全等三角形证明经典50题含答案60326Word文档格式.docx
《全等三角形证明经典50题含答案60326Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全等三角形证明经典50题含答案60326Word文档格式.docx(25页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
AC平分ZBADCELAB,ZB+ZD=180,求证:
AE二AD+BE
在AE上取F,使EF=EB,连接CF
vCELAB
•ZCEB=ZCEF=90°
vEB=EF,CE=CE
•△CEB^ACEF
•ZB=ZCFE
vZB+ZD-180°
ZCF曰ZCFA=180°
•ZD=ZCFA
vAC平分ZBAD
•ZDAC=ZFAC
•ZBDE=ZE
vAC=AC
12.如图,四边形ABCD中,/BCD且点E在AD上。
AB||ED得:
ZEAB+ZAEDZBDEZABD=180度,
•••△ADC2AAFC(SAS
•••AD=AF
•AE^AF+FE=AMBE
AB//DCBECE分别平分/ABC求证:
BC=AB+DC
vBE平分/ABC
•/ABE2FBE
又vBE二BE
•/ABE^/FBE(SAS
•/A+ZD=180o
vZBFE+ZCFE=180o
•ZD=ZCFE
又vZDCEZFCE
CE平分ZBCD
CE=CE
•/DCE2/FCE(AAS
•CD=CF
•BC=BF+CF=AB+CD
13.已知:
AB//ED,ZEABZBDEAF二CDEF二BC求证:
ZF=ZC
•••/AEDWABD
•••四边形ABDE是平行四边形。
•得:
AE=BD
vAF=CD,EF=B,C
•三角形AEF全等于三角形DBC
•/F=ZCo
14.已知:
AB二CD/A=ZD,求证:
/B=ZC
设线段AB,CD所在的直线交于E,(当ADvBC寸,E点是射线BA,CD的交点,当AD>
B(时,E点是射线AB,DC的交点)。
则:
△AED是等腰三角形。
•AE=DE
而AB=CD
•BE=CE等量加等量,或等量减等量)
•△BEC是等腰三角形
•/B=/C.
15.P是/BAC平分线AD上一点,AC>
AB求证:
PC-PB<
AC-AB
在AC上取点E,
使AE=AB
vAE=AB
AP=AP
/EAP=ZBAE
•△EAP^ABAP
•PE=PB
PCXEOPE
•PCX(AC-AE+PB
•PC-PB<
AC-AB
16.已知/ABC=2C,/仁/2,BELAE求证:
AC-AB=2BE
v作AG/BD交DE延长线于G
•AGE全等BDE
•AG=BD=5
•AG臼CDF
AF=AG=5
•DC二CF=2
ADLBC
在AC上取一点D,使得角DBC角C
vZABC=2C
:
丄ABDZABCZDBC=ZC-ZC=2/C;
vZADBZC+ZDBC=ZC;
•••AB=AD
•••AC-AB=AC-AD=CD=BD
在等腰三角形ABD中,AE是角BAD勺角平分线,
•AE垂直BD
vBE!
AE
•••点E一定在直线BD上,在等腰三角形ABD中,AB=ADAE垂直BD
•••点E也是BD的中点
•BD=2BE
vBD二CD二ACB
•AGAB=2BE
18.如图,在△ABC中,BD=DCZ仁Z2,求证:
延长AD至BC于点E,
vBD=DC•△BDC是等腰三角形
•ZDBCZDCB
又vZ1=Z2•ZDBCZ仁ZDCBZ2
即ZABCZACB
•△ABC是等腰三角形
•AB=AC
在厶ABD^H^ACD中
{AB=AC
Z仁Z2
BD=DC
•△ABDffiAACD是全等三角形(边角边)
•ZBADZCAD
•AE是厶ABC勺中垂线
•AE1BC
•ADLBC
17.已知,E是AB中点,AF=BDBD=5AC=7求DC
19.如图,OM平分/POQMALOP,MB_OQA、B为垂足,AB交OM于点N.
