后，我们知道Dξ是关于P（P≥0）的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论
证明：
因为ξ所有可能取的值为0，1且P（ξ=0）=1-p,P（ξ=1）=p,
所以，Eξ=0×
（1-p）+1×
p=p
则Dξ=（0-p）2×
（1-p）+（1-p）2×
p=p（1-p）
5.有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：
ξA110120125130135ξB100115125130145P0.10.20.40.10.2P0.10.20.40.10.2
其中ξA、ξB分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好
两个随机变量ξA和ξB都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA取较为集中的数值110，120，125，130，135；
ξB取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性
先比较ξA与ξB的期望值，因为
EξA=110×
0.1+120×
0.2+125×
0.4+130×
0.1+135×
0.2=125,
EξB=100×
0.1+115×
0.4十130×
0.1+145×
0.2=125.
所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为
DξA=（110-125）2×
0.1+（120-125）2×
0.2+（130-125）2×
0.1+（135-125）2×
0.2=50，
DξB=（100-125）2×
0.1+（110-125）2×
0.1+（145-125）2×
0.2=165.
所以，DξADξB.因此，A种钢筋质量较好
6.在有奖摸彩中，一期（发行10000张彩票为一期）有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？
这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的"
不考虑获利"
的意思是指：
所收资金全部用于奖品方面的费用
设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100依题
意，可得ξ的分布列为ξ0525100P
答：
一张彩票的合理价格是0．2元．
五、小结：
⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：
①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；
②求ξ取各个值的概率，写出分布列；
③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；
④根据方差、标准差的定义求出、.若ξ～B（n，p），则不必写出分布列，直接用公式计算即可．
⑵对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和
，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要
六、课后作业：
同步练习X01022
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