四川省南充市仪陇县立山片区学年九年级上学期期中数学试题Word下载.docx

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12．已知关于x的方程

的两根是一个矩形两条邻边的长，那么当k＝_____时，矩形的对角线长为

．

13．当

_____________时，二次函数

有最小值．

14．已知点P（a，3）与点Q（﹣2，b）关于原点对称，则a﹣b＝_____．

15．在①平行四边形；

②矩形；

③菱形；

④正方形；

⑤等腰梯形这五种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是_____（只填序号）．

16．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°

，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为_____．

三、解答题

17．解下列方程：

（1）4（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0；

（2）16（1+x）2＝25；

（3）x2﹣4x+3＝0．

18．已知关于x的方程x2﹣（m﹣2）x﹣

＝0．

（1）求证：

无论m为何值，方程总有两个不相等实数根．

（2）设方程的两实数根为x1，x2，且满足（x1+x2）2＝|x1|﹣|x2|+2，求m的值．

19．如图，已知抛物线y1＝﹣2x2+2与直线y2＝2x+2交于A、B两点

（1）求线段AB的长度；

（2）结合图象，请直接写出﹣2x2+2＞2x+2的解集．

20．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2＝0的两个实数根．

（1）当m＝0时，求方程的根；

（2）若（x1﹣2）（x2﹣2）＝41，求m的值；

（3）已知等腰三角形ABC的一边长为9，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

21．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°

，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．

BE＝CF；

（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．

22．已知二次函数y＝﹣

x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积和周长．

23．某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x元（x＞50），每月销售这种篮球获利y元．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价应定为多少元？

24．如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°

，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．

（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是_____；

（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°

＜α≤360°

），

①判断

（1）中的结论是否仍然成立？

请利用图2证明你的结论；

②若BC＝DE＝4，当AE取最大值时，求AF的值．

25．如图，在平面直角坐标系中．直线y=﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A，连结AC，A（-1,0）

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值；

（3）若M为抛物线的顶点，点Q在直线BC上，点N在直线BM上，Q，M，N三点构成以MN为底边的等腰直角三角形，求点N的坐标．

参考答案

1．B

【解析】

【分析】

根据因式分解法解方程，按照步骤依次分析即可得到答案.

【详解】

x2－2x－3＝0，将方程因式分解得：

（x＋1）（x－3）＝0，故x＋1＝0或x－3＝0，解得：

x1＝－1，x2＝3，故答案选B.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解方程－因式分解法.

2．D

试题分析：

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

解：

A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．

故选D．

考点：

中心对称图形；

轴对称图形．

3．B

方程常数项移到右边，两边加上16变形即可得到结果．

方程移项得：

x2+8x＝﹣7，

配方得：

x2+8x+16＝9，即（x+4）2＝9．

故选：

B．

此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握解方程的步骤与方法是解决问题的关键．

4．B

由关于x的方程mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1＝0有两个实根，可知此方程是一元二次方程，即m≠0，且判别式△≥0．即可求得m的取值范围．

因为关于x的方程mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1＝0有两个实根，

所以△＝b2﹣4ac＝4（3m﹣1）2﹣4m（9m﹣1）≥0，且m≠0，

解之得m≤

且m≠0．

本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程中二次项系数不为零这一隐含条件．

总结：

一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

5．D

根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件：

此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形．故选D

6．A

已知抛物线解析式为交点式，通过解析式可求抛物线与x轴的两交点坐标；

两交点的横坐标的平均数就是对称轴.

∵-1，3是方程a（x+1）（x-3）=0的两根，

∴抛物线y=a（x+1）（x-3）与x轴交点横坐标是-1，3.

∵这两个点关于对称轴对称，

∴对称轴是

.