求证:
/OABhOBA
o
TOM平分/POQ
•••/POW/QOM
tMALOPMBLOQ
•/MA8/MBW90
tOM=OM
•△AOIWABOM(AAS
•OA=OB
tON=ON
•△AOI^ABON(SAS
•/OAB/OBA/ONA/ONB
•/ONA=ZONB=90
•OMLAB
20.(5分)如图,已知AD//BC/PAB的平分线与/CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:
AD+BC=AB
做BE的延长线,与AP相交于F点,
tPA//BC
•/PAB/CBA=180,又t,AE,BE均为/PAB和/CBA的角平分线
•/EAB/EBA=90•/AEB=90,EAB为直角三角形
在三角形ABF中,AE!
BF,且AE为/FAB的角平分线
•三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF
在三角形DEF与三角形BEC中,
/EBC/DFE且BE=EF/DEF/CEB
•三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,•DF=BC
•AB=AF=AD+DF=AD+BC
t/ONA/ON圧180
(1)连接BE,DF.
21.如图,△ABC中,AD是/CAB勺平分线,且AB二AC+C,求证:
/C=2/B
vDELAC于E,BF丄AC于F,
•/DEC/BFA=90,DE//BF,在Rt△DEC和Rt△BFA中,
A
vAF=CEAB=CD
•Rt△DEC2Rt△BFA(HL),
•DE二BF
•四边形BEDF是平行四边形.
C一
DB延长AC到E
使AE二AC连接ED
•MB=M,ME=M;
(2)连接BE,DF.
vDELAC于E,BFLAC于F,
•/AB=AC+CD
•••CD=CE
可得/B=/E
•Rt△DEC2Rt△BFA(HL),
△CDE为等腰
/ACB=/B
•MB=M,ME=M.F
22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DELAC于E,BFLAC于F,若AB=CDAF=CEBD交AC于点M
23.已知:
如图,DC/AB且DC=AEE为AB的中点,
(1)求证:
MB=MDME二MF
△AED^AEBC
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?
若成立请给予证明;
若不成立请说明理由.
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBO,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):
vDOIAB
•CD吕/AED
VD^DE,DOAE
/.AAEI^AEDC
VE为AB中点
••ABBE
•••BBDC
•DC吕/BEC
•C日CE
/.AEBC^AEDC
/.AAEI^AEBC
24.(7分)如图,△ABGhZBAC=9(K,AB=AQBD是/ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
BD=2CE
VZCEByCAB=90
「•ABC刨点共元
vZABE=ZCBE
•••AE二CE
/.ZECAMEAC
取线段BD的中点G连接Aq贝y:
AG=BG=DG
••/GABhABG
而:
/ECAWGBA(同弧上的圆周角相等)
二ZECAMEACHGBAhGAB
而:
AC=AB
/.AAEC^AAGB
/.EC=BG=DG
/.BE=2CE
25、如图:
DF二C匕AD=BQZD=ZQ求证:
△AEI^ABFC
TDF=CE
•••DEEF二CE-EF,
即DE=CF
在厶AED^BFC中,
vAD=BC/D二/C,DE=CF
•△AED^ABFC(SAS
26、(10分)如图:
AEBC交于点MF点在AM上,BE//CF,BE=CF
AM是△ABC的中线。
•/E=ZCFM/EBMhFCM
vBE=CF
•△BEMmCFM
•BM=CM
•AM是△ABC的中线.
27、(10分)如图:
在厶ABC中,BA二BCD是AC的中点求证:
BDLAG
•••△ABDffiABCD的三条边都相等
•△ABD=\BCD
•/ADBMCD
•/ADByCDB=90
•BDLAC
28、(10分)AB=ACDB=DCF是AD的延长线上的一点求证:
BF=CF
vBE||CF
C
•BF=FC
29、(12分)如图:
AB=CDAE=DFCE=FB求证:
AF=DE
在^ABDW^ACD中
AB=AC
AD二AD
•••△ABD^AACD
•••/ADBMADC
丄BDF2FDC在厶BDFW^FDC中BD=DC
/BDFWFDC
DF=DF
vAB=DC
AE=DF,
CE=FB
CE+EF二EF+FB
•△ABE/CDFv/DCBhABFAB=DCBF=CE
△ABF=\CDE
•AF=DE
•△FBD^AFCD
30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD如图所示,其中AB//CD在ABCDBC三段路旁各有一只小石凳E,F,M且
vAF=CE,FE=EF.
