高三数学试题精选届高考数学平面向量基本定理复习课件和测试题Word下载.docx

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∴2（2－1）＋3×

2＝0，

∴＝－1，∴选B

3．（2018嘉兴模拟）已知a，b是不共线的向量，AB→＝λa＋b，Ac→＝a＋μb，λ，μ∈R，那么A、B、c三点共线的充要条为（）

A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1

c．λμ＝－1D．λμ＝1

[答案]D

[解析]∵AB→与Ac→共线，a与b不共线，

∴λμ－1＝0，故选D

4．（2018西安质检）已知向量a＝（1,2），b＝（2，－3）．若向量c满足（c＋a）∥b，c⊥（a＋b），则c＝（）

A．（79，73）B．（－73，－79）

c．（73，79）D．（－79，－73）

[解析]不妨设c＝（，n），则a＋c＝（1＋,2＋n），a＋b＝（3，－1），因为（c＋a）∥b，则有－3×

（1＋）＝2×

（2＋n）．又c⊥（a＋b），则有3－n＝0，解得＝－79，n＝－73

5．（2018东高考调研）已知平行四边形ABcD，点P为四边形内部或者边界上任意一点，向量AP→＝xAB→＋AD→，则“0≤x≤12，0≤≤23”的概率是（）

A13B23

c14D12

[解析]

根据平面向量基本定理，点P只要在如图所示的区域AB1c1D1内即可，这个区域的面积是整个四边形面积的12×

23＝13，故所求的概率是13

6．（）（2018合肥市质检）如图，△ABc中，AD＝DB，AE＝Ec，cD与BE交于F，设AB→＝a，Ac→＝b，AF→＝xa＋b，则（x，）为（）

A12，12B23，23

c13，13D23，12

[解析]设cF→＝λcD→，∵E、D分别为Ac、AB的中点，

∴BE→＝BA→＋AE→＝－a＋12b，

BF→＝Bc→＋cF→＝（b－a）＋λ（12a－b）

＝12λ－1a＋（1－λ）b，

∵BE→与BF→共线，∴12λ－1－1＝1－λ12，∴λ＝23，

∴AF→＝Ac→＋cF→＝b＋23cD→＝b＋2312a－b

＝13a＋13b，故x＝13，＝13

（理）在平行四边形ABcD中，AE→＝13AB→，AF→＝14AD→，cE与BF相交于G点．若AB→＝a，AD→＝b，则AG→＝（）

A27a＋17bB27a＋37b

c37a＋17bD47a＋27b

[解析]∵B、G、F三点共线，

∴AG→＝λAF→＋（1－λ）AB→＝14λb＋（1－λ）a

∵E、G、c三点共线，

∴AG→＝μAE→＋（1－μ）Ac→＝13μa＋（1－μ）（a＋b）．

由平面向量基本定理得，λ4＝1－μ1－λ＝1－23μ，

∴λ＝47μ＝67，∴AG→＝37a＋17b

7．（）（2018杭州模拟）已知向量a＝（sinx,1），b＝（csx，－3），且a∥b，则tanx＝________

[答案]－13

[解析]∵a∥b，∴sinxcsx＝1－3，

∴tanx＝－13

（理）已知a＝（2，－3），b＝（sinα，cs2α），α∈－π2，π2，若a∥b，则tanα＝________

[答案]－33

[解析]∵a∥b，∴sinα2＝cs2α－3，∴2cs2α＝－3sinα，

∴2sin2α－3sinα－2＝0，

∵|sinα|≤1，∴sinα＝－12，

∵α∈－π2，π2，∴csα＝32，∴tanα＝－33

8．（2018海南质检）在平面直角坐标系x中，四边形ABcD的边AB∥Dc，AD∥Bc已知点A（－2,0），B（6,8），c（8，6），则D点的坐标为________．

[答案]（0，－2）

[解析]由条中的四边形ABcD的对边分别平行，可以判断该四边形ABcD是平行四边形．设D（x，），则有AB→＝Dc→，即（6,8）－（－2,0）＝（8,6）－（x，），解得（x，）＝（0，－2）．

9．（）（2018北京朝阳区模拟）如图，在△ABc中，D、E分别是Bc、Ac的中点，F为AB上一点，且AB→＝4AF→，若AD→＝xAF→＋AE→，则x＝________，＝________