故选A．

7．D

由图象的开口方向向下得到a＜0，由抛物线对称轴在y轴右侧得到﹣

＞0，又由a＜0得到b＞0，而抛物线与y轴交点坐标为（0，c）点，由图知该点在x轴上方得到c＞0，从而确定

＜0，最后可以确定（b，

）所在位置．

∵抛物线开口方向向下，

∴a＜0，

∵抛物线对称轴在y轴右侧，

∴﹣

＞0，

又∵a＜0，

∴b＞0，

∵抛物线与y轴交点坐标为（0，c）点，

由图知该点在x轴上方，

∴c＞0，

∴

＜0

∴（b，

）在第四象限．

D．

本题利用数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征．

8．C

∵抛物线y=﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），

∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是（﹣1，6）

∴所得抛物线解析式是y=﹣2（x+1）2+6．

故选C

点睛：

本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：

将二次函数解析式转化成顶点式y=a（x-h）2+k 

，确定其顶点坐标（h，k），在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；

k值正上移，负下移”．

9．B

【解析】∵二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），

∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，

∵M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3），

∴K点离对称轴最远，N点离对称轴最近，

∴y2＜y1＜y3.

B.

10．C

由开口方向及对称轴位置可判断①；

由c＝1且抛物线与x轴有两个交点，即b2﹣4ac＞0可得b2﹣4a＞c﹣1，即可判断②；

由抛物线过（﹣1，0）且c＝1得a﹣b+c＝0即b＝a+1＞0，继而可得﹣1＜a＜0即0＜a+1＜1，最后由a+b+c＝a+a+1+1＝2a+2＝2（a+1）可判断③；

由b＝a+1且0＜a+1＜1可判断④；

由函数图象知当x＞﹣1时，图象有位于x轴上方也有位于x轴下方的，即可判断⑤；

由8a+7b+2c﹣9＝8a+7（a+1）+2﹣9＝15a且a＜0可判断⑥．

∵开口向下且对称轴位于y轴右侧，

∴a＜0，b＞0，

∴ab＜0，故①正确；

∵抛物线与x轴有两个交点且过点（0，1），

∴b2﹣4ac＞0，c＝1，

∴b2﹣4a＞c﹣1，即4a+c＜1+b2，故②正确；

∵抛物线过（﹣1，0），c＝1，

∴a﹣b+c＝0，

∴b＝a+1＞0，

∴﹣1＜a＜0，

∴0＜a+1＜1

又a+b+c＝a+a+1+1＝2a+2＝2（a+1），且0＜2（a+1）＜2，

∴0＜c+b+a＜2，故③正确；

由③知，0＜b＝a+1＜1，故④错误；

由函数图象知当x＞﹣1时，y＞0或y＜0，故⑤错误；

∵8a+7b+2c﹣9＝8a+7（a+1）+2﹣9＝15a，且a＜0，

∴8a+7b+2c﹣9＜0，故⑥正确；

综上，正确的结论有①②③⑥共4个，

C．

本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练将函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、抛物线与坐标轴的交点及函数图象上特殊点的坐标转化成与系数有关的式子是解题的关键．

11．﹣1．

根据一元二次方程的定义得到m-1≠0；

根据方程的解的定义得到m2-1=0，由此可以求得m的值．

把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，解得m=±

1，

而m﹣1≠0，

所以m＝﹣1．

故答案为﹣1．

本题考查一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意：

一元二次方程的二次项系数不为零．

12．2．

根据根与系数的关系得出AB+BC＝k+1，AB•BC＝

k2+1，由勾股定理得出AB2+BC2＝5，得出方程（k+1）2﹣2（

k2+1）＝5，求出方程的解即可．

根据根与系数的关系得：

AB+BC＝k+1，AB•BC＝

k2+1，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°

，

由勾股定理得：

AB2+BC2＝（

）2＝5，

（AB+BC）2﹣2AB•BC＝5，

（k+1）2﹣2（

k2+1）＝5，

k＝2，k＝﹣6，

当k＝2时，AB+BC＝K+1＝3，

当k＝﹣6时，AB+BC＝k+1＝﹣5＜0，舍去，

故答案为：

2．

本题考查了矩形的性质，勾股定理，根与系数的关系的应用，关键是得出关于k的方程．

13．-1

本题主要考查了二次函数的最值.