•AE=CF.
CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.
连接EF
vAB//CD
B=ZC
VM是BC中点
•••BM=CM
在厶BEMfH^CFM中
BE=CF
BM=CM
•△BEMPACFM(SAS
•CF=BE
31.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CEBE//DF,BE=DF.求证:
△ABE^ACDF
(第2题)
vDF//BE,
AEBWCFD(两直线平行,内错角相等)
vBE=DF
•ABE^ACDF(SAS
32.已知:
如图所示,AB=ADBC=DCE、F分别是DCBC的中点,求证:
AE=AF。
连接BD
vAB=ADBC=D
•/ADByABD/CDBhABD两角相加,/ADChABC
vBC=DCE\F是中点
vAB=ADDE=BF
ZADChABC
•AE=AF
33.如图,在四边形ABCD^E是AC上的一点,Z仁Z2,Z3=Z4,求证:
Z5=Z6.
在厶ADC△ABC中
vAC二AC/BACKDAC/BCAMDCA
•••△ADC2AABC(两角加一边)
vAB二ADBC=CD
在厶DECW^BEC中
/BCAKDCACE=CEBC=CD
•△DEC^ABEC(两边夹一角)
•/DECKBEC
34.已知AB//DEBC//EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证:
△ABC^ADEF
BE
ADCF
vAD=DF
•AC=DF
vAB//DE
•KA=KEDF
又vBC//EF
•KF=KBCA
•△ABC^ADEF(ASA
35.已知:
如图,AB=ACBDACCEAB垂足分别为DE,BDCE相交于点F,求证:
BE=CD
证明:
vBDLAC
•KBDC=90
•CHAB
二ZBEC=90
二ZBDChBEC=90
VAB=AC
二ZDCBhEBC
•••BC=BC
•••RtABD^RtABEC(AAS)
••BE二CD
DHAB于
36、如图,在△ABC^,AD为/BACJ勺平分线,
E,DF丄AC于Fo
DE=DF
TAD是/BAC的平分线
二ZEADWFAD
•DHAB,DI^AC
•BFD^CFD=90/.ZAEDWZAFD=90
在△AEDWAAFD中
ZEADMFAD
AD=AD
ZAED^AFD
/.AAE[^AAFD(AA9
/.AE=AF
在△AEOWAAFO中
ZEAOhFAO
AO=AO
AE=AF
/.AAE(^AAFO(SA$
•AOEhAOF=90
•••ADLEF
37.已知:
如图,ACB罗C,DEACfE,ADABfA,BC=AE若AB=5,求AD的长?
vADLAB
•••/BACMADE
又vACLBC于C,DELAC于E
根据三角形角度之和等于180度
•/ABCMDAE
vBC=AE^ABC^ADAE(ASA
•AD=AB=5
vAB=AC
•/B=MC
vMELABMFLAC
•/BEMMCFM=90
在厶BMEffiACMF中
vMB=MCMBEMMCFM=90ME=MF
•△BMBACMF(AAS
•MB二M.C
38.如图:
AB=ACMELABMFLAC垂足分别为E、F,ME二M。
求证:
MB二MC
39.如图,给出五个等量关系:
①②③④⑤.请你以其
中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明.
已知:
①AD=BC⑤MDABMCBA求证:
△DAB^ACBA
vAD=BCMDABMCBA
又vAB=AB
•△DAB^ACBA
40.在厶ABC中,,,直线经过点,且于,于.
(1)当直线绕点旋转到图1的位置时,求证:
①幻;
②;
(2)当直线绕点旋转到图2的位置时,
(1)中的结论还成立吗?
若成立,请给出证明;
若不成立,说明理由
(1)
①T/ADChACBMBEC=90,
•••/CAD#ACD=90,/BCE吃CBE=90,/ACD#BCE=90.
