学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义第一章 12 应用举例 Word版含答案Word格式.docx
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∴点A在点B的北偏西15°
.故选B.
3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为（ ）
A．α＞βB．α＝β
C．α＋β＝90°
D．α＋β＝180°
选B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B.
4.
已知船A在灯塔C北偏东85°
且到C的距离为1km，船B在灯塔C西偏北25°
且到C的距离为km，则A，B两船的距离为________km.
由题意得∠ACB＝（90°
－25°
）＋85°
＝150°
又AC＝1，BC＝，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·
BCcos150°
＝7，∴AB＝.
测量高度问题
[典例] 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
[解] 在△BCD中，
∠CBD＝π－（α＋β）．
由正弦定理得＝.
∴BC＝＝.
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝.
测量高度问题的解题策略
（1）“空间”向“平面”的转化：
测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
（2）“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
[活学活用]
1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45°
，沿A向北偏东30°
方向前进100m到达B处，在B处测得水柱顶端的仰角为30°
，则水柱的高度是（ ）
A．50m B．100m
C．120mD．150m
选A 如图，设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°
，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，（h）2＝h2＋1002－2×
h×
100×
cos60°
，即h2＋50h－5000＝0，解得h＝50或h＝－100（舍去），故水柱的高度是50m.
2.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°
，沿倾斜角为30°
的山坡向山顶走1000m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°
，则山高BC为________m.
因为∠SAB＝45°
∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°
－（90°
－75°
）＝30°
所以∠ASB＝180°
－∠SAB－∠SBA＝135°
在△ABS中，AB＝＝＝1000，
所以BC＝AB·
sin45°
＝1000×
＝1000（m）．
1000
测量角度问题
[典例] 如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5（3＋）nmile的两个观测点．现位于A点北偏东45°
方向、B点北偏西60°
方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°
且与B点相距20nmile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30nmile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？
[解] 由题意，知AB＝5（3＋）nmile，
∠DBA＝90°
－60°
＝30°
，∠DAB＝90°
＝45°
∴∠ADB＝180°
－（45°
＋30°
）＝105°
在△DAB中，由正弦定理得＝，
即BD＝＝
＝
＝10nmile.
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°
，BC＝20nmile，
∴在△DBC中，由余弦定理，得
CD＝
＝
＝30nmile，
则救援船到达D点需要的时间为＝1h.
测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等．
解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．
[活学活用]
在海岸A处，发现北偏东45°
方向，距离A处（－1）nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°
的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°
方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
解：
设缉私船用th在D处追上走私船，画出示意图，
则有CD＝10t，BD＝10t，
在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°
∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·
AC·
cos∠BAC＝（－1）2＋22－2·
（－1）·
2·
cos120°
＝6，
∴BC＝，且sin∠ABC＝·
sin∠BAC＝·
＝，
∴∠ABC＝45°
，BC与正北方向成90°
角．
∵∠CBD＝90°
＝120°
，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝＝＝，
∴∠BCD＝30°
.即缉私船沿北偏东60°
方向能最快追上走私船.
测量距离问题
题点一：
两点间不可通又不可视
1.
如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．
即AB＝.
若测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°
，试计算AB的长．
在△ABC中，由余弦定理得
BCcos∠ACB，
∴AB2＝4002＋6002－2×
400×
600cos60°
＝280000.
∴AB＝200（m）．
即A，B两点间的距离为200m.
题点二：
两点间可视但有一点不可到达
2.如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.
若测出AC＝60m，∠BAC＝75°
，∠BCA＝45°
，则A，B两点间的距离为________m.
∠ABC＝180°
＝60°
所以由正弦定理得，＝，
∴AB＝＝＝20（m）．
即A，B两点间的距离为20m.
20
题点三：
两点都不可到达
3.
如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.
若测得CD＝km，∠ADB＝∠CDB＝30°
，∠ACD＝60°
，∠ACB＝45°
，求A，B两点间的距离．
∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°
∴∠DAC＝60°
∴AC＝DC＝.
在△BCD中，∠DBC＝45°
，由正弦定理，得BC＝·
sin∠BDC＝·
sin30°
＝.
在△ABC中，由余弦定理，得
BCcos45°
＝＋－2×
×
∴AB＝（km）．
∴A，B两点间的距离为km.
当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：
（1）两点间不可通又不可视（如图①）：
可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：
AB＝.
（2）两点间可视但不可到达（如图②）：
可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.
（3）两点都不可到达（如图③）：
在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.
层级一 学业水平达标
学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m，∠A＝30°
，则其跨度AB的长为（ ）
A．12m B．8m
C．3mD．4m
选D 由题意知，∠A＝∠B＝30°
所以∠C＝180°
由正弦定理得，＝，
即AB＝＝＝4.
