弹塑性力学基本理论及应用 刘土光 华中科技大学研究生院教材基金资助第五章 弹塑性力学问题的建立与求Word格式.docx
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（5.1-2a）?
或
ij?
（ui,j?
uj,i）/2
和由应变位移关系导出的应变协调方程2?
2?
2
y2?
x2（i,j?
x,y,z）（5.1-2b）?
yz22?
x2?
z2?
（5.1-3a）2?
zxxyyz（?
）?
zx（?
xy（?
当物体内某应力点进入塑性状态，其几何方程通常采用应变率表示为?
t?
v
w
3）.本构方程?
（5.1-3b）?
物体受力后，其应力状态可能一部分处于弹性阶段，一部分可能处于塑性阶段。
由笫四章知，这两个阶段的本构方程是不同的，下面分别列出不同区域（阶段）的本构方程。
（1）弹性区域
109
弹性区域，应力应满足屈服不等式f（?
ij）?
0，在该关系下本构关系为广义虎克定律，即
1
（?
z）,
E1
x）,
y）,
E
zx
G?
（5.1-4a）G?
或简写为
1?
ii，EE
x,y,z）（5.1-4b）
也用应变表示应力，则有
2G（?
），?
），
xy）?
（5.1-4b）?
上式可缩写为
（2）塑性区域
EE?
（5.1-4c）1?
（1?
）（1?
）
对于变形物体内的塑性区域，如果处于初始屈服阶段，应力应满足屈服不等式f（?
0，在该条件下，并注意当进入塑性状态时，体积为不可压缩，因此增量理论的（4.6-12a）式可写为
dsx?
d?
sx2G1
dsy?
syd?
2G1
d?
dsz?
sz
2G
G
（5.1-5a）
G?
1?
dsij?
sij（5.1-5b）2G
其中
110
当为强化材料时，则可表示为deij?
式中3d?
i2?
idsij2G?
3d?
isij（5.1-5c）2?
iH&
#39;
H&
如果采用全量论，则应变偏量为d?
ipd?
i
i1[?
z）]?
i2
1ey?
i[?
x）]?
1ez?
i2ex?
1.2弹塑力学问题的边界条件?
i?
3?
（5.1-5d）?
从上面可见，当物体处于弹性状态时，共有3个平衡方程（5.1-1），6个几何方程（5.1-2），6个本构方程（5.1-4）。
共15个方程（统称为泛定方程）。
其中包括6个应力分量，6个应变分量，2个位移分量，共15个未知函数，因而在给定边界条件时，问题是可以求解的。
当物体处于弹塑性状态时，同样有3个平衡方程（5.1-1），6个几何方程（5.1-2）以及6个本构方程（5.1-5）。
但在此情况下多引进了一个参数d?
，不过也增加了一个屈服条件f（?
0．只有在应力满足屈服条件时，d?
才不等于零。
在研究弹塑性小变形平衡问题范围内时，以上弹塑性力学问题的解还必须满足的边界条件。
边界条件一般可分为三类，即
（1）应力边界条件?
yxl?
ym?
yzn?
（5.1-6a）
zxl?
zym?
zn?
或写为?
ijnj?
xl?
xym?
xzn?
（在S?
上）（5.1-6b）111
（2）位移边界条件u?
u,
或写为ui?
ui
（3）混合边界条件
当物体中的一部分边界力已给定，而另一部分边界给定了位移，则称这类边界条件为混合边界条件。
这类边界条件的表达式分别同式（5.1-6）和（5.1-7）。
应当注意的是，加载过程的弹塑性力学问题可作为非线性弹性力学问题处理。
这时应注意的是卸载，卸载时应遵守卸载定律。
如果变形物体内可能同时存在几种不同的变形区，如初始弹性区、加载区（?
0）及卸载区（?