先用配方法把函数化为顶点式的形式，再根据其解析式即可求解．

∵二次函数y=x2+2x-2可化为y=（x+1）2-3，

∴当x=-1时，二次函数y=x2+2x-2有最小值．

14．5．

根据点P（a，3）与点Q（﹣2，b）关于原点成中心对称，可得a＝2，b＝﹣3，然后把a、b的值代入代数式计算即可．

∵点P（a，3）与点Q（﹣2，b）关于原点成中心对称，

∴a＝2，b＝﹣3，

∴a﹣b＝2+3＝5．

5．

此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，解答此题的关键是要明确：

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（−x，−y）．

15．②③④．

①不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；

即不满足轴对称图形的定义．是中心对称图形，故错误；

②③④都是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；

⑤是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；

即不满足中心对称图形的定义．故错误；

故本题答案为：

②③④．

掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；

中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

16．（

，2）．

由题意得：

，即点P的坐标

17．

（1）x＝3或x＝4；

（2）x＝

或x＝﹣

；

（3）x＝1或x＝3．

（1）利用因式分解法求解可得；

（2）利用直接开平方法求解可得；

（3）利用因式分解法求解可得．

（1）∵4（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0，

∴（x﹣3）（3x﹣12）＝0，

则x﹣3＝0或3x﹣12＝0，

解得x＝3或x＝4；

（2）∵16（1+x）2＝25，

∴（1+x）2＝

则x+1＝±

解得x＝

（3）∵x2﹣4x+3＝0，

∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，

则x﹣1＝0或x﹣3＝0，

解得x＝1或x＝3．

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：

直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

18．

（1）详见解析；

（2）m的值为m＝4或m＝1或m＝0或m＝3．

（1）根据判别式△＝2（m﹣1）2+2＞0，即可得到结果；

（2）由于x1•x2＝﹣

≤0，可得x1，x2不同号，再分两种情况讨论可求m的值．

（1）∵△＝[﹣（m﹣2）]2﹣4（﹣

）＝2m2﹣4m+4＝2（m﹣1）2+2＞0，

∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵x1•x2＝﹣

≤0，

∴x1，x2至少有一个为0或不同号，

当x2＜0，∵（x1+x2）2＝|x1|﹣|x2|+2，

∴（x1+x2）2＝x1+x2+2，

∴x1+x2＝2，或x1+x2＝﹣1，

∴m﹣2＝2，或m﹣2＝﹣1，

∴m＝4，或m＝1；

当x1＜0时，∵（x1+x2）2＝|x1|﹣|x2|+2，

∴（x1+x2）2＝﹣x1﹣x2+2，

∴x1+x2＝﹣2，或x1+x2＝1

∴m﹣2＝﹣2，或m﹣2＝1，

∴m＝0，或m＝3．

故m的值为m＝4或m＝1或m＝0或m＝3．

本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；

当△＝0，方程有两个相等的实数根；

当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．

19．

（1）

（2）﹣1＜x＜0．

（1）直接求出两函数图象的交点进而得出AB的长；

（2）直接利用两函数的交点坐标得出不等式的解集即可．

（1）∵抛物线y1＝﹣2x2+2与直线y2＝2x+2交于A、B两点，

∴﹣2x2+2＝2x+2，

解得：

x1＝﹣1，x2＝0，

当x＝﹣1时，y＝0，当x＝0时，y＝2，

故A（﹣1，0），B（0，2），

则AB＝

＝

（2）由

（1）得：

﹣2x2+2＞2x+2的解集为：

﹣1＜x＜0．

此题主要考查了二次函数与不等式，正确得出两函数的交点坐标是解题关键．

20．

（1）x1＝0，x2＝4

（2）9（3）19

（1）将m=0代入方程x2-2（m+2）x+m2=0，得到x2-4x=0，利用因式分解法求解即可；

（2）利用（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4=m2-4（m+2）+4=m2-4m-4=41，求得m的值，再利用根的判别式检验即可；

