离散型随机变量的期望与方差文档格式.docx

1、一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母、等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5. 分布列:x1x2.xi.PP1P2.Pi.6. 分布列的两个性质： Pi0

2、，i1，2，.； P1+P2+.=17.二项分布:B（n，p），并记b（k；n，p）01.k.nP.8.几何分布： g（k，p）= ，其中k0,1,2,.， 123.k.P.9.数学期望: 一般地，若离散型随机变量的概率分布为x1x2.xn.Pp1p2.pn.则称 . 为的数学期望，简称期望10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令.，则有.，.，所以的数学期望又称为平均数、均值12. 期望的一个性质:13.若B（n,p），则E=np二、讲解新课：1. 方差: 对于离散型随机变量，如果它所有可能

3、取的值是，.，.，且取这些值的概率分别是，.，.，那么,.称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的是随机变量的期望2. 标准差:的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作3.方差的性质：（1）；（2）；（3）若B（n，p），则np（1-p）4.其它：随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛三、讲解范例：例1设随机变量的分布列为12.nP.求D解：（略）例2已知离散型随机变量的概率分布为1234567P离散型随机变量的概率分布为

4、3738394414243P求这两个随机变量期望、均方差与标准差解：；=0.04, .点评：本题中的和都以相等的概率取各个不同的值，但的取值较为分散，的取值较为集中，方差比较清楚地指出了比取值更集中2，=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差例3. 甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平解：+（10-9）；同理有由上可知，所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环

5、数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些本题中，和所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同=9，这时就通过=0.4和=0.8来比较和的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况例4A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A机床 B机床次品数10123次品数10123概率P0.70.20.060.04概率P0.80.060.040.10问哪一台机床加工质量较好 E1=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44, E2=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差D1=（0-0.44

6、）20.7+（1-0.44）20.2+（2-0.44）20.06+（3-0.44）20.04=0.6064,D2=（0-0.44）20.8+（1-0.44）20.06+（2-0.44）20.04+（3-0.44）20.10=0.9264.D1 D2 故A机床加工较稳定、质量较好.四、课堂练习：1 .已知，则的值分别是（）A；B；C；D答案：1.D2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止求在取得正品之前已取出次品数的期望分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各

7、次抽样是不独立的如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件设取得正品之前已取出的次品数为，显然所有可能取的值为0，1，2，3当=0时，即第一次取得正品，试验停止，则P（=0）=当=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P（=1）=当=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则P（=2）=当=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P（=3）=所以，E=3. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为，求E，D涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题由于产

8、品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即B（200，1%），从而可用公式：E=np，D=npq（这里q=1-p）直接进行计算因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以B（200，1%）因为E=np，D=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，E=2001%=2,D=2001%99%=1.98 4. 设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数的方差不超过1/4 这是一道纯数学问题要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计

9、算方法，关键还是掌握随机变量的分布列求出方差D=P（1-P）后，我们知道D是关于P（P0）的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论证明：因为所有可能取的值为0，1且P（=0）=1-p,P（=1）=p,所以，E=0（1-p）+1p=p则 D=（0-p）2（1-p）+（1-p） 2p=p（1-p） 5. 有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：A110120125130135B100115125130145P0.10.20.40.10.2P0.10.20.40.10.2 其中A、B分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B

10、两种钢筋哪一种质量较好 两个随机变量A和B都以相同的概率01，02，04，01，02取5个不同的数值A取较为集中的数值110，120，125，130，135；B取较为分散的数值100，115，125，130，145直观上看，猜想A种钢筋质量较好但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性先比较A与B的期望值，因为 EA=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125, EB=1000.1+1150.4十1300.1+1450.2=125.所以，它们的期望相同再比较它们的方差因为DA=（110-125）20.1+（120-125） 2 0.2+（130-12

11、5） 20.1+（135-125） 20.2=50，DB=（100-125）20.1+（110-125） 2 0.1+（145-125） 20.2=165.所以，DA DB.因此，A种钢筋质量较好6. 在有奖摸彩中，一期（发行10000张彩票为一期）有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题本题的不考虑获利的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用设一张彩票中奖额为随机变量，显然所有可能取的值为0，5，25，100依题意，可得的分布列为0525100P答：一张彩票的合理价格是02元五、小结 ：求离散型随机变量的方差、标准差的步骤：理解的意义，写出可能取的全部值；求取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定义求出E；根据方差、标准差的定义求出、.若B（n，p），则不必写出分布列，直接用公式计算即可对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要六、课后作业：同步练习X01022