0），在相邻区域的交界上，应力和应变还应满足一定的连续或间断条件。
一般来说，在一定的边界条件下，弹塑性力学问题原则上是可以求解。
通常在数学上称弹塑性静力学问题为边值问题。
pij?
pijv?
v,w?
w,（在Su上）（5.1-7a）（在Su上）（5.1-7b）
6.2弹性力学问题的基本解法与解的唯一性
2.1问题的提法
求解弹力学问题的目的是确定物体内各点的应力场和位移场，因此弹性力学问题的提法必须是使定解问题是适定的，即问题有解、解是唯一的和解是稳定的。
弹性力学问题的基本方程虽然构成一个封闭方程组，但该方程组只有在与定解条件，即边界条件相符的解才是所需的正确解。
因此，边界条件的重要性不容忽视。
应强调的是，边界条件的个数应给得不多也不少时，才能得出正确解。
如空间问题的应力边界条件，必须在边界上的每一点给出三个应力边界条件，一旦多给了，则会找不到满足全部边界条件的解，如果少给了，就会有多个解满足所给的边界条件，因此不能判断那一个解是正确的。
由此可见，弹性力学的基本方程组一般地反映物体内部的应力、应变和位移之间相互关系的普遍规律，而定解条件具体给定了每一个边值问题的特定规律。
因此，每一个具体问题反映在各自的边界条件上。
所以，弹性力学问题的基本方程组和边界条件共同构成弹力学问题严格而完整的提法。
根据具体问题边界条件类型的不同，通常将其分为以下三类问题，即
第一类边值问题在全部边界上给定体力和面力，求在平衡状态下的应力场和位移场，称这类问题为应力边值问题。
当（5.1-6b）中等式右边Fi?
0时，其边界称为自由边界，属应力边界的特殊情112
况。
如果边界上有集中力，应转换为作用在微小面积上的均布面力；
集中力偶则应转换为作用在微小面积上的非均布面力。
第二类边值问题给定物体力和在物体表面各点的位移，求在平衡状态下的应力场和位移场，称这类问题为位移边值问题。
有时也可能给定的是边界上位移的导数（如转角）或应变。
在静力问题中，给定的位移约束应能完全阻止物体的总体刚体运动。
第三类边值问题在物体表面的一部分给定面力，其余部分给定位移，或在部分表面上给定外力和位移之间的关系，这如弹性支撑或弹性固定，求在这些条件下的应力场和位移场，称这类问题为混合边值问题。
求解以上三类边值问题有相应的方法，即
（1）位移法
以位移为基本未知函数，应用几何方程和本构方程，将应力用位移表示，并代入平衡方程，得到用位移表示的平衡方程；
求解此方程得到位移，然后反求应变和应力。
称这种方法为位移法。
显然，对于位移边值问题宜采用位移法。
（2）应力法
以应力为基本未知函数，通过本构方程用应力表示应变，代入应变协调方程，得到用应力表示的协调方程；
联立求解这些方程及平衡方程，得到应力，然后求应变及位移。
由于应力应满足协调方程，故可由应变求出位移。
称这种方法为应力法。
对于应力边值问题宜采用应力法。
（3）混合法
对于第三类边值问题宜以物体表面的一部分点的位移分量和一部分点们应力分量作为基本未知函数，然后进行混合求解。
称这种方法为混合法。
对于混合边值问题宜采用此法。
2.2位移法
以位移分量u、、v、w为基本未知函数，并注意到?
z，以及
2u?
2v?
2w?
和以下拉普拉斯算符
113
则按上述位移法的步骤最后可以得到用位移表示的平衡方程为?
（?
（5.2-1）?
当不计体力时，上式可写为齐次方程式?
（5.2-2）?
2（?
当用张量表示时，以上两式可分别简写为（?
）uj,ji?
ui,jj?
fi?
0（5.2-3a）和
0（5.2-3b）上式称为拉梅-纳维（Lamé
-Navier）方程。
如果是动力问题，则（5.2-3a）式中的体力fi用（fi?
ui）代人即得到用位移表示的运动方程。
用位移法求解时，边界条件也应用位移表示；
如果是位移边值问题，情况自然简单。
如果还有应力边界条件，则应将它们用位移表示如下：
2.3应力法ij?
uj,i）nj?
fi（在S?
上）?
这类边界条件因为是用位移的一阶导数表示的，有时较难处理。
因为用位移法求解时得到的是位移场，所以应变协调方程自然满足。
采用应力作为未知函数，除平衡方程己是用应力表示外，还需将泛定方程中114
的应变协调条件用应力表示。
对于式（5.1-3a）中的第一式借助（5.1-4a）式可得2?
2I1?
2I1（1?
）（2?
（a））?
（2?
2）?
2（1?
）2?
式中I1为第一应力不变量。
利用平衡方程（5.1-1）式，可将式（a）中等号右边可得?
（）?
X）?
z（b）?
xyyyz?
Y）?
xy
于是式（a）可写为
Y（1?
2）（?
y）?