[答案]21

（如图）因为AD→＝AE→＋ED→

＝AE→＋12AB→＝AE→＋12×

4AF→

＝AE→＋2AF→

所以x＝2，＝1

（理）（2018江苏徐州市质检）在△ABc中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交AB，Ac于，N两点，若A→＝xAB→，AN→＝Ac→，则4x＋的最小值为________．

[答案]94

如图所示，由题意知AD→＝12（AB→＋Ac→），AE→＝12AD→，

又，E，N三点共线，

所以AE→＝λA→＋（1－λ）AN→（其中0λ1），

又A→＝xAB→，AN→＝Ac→，

所以14（AB→＋Ac→）＝λxAB→＋（1－λ）Ac→，

因此有4λx＝1，41－λ＝1，解得x＝14λ，＝141－λ，

令1λ＝t，∴t1，

则4x＋＝1λ＋141－λ＝t＋t4t－1

＝（t－1）＋14t－1＋54≥94，

当且仅当t＝32，即λ＝23时取得等号．

10．（）已知（0,0）、A（2，－1）、B（1,3）、P→＝A→＋tB→，求

（1）t为何值时，点P在x轴上？

点P在轴上？

点P在第四象限？

（2）四点、A、B、P能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．

[解析]

（1）P→＝A→＋tB→＝（t＋2,3t－1）．

若点P在x轴上，则3t－1＝0，∴t＝13；

若点P在轴上，则t＋2＝0，∴t＝－2；

若点P在第四象限，则t＋203t－10，∴－2t13

（2）A→＝（2，－1），PB→＝（－t－1，－3t＋4）．

若四边形ABP为平行四边形，则A→＝PB→

∴－t－1＝2－3t＋4＝－1无解．

∴四边形ABP不可能为平行四边形．

同理可知，当t＝1时，四边形APB为平行四边形，当t＝－1时，四边形PAB为平行四边形．

（理）（2018杭州市质检）已知向量a＝（1,2），b＝（csα，sinα），设＝a＋tb（t为实数）．

（1）若α＝π4，求当||取最小值时实数t的值；

（2）若a⊥b，问是否存在实数t，使得向量a－b和向量的夹角为π4，若存在，请求出t；

若不存在，请说明理由．

[解析]

（1）∵α＝π4，∴b＝（22，22），ab＝322，

∴||＝a＋tb2＝5＋t2＋2tab

＝t2＋32t＋5＝t＋3222＋12，

∴当t＝－322时，||取到最小值，最小值为22

（2）由条得csπ4＝a－ba＋tb|a－b||a＋tb|，

∵|a－b|＝a－b2＝6，|a＋tb|＝a＋tb2＝5＋t2，（a－b）（a＋tb）＝5－t，

∴5－t65＋t2＝22，且t5，

∴t2＋5t－5＝0，∴存在t＝－5±

352满足条

11（）（2018辽宁，3）已知向量a＝（2,1），b＝（－1，），a（2a－b）＝0，则＝（）

A．－12B．－6

c．6D．12

[解析]∵2a－b＝（4,2）－（－1，）＝（5,2－）

∴a（2a－b）＝（2,1）（5,2－）＝10＋2－＝0

∴＝12

（理）（2018湖南十二校第二次联考）平面上有四个互异的点A、B、c、D，满足（AB→－Bc→）（AD→－cD→）＝0，则三角形ABc是（）

A．直角三角形B．等腰三角形

c．等腰直角三角形D．等边三角形

[解析]（AB→－Bc→）（AD→－cD→）

＝（AB→－Bc→）（AD→＋Dc→）

＝（AB→－Bc→）Ac→＝（AB→－Bc→）（AB→＋Bc→）

＝|AB→|2－|Bc→|2＝0，

故|AB→|＝|Bc→|，即△ABc是等腰三角形．

12．（2018青岛模拟）如图，在四边形ABcD中，AB＝Bc＝cD＝1，且∠B＝90°

，∠BcD＝135°

，记向量AB→＝a，Ac→＝b，则AD→＝（）

A2a－（1＋22）b

B．－2a＋（1＋22）b

c．－2a＋（1－22）b

D2a＋（1－22）b

[答案]B

根据题意可得△ABc为等腰直角三角形，由∠BcD＝130°

，得∠AcD＝135°

－45°

＝90°

，以B为原点，AB所在直线为x轴，Bc所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE⊥轴于点E，则△cDE也为等腰直角三角形，由cD＝1，得cE＝ED＝22，则A（1,0），B（0,0），c（0,1），D（22，1＋22），∴AB→＝（－1,0），Ac→＝（－1,1），AD→＝（22－1,1＋22），令AD→＝λAB→＋μAc→，