2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°
距塔68nmile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为（ ）
A.nmile/hB．34nmile/h
C.nmile/hD．34nmile/h
选A 如图所示，在△PMN中，＝，
∴MN＝＝34，∴v＝＝nmile/h.
如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α（α<
β），则A点离地面的高度AB等于（ ）
A.
B.
C.
D.
选A 设AB＝x，则在Rt△ABC中，CB＝，所以BD＝a＋，又因为在Rt△ABD中，BD＝，所以BD＝a＋＝，从中求得x＝
＝＝＝，故选A.
4．设甲、乙两幢楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°
，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°
，则甲、乙两幢楼的高分别是（ ）
A．20m，mB．10m,20m
C．10（－）m,20mD.m，m
选A 由题意，知h甲＝20tan60°
＝20（m），
h乙＝20tan60°
－20tan30°
＝（m）．
5．甲船在岛B的正南A处，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同时乙船自岛B出发以6km/h的速度向北偏东60°
的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是（ ）
A.minB.h
C．21.5minD．2.15h
选A 由题意可作出如图所示的示意图，设两船航行t小时后，甲船位于C点，乙船位于D点，如图．则BC＝10－4t，BD＝6t，∠CBD＝120°
，此时两船间的距离最近，根据余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·
BDcos∠CBD＝（10－4t）2＋36t2＋6t（10－4t）＝28t2－20t＋100，所以当t＝时，CD2取得最小值，即两船间的距离最近，所以它们的航行时间是min，故选A.
6．某人从A处出发，沿北偏东60°
行走3km到B处，再沿正东方向行走2km到C处，则A，C两地的距离为________km.
如图所示，由题意可知AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°
由余弦定理，得
AC2＝27＋4－2×
3×
2×
cos150°
＝49，AC＝7.
则A，C两地的距离为7km.
7
7．坡度为45°
的斜坡长为100m，现在要把坡度改为30°
，则坡底要伸长________m.
如图，BD＝100，∠BDA＝45°
，∠BCA＝30°
设CD＝x，所以（x＋DA）·
tan30°
＝DA·
tan45°
又DA＝BD·
cos45°
＝100×
＝50，
所以x＝－DA＝－50
＝50（－）m.
50（－）
8．一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫，然后向右转105°
，爬行10cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°
爬行回它的出发点，那么x＝________cm.
如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在△AOB中，AB＝10cm，∠OAB＝75°
，∠ABO＝45°
则∠AOB＝60°
，由正弦定理知：
x＝＝＝（cm）．
9.如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°
方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°
方向的B2处，此时两船相距10海里，求乙船航行的速度．
如图，连接A1B2，在△A1A2B2中，易知∠A1A2B2＝60°
，又易求得A1A2＝30×
＝10＝A2B2，
∴△A1A2B2为正三角形，
∴A1B2＝10.
在△A1B1B2中，易知∠B1A1B2＝45°
∴（B1B2）2＝400＋200－2×
20×
10×
＝200，
∴B1B2＝10，
∴乙船每小时航行30海里．
10．如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°
，∠ADC＝150°
，BD＝1千米，AC＝3千米．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1.2千米，请问：
两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰（即从B点出发到达C点）．
由∠ADC＝150°
知∠ADB＝30°
，由正弦定理得＝，所以AD＝.在△ADC中，由余弦定理得：
AC2＝AD2＋DC2－2AD·
DC·
，即32＝（）2＋DC2－2·
·
DCcos150°
，即DC2＋3·
DC－6＝0，解得DC＝≈1.372（千米），∴BC≈2.372（千米），由于2.372<
2.4，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰.
层级二 应试能力达标
如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°
，30°
，此时气球的高度AD是60m，则河流的宽度BC是（ ）
A．240（－1）m B．180（－1）m
C．120（－1）mD．30（＋1）m
选C 由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°
，AD＝60m，∴AC＝120m．在△ABC中，∠BAC＝75°
，∠ABC＝180°
＝105°
，由正弦定理，得BC＝＝＝120（－1）（m）．
2.
如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10m，吊杆AC＝15m，吊索AB＝5m，起吊的货物与岸的距离AD为（ ）
A．30mB.m
C．15mD．45m
选B 在△ABC中，AC＝15m，AB＝5m，BC＝10m，
由余弦定理得cos∠ACB＝
＝＝－，∴sin∠ACB＝.
又∠ACB＋∠ACD＝180°
∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝.
在Rt△ADC中，AD＝AC·
sin∠ACD＝15×
＝m.
如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°
，在水平面上测得∠BCD＝120°
，C，D两地相距500m，则电视塔AB的高度是（ ）
A．100mB．400m
C．200mD．500m
选D 设AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°
∴BC＝AB＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°
，∴BD＝x.在△BCD中，∠BCD＝120°
，CD＝500m，由余弦定理得（x）2＝x2＋5002－2×
500xcos120°
，解得x＝500m.