）[（?
]也?
可将上式写为
Y2（1?
）（?
I1?
）（c）?
z22
将（5.1-3a）中的第二、第三式进行类似推导，可得类似（c）式的方程，然后将它们相加，则有?
将（d）式代入（c）式，最后得1?
Z（?
）（d）1?
z
Z?
21?
z21?
z2
类似可得其它5个方程。
最终得到用应力表示的6应变协调方程为1?
x21?
y21?
2?
z2?
z）?
（5.2-4a）
2?
Z2?
115
式（5.2-4）称为贝尔特拉米-米歇尔（Beltrami-Michell）方程。
采用张量形式，它可写为?
（I1）,ij?
fk,k?
（fi,j?
fj,i）（5.2-4b）1?
当不计体力时，式（5.2-4）可简化为1?
xy11?
将上式写成张量形式为?
（5.2-5a）?
1（I1）,ij?
0（5.2-5b）1?
由此可知，在应力法中，6个应力分量要满足3个平衡方程及6个用应力表示的协调方程，亦即6个应力分量要满足9个方程。
实际上，这6个协调力程不是完全独立的。
2.4逆解法和半逆解法
由以上讨论可以看出，对于弹性力学问题需要在严格的边界条件下解复杂的微分方程组。
通常这是一件很不容易的事，因为往往会在数学上遇到难以克服的困难。
因而，人们研究了各种解题方法，如逆解法、半逆解法等。
逆解法就是选取一组位移或应力的函数，由此求出应变与应力，然后验证是否满足基本方程。
差满足，则求出与之对应的边界上的位移或面力，再与实际边界条件比较。
如果相同或可认为相近，就可把所选取的解作为所要求的解。
半逆解法又叫凑合解法，就是在未知量中，先根据问题的特点假设一部分为已知，然后在基本方程和边界条件中，求另一部分。
这样便得到了全部未知量。
此外，尚有近似解法、数值解法等。
116
2.5解的唯一性
对于基本方程（5.1-1）、（5.1-2）、（5.1-4），在给定边界条件下，弹性力学问题的解是否存在和其解是否唯一，回答是肯定的：
解是存在的，而且在小变形条件下，对于受一组平衡力系作用的物体，应力和应变的解是唯一的。
其位移的解则含有6个表征物体作刚体移动和转动的任意常数。
就是说，不但有解，而且只有唯一的解。
解的存在定理证明过程冗长，可参考有关著作，这里不作介绍。
现以应力解为例，对解的唯一性作简要证明。
&
"
设应力?
ij和?
ij是同一问题的两组不同的应力解，与之对应的位移为ui&
和ui"
，
它们的差分别为?
ij及ui?
ui&
ui"
。
&
j?
ij
&
由于应力?
ij都满足平衡方程和协调方程，而体力又是相同的，因此将其
代入平衡方程式（5.1-1）和协调方程（5.2-4a）后，有
如果?
ij满足同一应力边界条件，即
fi，?
fi?
将上式相减，必有
"
ij）ni?
因为ni?
0，由此可知，在给定面力的边界上必然有
这说明?