则有－λ－μ＝22－1μ＝1＋22，得λ＝－2μ＝1＋22，

∴AD→＝－2a＋（1＋22）b

13如图所示，设P、Q为△ABc内的两点，且AP→＝25AB→＋15Ac→，AQ→＝23AB→＋14Ac→，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为________．

[答案]45

[分析]因三角形的面积与底和高有关，所以可利用“同底三角形面积比等于高之比”的结论计算待求三角形的面积比．题设条中用AB→和Ac→给出了点P和点Q，故可利用AP→和AQ→构造平行四边形将面积比转化为向量长度的比解决．

[解析]根据题意，设A→＝25AB→，AN→＝15Ac→，则由平行四边形法则，得AP→＝A→＋AN→，且APN为平行四边形，于是NP∥AB，所以S△ABPS△ABc＝|AN→||Ac→|＝15，同理，可得S△ABQS△ABc＝14故S△ABPS△ABQ＝45

14．设△ABc的内角A、B、c的对边分别为a、b、c，已知c＝2b，向量＝sinA，32，n＝（1，sinA＋3csA），且与n共线．

（1）求角A的大小；

（2）求ac的值．

[解析]

（1）∵∥n，∴sinA（sinA＋3csA）－32＝0，即sin2A－π6＝1

∵A∈（0，π），∴2A－π6∈－π6，11π6

∴2A－π6＝π2∴A＝π3

（2）由余弦定理及c＝2b、A＝π3得，

a2＝c22＋c2－2c2ccsπ3，

a2＝34c2，∴ac＝32

15．（）已知圆c（x－3）2＋（－3）2＝4及定点A（1,1），为圆c上任意一点，点N在线段A上，且A→＝2AN→，求动点N的轨迹方程．

[解析]设N（x，），（x0，0），则由A→＝2AN→得

（1－x0,1－0）＝2（x－1，－1），

∴1－x0＝2x－21－0＝2－2，即x0＝3－2x0＝3－2，

代入（x－3）2＋（－3）2＝4，得x2＋2＝1

（理）已知⊙c（x＋2）2＋（－1）2＝9及定点A（－1,1），是⊙c上任意一点，点N在射线A上，且|A|＝2|N|，动点N的轨迹为c，求曲线c的方程．

[解析]设N（x，），（x0，0），∵N在射线A上，且|A|＝2|N|，∴A→＝2N→或A→＝－2N→，

A→＝（x0＋1，0－1），N→＝（x－x0，－0），

∴x0＋1＝2x－x00－1＝2－0或x0＋1＝－2x－x00－1＝－2－0，

∴x0＝132x－10＝132＋1或x0＝2x＋10＝2－1，

代入圆方程中得（2x＋5）2＋（2－2）2＝81或

（2x＋3）2＋（2－2）2＝9

16．设a、b是不共线的两个非零向量，

（1）若A→＝2a－b，B→＝3a＋b，c→＝a－3b，求证A、B、c三点共线；

（2）若8a＋b与a＋2b共线，求实数的值；

（3）设→＝a，N→＝nb，P→＝αa＋βb，其中、n、α、β均为实数，≠0，n≠0，若、P、N三点共线，求证α＋βn＝1

[证明]

