届高三第一次综合测试数学文试题及答案.docx

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届高三第一次综合测试数学文试题及答案

2015届高三下学期第一次综合测试

数学（文）试题

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于

A．第一象限　　B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为

A．　　B．

C．D．

3．某校组织班班有歌声比赛，8个评委为某个班级打出的分数如茎叶图所示，则这些数据的中位数是

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

4．执行如图所示程序框图所表达的算法，若输出的值为，则输入的值为

A．B．C．D．

5．若，，且构成等比数列，则

A．有最小值4B．有最小值4

C．无最小值D．有最小值2

6．圆在点处的切线方程为

A．B．

C．D．

7．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是

A．B．C．D．

8．设，那么“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

9．若双曲线的一个焦点在直线上，则其渐近线方程为

A．B．C．D．

10．已知的图象与的图象的两相邻交点间的距离为，要得到的图象，只须把的图象

A．向左平移个单位B．向右平移个单位

C．向左平移个单位D．向右平移个单位

11．已知周期函数的定义域为，周期为2，且当时，．若直线与曲线恰有2个交点，则实数的所有可能取值构成的集合为A．或B．或

C．或D．

12．如图，在棱长为1的正方体的对角线上任取一点P，以为球心，为半径作一个球.设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图象最有可能的是

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置．

13．已知向量，，若，则实数等于．

14．根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI技术规定（试行）》，AQI共分为六级：

为优，为良，为轻度污染，为中度污染，为重度污染，300以上为严重污染．2015年1月5日出版的《A市早报》报道了A市2014年9月份中30天的AQI统计数据，右图是根据统计数据绘制的频率分布直方图.根据图中的信息可以得出A市该月环境空气质量优良的总天数为．

15．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为．

16．对于个互异的实数，可以排成行列的矩形数阵，右图所示的行列的矩形数阵就是其中之一．

将个互异的实数排成行列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为，并设其中最小的数为；把每列中最小的数选出，记为，并设其中最大的数为.

两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下：

①和必相等；②和可能相等；

③可能大于；④可能大于．

以上四个结论中，正确结论的序号是__________________（请写出所有正确结论的序号）．

三、解答题：

本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．在某次模块水平测试中，某同学对于政治、历史、地理这三个学科每个学科是否能达到优秀水平的概率都为，记政治、历史、地理达到优秀水平的事件分别为、、，未达到优秀水平的事件分别为、、．

（Ⅰ）若将事件“该同学这三科中恰有两科达到优秀水平”记为，试求事件发生的概率；

（Ⅱ）请依据题干信息，仿照（Ⅰ）的叙述，设计一个关于该同学测试成绩情况的事件，使得事件发生的概率大于，并说明理由．

18．已知外接圆的半径为，且．

（Ⅰ）求边的长及角的大小；

（Ⅱ）从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，试判断的形状．

19．在数列和等比数列中，，，．

（Ⅰ）求数列及的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和．

20．已知长方体中，底面为正方形，面，，，点在棱上，且．

（Ⅰ）试在棱上确定一点，使得直线平面，并证明；

（Ⅱ）若动点在底面内，且，请说明点的轨迹，并探求长度的最小值．

21．已知是中心在坐标原点的椭圆的一个焦点，且椭圆的离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设：

、为椭圆上不同的点，直线的斜率为；是满足（）的点，且直线的斜率为．

①求的值；

②若的坐标为，求实数的取值范围．

22．定义域为的函数，其导函数为．若对，均有，则称函数为上的梦想函数．

（Ⅰ）已知函数，试判断是否为其定义域上的梦想函数，并说明理由；

（Ⅱ）已知函数（，）为其定义域上的梦想函数，求的取值范围；

（Ⅲ）已知函数（，）为其定义域上的梦想函数，求的最大整数值．

2015届高三文科数学试题

参考解答及评分标准

一、选择题：

本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

1．B2．A3．C4．B5．B6．D

7．D8．B9．A10．C11．C12．B

二、填空题：

本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.