（3）分9为底边和9为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．

（1）当m＝0时，方程即为x2﹣4x＝0，

解得x1＝0，x2＝4；

（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2＝0的两个实数根，

∴x1+x2＝2（m+2），x1x2＝m2，

∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4＝m2﹣4（m+2）+4＝m2﹣4m﹣4＝41，

∴m2﹣4m﹣45＝0，

解得m1＝9，m2＝﹣5．

当m1＝9时，方程为x2﹣22x+81＝0，△＝（﹣22）2﹣4×

81＝160＞0，符合题意；

当m1＝﹣5时，方程为x2+6x+25＝0，△＝62﹣4×

25＝﹣64＜0，不符合题意；

故m的值为9；

（3）①当9为底边时，此时方程x2﹣2（m+2）x+m2＝0有两个相等的实数根，

∴△＝4（m+2）2﹣4m2＝0，

m＝﹣1，

∴方程变为x2﹣2x+1＝0，

x1＝x2＝1，

∵1+1＜9，

∴不能构成三角形；

②当9为腰时，设x1＝9，

代入方程得：

81﹣18（m+2）+m2＝0，

m＝15或3，

当m＝15时方程变为x2﹣34x+225＝0，

x＝9或25，

∵9+9＜25，不能组成三角形；

当m＝3时方程变为x2﹣10x+9＝0，

x＝1或9，

此时三角形的周长为9+9+1＝19．

本题考查了根的判别式，根与系数的关系，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．

21．

（1）详见解析；

（2）2

﹣2．

（1）根据旋转的性质得AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45

，然后根据“SAS”证明△ABE≌△ACF，于是根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）根据菱形的性质得DF＝AF＝2，DF∥AB，再利用平行线的性质得∠1＝∠BAC＝45

，则可判断△ACF为等腰直角三角形，所以CF＝

AF＝2

，然后计算CF﹣DF即可．

（1）证明：

如图，

∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，

∴AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45

∴∠BAC+∠3＝∠EAF+∠3，

即∠BAE＝∠CAF，

在△ABE和△ACF中

∴△ABE≌△ACF，

∴BE＝CF；

（2）解：

∵四边形ABDF为菱形，

∴DF＝AF＝2，DF∥AB，

∴∠1＝∠BAC＝45

∴△ACF为等腰直角三角形，

∴CF＝

∴CD＝CF﹣DF＝2

本题考查了旋转的性质：

对应点到旋转中心的距离相等；

对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．

22．

（1）y＝﹣

x2+4x﹣6；

（2）S△ABC＝6，△ABC的周长＝2+2

+2

（1）先把（2，0）、（0，﹣6）代入二次函数解析式，可得关于b、c的方程组，解即可求出函数解析式；

（2）由函数解析式，易求其对称轴，从而易得C点的坐标，再利用两点之间的距离公式，易求AB、BC，进而可求△ABC的面积和周长．

（1）把（2，0）、（0，﹣6）代入二次函数解析式，可得

解得

故解析式是y＝﹣

（2）∵对称轴x＝﹣

＝4，

∴C点的坐标是（4，0），

∴AC＝2，OB＝6，AB＝2

，BC＝2

∴S△ABC＝

AC•OB＝

×

2×

6＝6，

△ABC的周长＝AC+AB+BC＝2+2

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形面积、周长的计算，解题的关键是根据对称轴的计算，求出C点的横坐标，并能利用公式计算两点之间的距离．

23．

（1）y＝－10x2＋1400x－40000，50＜x＜100；

（2）60元.

【解析】试题分析：

（1）根据利润问题的数量关系，利润＝售价－进价就可以得出每个篮球的利润，设销售这批篮球的利润为y元，根据销售问题的数量关系表示出y与x之间的函数关系式；

（2）令函数值y＝8000，求得合适的x的值即可．

试题解析：

（1）由题意，篮球售价定为x元，得每个篮球所获得的利润是（x－40）元，篮球每月的销售量是[500－10（x－50）]个，

设销售这批篮球的利润为y元，由题意，得：

y＝（x－40）[500－10（x－50）]

＝－10x2＋1400x－40000，

由500－10（x－50）＞0得x＜100，

又x＞50，

所以50＜x＜100；

（2）由题意可得：

－10x2＋1400x－40000＝8000，

整理得：

x2－140x＋480＝0，

（x－60）（x－80）＝0，

解得x1＝60，x2＝80，

故售价为60或80元，

为吸引更多的顾客，所以售价应定为60元．

答：

销售定价应定为60元．

本题考查了二次函数的应用，销售问题的数量关系的运用，利润＝售价－进价的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．

24．

（1）BG=AE．

（2）①成立BG=AE．证明见解析.②AF=

（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；

（2）①如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；

②由①可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．

（1）BG=AE.

理由：

如图