ij与一个既无面力又无体力的自然状态相对应。
由第一章已知，自然状态是一类既无应力也无应变的状态。
由此得出，在全部体内有
这与前面的假设相矛盾，于是，解的唯一性得证。
5.3圣维南原理和叠加原理
3.1圣维南原理
117
弹性力学边值问题的解不仅要满基本方程，而且要满足边界条件。
只满足基本方程的解有时易得到但不唯一。
关键是在所有满足基本方程的解中确定那个是能同时满足边界条件的真实解。
显然，边界条件变化，边值问题的解亦将变化。
但是，在实际问题中，有些边界条件难于精确确定，即难以知道边界上的应力分布规律和位移分布规律；
有些应力边界条件实际上也不知道其精确的分布规律，从而无法建立其精确的表述式。
为了克服这一难题，1855年法国学者圣维南提出了局部性原理，认为分布于物体很小部分（表面或体积）上的载荷所引起的物体内的应力分布，在离载荷作用区域稍远的地方，基本上与该载荷的合力和合力矩（或静力等效载荷）所引起的应力相同，载荷的具体分布情况只影响载荷作用区域附近的应力分布。
后人称其为圣维南原理。
圣维南原理对于解决实际问题是必要的，而且己被大量的实验和实践经验所证明。
如图5.1所示受轴向拉伸等直杆，杆的截面积为A、杆端受到5种静力等效的载荷作用，实践证明除了在虚线所示范围内应力分布有显著区别外，距两端较远处的应力分布几乎与端部载荷的具体分布无关。
（a）
（b）
图5.1拉伸等直杆图5.2薄壁杆
必须指出圣维南原理主要用于实心体。
古地尔（Goodier,）通过对应变段的量级分析指出：
当三维实心体在局部受到自我平衡力系作用时，其影响区的尺寸和载荷作用区的尺寸同量级（图5.2a）。
但对于薄壁杆、薄壳等薄型结构，当最小几何尺寸小于载荷作用区的线性尺寸时，局部性原理不再适用。
例如，对于（图5.2b）的薄壁杆，在端部的两竖直部分受到等值、反向的扭短作用（平衡力系），当腹板的厚度很小时、就接近于两片狭长截面杆各自受到等值反向的扭矩作用，显然，这时局部性原理不再适用。
由此可见，圣维南原理在实际中的应用，是在这些边界上在圣维南原理意义下（近似）满足边界条件，等价于放松了（次要边界的）边界条件。
118
3.2叠加原理
弹性力学边值问题的解必须满足基本方程和边界条件。
现设同一个弹性体分别受到两种不同的体力Fi&
、Fi"
和面力pi&
、pi"
作用，在位移边界上，给定的位移为
、ui&
和?
ij、ui"
它们部满足基本方ui和ui，并设对应于这两种载荷的解分别为?
ij&
程和边界条件，即有
0,"
0,
pi&
"
pi"
ui&
ui?
（a）"
ui?
将式（a）对应相加后，得
ij,j）?
ij）nj?
（ui&
ui（b）
同样，协调程程也可以合并。
显然可发现，在两种载荷共同作用下的解是两种载荷单独作用时对应解的代数和，这就是叠加原理。
从数学上说，线性方程及线性边界条件的解是可叠加的，因此，在力学问题中、如果基本方程和边界条件都是线性的，则可应用叠加原理，这等价于要求材料的本构方程是线性弹性的，变形是微小的。
对于非线性力学问题，如大变形问题、非线性弹性问题以及弹塑性问题等，其基本方程及边界条件不是或不全是线性的，则叠加原理不再适用。
5.4矩形截面梁的弹塑性纯弯曲
在本节应用材料力学初等理论讨论矩形截面梁的弹塑性弯曲问题。
4.1粱的理想弹塑性纯弯曲
设截面高为h，宽为b,材料是理想弹塑性的梁，两端受到弯矩M作用（图5.3）。
设梁无论是处于弹性状态还是塑性状态，材料力学中的平面假设仍成立，且截面上只有正应力作用，其它应力分量都为零。
对于纯弯曲情形，可以证明这两个假定在圣维南意义下是精确成立的。
即满足平衡方程、应变协调方程、应力—应变关系和圣难南边界条件。
图5.3弹塑性纯弯曲梁
119
取x轴为中性轴，则由力的平衡关系可知，梁中正应力?
x满足如下关系
M?
b?
x（y）dy?
2b?
（5.4-1）hh
FN?
2h?
式（5.4-1）中的第二式表示轴向力等于零，正应力?
x应为对称分布，因此表示弯矩的第一式方可写戏后一形式。
1）弹性阶段
由平面假设?
yh2h?
2h20
ky（5.4-2）
式中k,?
分别为曲率和曲率半径。
若规定挠度w向下为正，则在小变形条件下曲率与挠度的关系为
d2wk?
2dx
当弯矩M从零开始增加，梁的截面先处于弹性阶段，则其应力为
E?
Eky（5.4-3）将式（5.4-3）代入式（5.4-1）中的第一式，得M?
2bEk?
y2dy?
EIzk（5.4-4）其中Iz?
h
2
0h20bh3ydy?
为截面的惯性矩。
从（5.4-4）式可知，弯矩M与曲率k呈122
线性关系，并由该式可得
k?
MEIz
将它代入式（5.4-3），则有?
My（5.4-5）Iz
式（5.4-5）与材料力学的结果完全一样，表明应力?
x在梁的横截面呈线性分布，即与y成比例，且随着弯矩M的增加，梁的上下最外层最先达到屈服应力，对应的弯矩称为弹性极限弯矩，记为Me。
由（5.4-5）式可得弹性极限弯矩为120
第五章
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