13．14．15．16．②③

三、解答题：

本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．本小题主要考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．

解：

（Ⅰ）依题意，总的基本事件有“，，，，，，，”，共种，………………2分

事件包含的基本事件有“，，”，共种，…4分

由于每个基本事件发生的可能性都相等，故事件发生的概率．……6分

（Ⅱ）方案一：

记“该同学这三科中至少有一科达到优秀水平”的事件为，则事件发生的概率大于.…………8分

理由：

事件包含的基本事件有“，，，，，，”，共种，……10分

由于每个基本事件发生的可能性都相等，所以．……12分

方案二：

记“该同学参加这次水平测试成绩不全达到优秀水平”的事件为，则事件发生的概率大于.…………8分

理由：

事件包含的基本事件有“，，，，，，”，共种，……10分

由于每个基本事件发生的可能性都相等，故．………12分

18．本小题主要考查向量的数量积、几何概型、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等.满分12分.

解：

（Ⅰ）依题意，………………2分

得，又，故，…4分

又为等腰三角形，

故，…………5分

而或．………………6分

（Ⅱ）依题意，从圆内随机取一个点，取自内的概率，

19．本小题主要考查等比数列、数列通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等.满分12分.

解法一：

（Ⅰ）依题意，，………………2分

设数列的公比为，由，可知，………3分

由，得，又，则，………4分

故，………5分

又由，得．………………6分

（Ⅱ）依题意．………………7分

，①

则②……9分

①-②得，

…………11分

即，故．………………12分

解法二：

（Ⅰ）依题意为等比数列，则（常数），

由，可知，………………2分

由，

得（常数），故为等差数列，…………4分

设的公差为，由，，得，

故．…………6分

（Ⅱ）同解法一．

20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分12分.

解：

（Ⅰ）取的四等分点，使得，则有平面.证明如下：

………1分

因为且，

所以四边形为平行四边形，则，………2分

因为平面，平面，所以平面．………4分

（Ⅱ）因为,所以点在平面内的轨迹是以为圆心，半径等于2的四分之一圆弧．………………6分

因为，面，所以面，………………7分

故．………………8分

所以当的长度取最小值时，的长度最小，此时点为线段和四分之一圆弧的交点，………………10分

即，

所以．

即长度的最小值为．………………12分

21．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．

解：

（Ⅰ）依题意，可设椭圆的方程为（），………………1分

由，，得，

由，可得，………………3分

故椭圆的方程为．………………4分

（Ⅱ）解法一：

①由、且存在，得，………………5分

由，且存在，得，

则.………………6分

∵，在椭圆上，∴，，………7分

两式相减得，，

∴．………………8分

②若的坐标为，则，由①可得.

设直线（），

由得，…………9分

所以.

∵，∴，.…………10分

又由，解得，………………11分

∴且．………………12分

解法二：

①设直线（），

若，则

由满足（，），得，

∵直线的斜率存在，∴.………5分

由得……（*）.……………6分

∵、，∴.………7分

∵，满足，

∴直线的斜率，

经化简得.………9分

②若的坐标为，则，由①可得.………10分

∴方程（*）可化为，

下同解法一.

所以．………………8分

（Ⅲ），由题意在恒成立，

故，即在上恒成立．

①当时，显然成立；……………9分

②当时，由可得对任意恒成立.

令，则，…10分

令，

则．

当时，因为，所以在单调递减；

当时，因为，所以在单调递增．

∵，，

∴当时，的值均为负数.

∵，，

∴当时，

有且只有一个零点，且.……………11分

∴当时，，所以，可得在单调递减；

当时，，所以，可得在单调递增．

则．…………12分

因为，所以，

．…………13分

∵在单调递增，，，

∴，

所以，即．

又因为，所以的最大整数值为．…………14分