（1）∵AB→＝（3a＋b）－（2a－b）＝a＋2b而Bc→＝（a－3b）－（3a＋b）＝－2a－4b＝－2AB→，

∴AB→与Bc→共线，且有共端点B，∴A、B、c三点共线．

（2）∵8a＋b与a＋2b共线，∴存在实数λ使得

（8a＋b）＝λ（a＋2b）（8－λ）a＋（－2λ）b＝0，

∵a与b不共线，∴8－λ＝0，－2λ＝08＝2λ2λ＝±

2，

∴＝2λ＝±

4

（3）解法1∵、P、N三点共线，∴存在实数λ，使得P→＝λPN→，∴P→＝→＋λN→1＋λ＝1＋λa＋λn1＋λb

∵a、b不共线，

∴α＝1＋λ，β＝λn1＋λ∴α＋βn＝11＋λ＋λ1＋λ＝1

解法2∵、P、N三点共线，∴P→＝x→＋N→且x＋＝1，

由已知可得xa＋nb＝αa＋βb，

∴x＝α，＝βn，∴α＋βn＝1

1．（2018长沙二检）若向量a＝（1,1），b＝（－1,1），c＝（4,2），则c＝（）

A．3a＋bB．3a－b

c．－a＋3bD．a＋3b

[解析]由已知可设c＝xa＋b4＝x－2＝x＋x＝3＝－1，故选B

2．（2018河南许昌调研，2018深圳模拟）在平面直角坐标系中，为原点，设向量A→＝a，B→＝b，其中a＝（3,1），b＝（1,3）．若c→＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，c点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是（）

[解析]c→＝λa＋μb＝（3λ＋μ，λ＋3μ），

令c→＝（x，），则x－＝（3λ＋μ）－（λ＋3μ）

＝2（λ－μ）≤0，

∴点c对应区域在直线＝x的上方，故选A

3．已知G是△ABc的重心，直线EF过点G且与边AB、Ac分别交于点E、F，AE→＝αAB→，AF→＝βAc→，则1α＋1β＝________

[答案]3

[解析]连结AG并延长交Bc于D，∵G是△ABc的重心，∴AG→＝23AD→＝13（AB→＋Ac→），设EG→＝λGF→，

∴AG→－AE→＝λ（AF→－AG→），∴AG→＝11＋λAE→＋λ1＋λAF→，

∴13AB→＋13Ac→＝α1＋λAB→＋λβ1＋λAc→，

∴α1＋λ＝13λβ1＋λ＝13，∴1α＝31＋λ1β＝3λ1＋λ，∴1α＋1β＝3

4．已知△ABc中，A（7,8），B（3,5），c（4,3），、N是AB、Ac的中点，D是Bc的中点，N与AD交于点F，求DF→

[解析]因为A（7,8），B（3,5），c（4,3）

所以AB→＝（－4，－3），Ac＝（－3，－5）．

又因为D是Bc的中点，有AD→＝12（AB→＋Ac→）＝（－35，－4），而、N分别为AB、Ac的中点，所以F为AD的中点，故有DF→＝12DA→＝－12AD→＝（175,2）．

[点评]注意向量表示的中点式，是A、B的中点，是任一点，则→＝12（A→＋B→）．

5如图所示，△ABc中，点是Bc的中点，点N在边Ac上，且AN＝2Nc，A与BN相交于点P，求APP的值．

[解析]设B→＝e1，cN→＝e2，则A→＝Ac→＋c→＝－3e2－e1，BN→＝2e1＋e2，∵A、P、和B、P、N分别共线，

∴存在λ、μ∈R，使AP→＝λA→＝－λe1－3λe2，

BP→＝μBN→＝2μe1＋μe2

故BA→＝BP→－AP→＝（λ＋2μ）e1＋（3λ＋μ）e2，

而BA→＝Bc→＋cA→＝2e1＋3e2，

∴由平面向量基本定理得λ＋2μ＝23λ＋μ＝3，∴λ＝45μ＝35，

∴AP→＝45A→，即APP＝41

6．（2018衡阳期末）平面内给定三个向量a＝（3,2），b＝（－1,2），c＝（4,1），请解答下列问题

（1）求满足a＝b＋nc的实数，n；

（2）若（a＋c）∥（2b－a），求实数；

（3）若d满足（d－c）∥（a＋b），且|d－c|＝5，求d

[解析]

（1）由题意得（3,2）＝（－1,2）＋n（4,1），

所以－＋4n＝32＋n＝2，得＝59n＝89

（2）a＋c＝（3＋4,2＋），2b－a＝（－5,2），

∵（a＋c）∥（2b－a），

∴2×

（3＋4）－（－5）×

（2＋）＝0，

∴＝－1613

（3）设d＝（x，），则d－c＝（x－4，－1），a＋b＝（2,4），

由题意得4x－4－2－1＝0x－42＋－12＝5，

解得x＝3＝－1或x＝5＝3，∴d＝（3，－1）或d＝（5,3）．

5c