如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°
，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ（0°
<
θ<
45°
）的C处，且cosθ＝.已知A，C两处的距离为10海里，则该货船的船速为（ ）
A．4海里/小时B．3海里/小时
C．2海里/小时D．4海里/小时
选A 因为cosθ＝，0°
，所以sinθ＝，cos（45°
－θ）＝×
＋×
＝，在△ABC中，BC2＝（20）2＋102－2×
＝340，所以BC＝2，该货船的船速为＝4海里/小时．
5.
如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°
，则tanθ的最大值是________．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）
解析：
如图，过点P作PO⊥BC于点O，连接AO，则∠PAO＝θ.
设CO＝x，则OP＝x.
在Rt△ABC中，AB＝15，AC＝25，所以BC＝20.
所以cos∠BCA＝.
所以AO＝＝.
故tanθ＝＝
＝.当＝，即x＝时，tanθ取得最大值为＝.
6．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°
方向的B处，两船相距anmile，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应沿________方向行驶才能追上乙船；
追上时甲船行驶了________nmile.
如图所示，设在C处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t，乙船的速度为v，则BC＝tv，AC＝tv，又B＝120°
，则由正弦定理＝，得＝，∴sin∠CAB＝，
∴∠CAB＝30°
，∴甲船应沿北偏东30°
方向行驶．又∠ACB＝180°
－120°
，∴BC＝AB＝anmile，∴AC＝
＝＝a（nmile）
北偏东30°
a
7.
如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°
，往正前方走4m后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°
（1）求BC的长；
（2）若小明身高为1.70m，求这棵桃树顶端点C离地面的高度（精确到0.01m，其中≈1.732）．
（1）在△ABC中，∠CAB＝45°
，∠DBC＝75°
则∠ACB＝75°
，AB＝4，
由正弦定理得＝，
解得BC＝4（m）．即BC的长为4m.
（2）在△CBD中，∠CDB＝90°
，BC＝4，
所以DC＝4sin75°
因为sin75°
＝sin（45°
＝sin45°
cos30°
＋cos45°
则DC＝2＋2.
所以CE＝ED＋DC＝1.70＋2＋2≈3.70＋3.464
≈7.16（m）．
即这棵桃树顶端点C离地面的高度为7.16m.
8.
如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．
（1）设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；
（2）求P到海防警戒线AC的距离．
（1）依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×
8＝x－12.
在△PAB中，AB＝20，cos∠PAB＝＝＝，
同理在△PAC中，AC＝50，
cos∠PAC＝＝＝.
∵cos∠PAB＝cos∠PAC，∴＝，
解得x＝31.
（2）作PD⊥AC于D，在△ADP中，由cos∠PAD＝，
得sin∠PAD＝＝，
∴PD＝PAsin∠PAD＝31×
＝4千米．
故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米．
第二课时 三角形中的几何计算
预习课本P16～18，思考并完成以下问题
（1）已知三角形的两边及内角怎样求其面积？
（2）已知三角形的面积如何求其他量？
三角形的面积公式
（1）S＝a·
ha（ha表示a边上的高）．
（2）S＝absinC＝bcsinA＝acsinB.
[点睛] 三角形的面积公式S＝absinC与原来的面积公式S＝a·
h（h为a边上的高）的关系为：
h＝bsinC，实质上bsinC就是△ABC中a边上的高．
（1）公式S＝absinC适合求任意三角形的面积（ ）
（2）三角形中已知三边无法求其面积（ ）
（3）在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积（ ）
（1）正确，S＝absinC适合求任意三角形的面积．
（2）错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正弦值，进而求面积．
（3）正确．已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边和一边的对角，可求得其他边和角，再求面积．
（1）√
（2）×
（3）√
2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°
，则S△ABC＝（ ）
A. B.
C.D．3
选B S△ABC＝absinC＝×
3．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则A的大小为（ ）
A．60°
或120°
B．60°
C．120°
D．30°
或150°
选A 由S△ABC＝bcsinA得
＝×
sinA，
所以sinA＝，
故A＝60°
，故选A.
4．若△ABC的三边a，b，c及面积S满足S＝a2－（b－c）2，则sinA＝________.
由余弦定理得S＝a2－（b－c）2＝2bc－2bccosA＝bcsinA，所以sinA＋4cosA＝4，由sin2A＋cos2A＝1，解得sin2A＋2＝1，sinA＝.
三角形面积的计算
[典例] 已知△ABC中，B＝30°
，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积．
[解] 由正弦定理，得sinC＝＝＝.
∵AB>
AC，
∴C＝60°
或C＝120°
当C＝60°
时，A＝90°
，S△ABC＝AB·
AC＝2；
当C＝120°
时，A＝30
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