•/CAD#BCE
vAC=BC
•△ADC2ACEB
②丁厶ADC2ACEB
•CE=ADCD=BE
•DE二CE+CD二AD+BE
(2)v#ADC#CEB#ACB=90,
•#ACD#CBE
又vAC=BC
•△ACD2^CBE
•DE二CECD二ADBE
41.如图所示,已知AE!
ABAF丄ACAE=ABAF=AC求证:
(1)EC=BF
(2)ECLBF
(1)vAE!
ABAFLAC
•/BAE#CAF=90,
•/BAE#BAC#CAF#BAC
即/EACWBAF
在厶ABF"
AEC中,
vAE=ABZEAC=/BAFAF=AC
•••△ABF^AAEC(SAS,
•••EC=BF
(2)如图,根据("
,△ABF^AAEC
•/AEC=/ABF
vAE!
AB
•/BAE=90,
•/AECyADE=90,
vZADE=/BDM(对顶角相等),
•/ABF+ZBDM=90,
在厶BDM中,ZBMD=18°
-ZABFZBDM=18°
-90°
=90°
•ECLBF.
42.如图:
BE!
ACCF!
ABBM=A,CN=AB求证:
(1)AM二AN
(2)AMLAN
ACCF!
•ZABMZBAC=90,ZACNZBAC=90
•ZABMZACN
vBM=ACCN=AB
•△ABM2ANAC
•AM=AN
•••△ABMmNAC
•••/BAMhN
vZN+ZBAN=90
•/BAMZBAN=90
即ZMAN=90
•AMLAN
ZA=ZD
AF=CD
•△ABF^ACDE(边角边)
•FB=CE
在四边形BCE冲
FB=CE
BC=EF
•四边形BCEF是平行四边形
•BCllEF
在AB上取点N,使得AN=AC
43.如图,已知ZA=ZD,AB=DE,AF=CD,BC=E求.证:
BC//EF
CDE中
AB=DE
VZCAEWEAN
•••AE为公共,
•••△CAE^AEAN
•••ZANEZACE
又VAC平行BD
•ZACEZBDE=180
而ZANEZENB=180
•ZENBZBDE
ZNBEZEBN
VBE为公共边
•△EBNmEBD
•BD=BN
•AB=AN+BN=AC+BD
45、(10分)如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF=DE求证:
BE//CF.
VAD>
AABC的中线
BD=CD
VDF=DE(已知)
ZBDEZFDC
•△BDE^AFDC
贝SZEBDZFCD
•BE//CF(内错角相等,两直线平行)。
46、(10分)已知:
如图,AB=CDDELAC;
BF丄AC;
E,F是垂足,.
VDELAC;
BFLAC
•ZCEDZAFB=90o
又VAB=CDBF=DE
•Rt/ABF^Rt/CDE(HL)
•••AF=CE
/BAF玄DCE
•AB//CD
47、(10分)如图,已知/仁/2,23二/4,求证:
AB=CD
在厶ACBffiADBC中
AC=DB
23=24
BC=CB
△ACB^ADBC
•AB=CD
48、(10分)如图,已知ACLABDBLABAC=BEAE=
BD试猜想线段CE与DE的大小与位置关系,并证明你的结论
v,23=24
•OB=OC
在^AOBfyDOC中
2仁22
OB=OC
2AOB2DOC
△AOB2ADOC
CE>
DE当2AEB越小,则DE越小。
过D作AE平行线与AC交于F,连接FB
由已知条件知AFDE为平行四边形,ABEC为矩形,且△DFB为等腰三角形。
△DFB中/DFBWDBF=(180-/FDB)/2>
45°
RTAAFB中,/FBA=90-/DBF<
45
/AFB=90-/FBA>
•AB>
AF
vAB=CEAF=DE
•CE>
DE
50.如图9所示,△ABC是等腰直角三角形,/ACB=90°
AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:
/ADC=ZBDE
图9
49、(10分)如图,已知AB=DC,AC=DBBE=CE求证:
AE=DE.
Abc^dcb
作CGLAB,交AD于H,
则/ACH=45o/BCH=45ovZCAH=90oZCDA,/BCE=90o/