学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义第一章 12 应用举例 Word版含答案Word格式.docx

1、.点A在点B的北偏西15.故选B.3从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为（）A BC90 D180选B根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图知，故应选B.4.已知船A在灯塔C北偏东85且到C的距离为1 km，船B在灯塔C西偏北25且到C的距离为 km，则A，B两船的距离为_km.由题意得ACB（9025）85150又AC1，BC，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 1507，AB.测量高度问题典例如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得BCD，BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.解在BCD中，CBD（）

2、由正弦定理得.BC.在RtABC中，ABBCtanACB.测量高度问题的解题策略（1）“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题（2）“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路活学活用1一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45，沿A向北偏东30方向前进100 m到达B处，在B处测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是（）A50 m B100 mC120 m D150 m选A如图，设水柱高度是h m，水柱底端为C，

3、则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，（h）2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，解得h50或h100（舍去），故水柱的高度是50 m.2.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角CAB45，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角DSB75，则山高BC为_m.因为SAB45SBAABCSBC45（9075）30所以ASB180SABSBA135在ABS中，AB1 000，所以BCABsin 451 0001 000（m）1 000测量角度问题典例如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5（3） n mile的两个观测

4、点现位于A点北偏东45方向、B点北偏西60方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？解由题意，知AB5（3） n mile，DBA906030，DAB9045ADB180（4530）105在DAB中，由正弦定理得，即BD10 n mile.又DBCDBAABC60，BC20 n mile，在DBC中，由余弦定理，得CD 30 n mile，则救援船到达D点需要的时间为1 h.测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角

5、等解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解活学活用在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A处（1）n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile的速度追截走私船此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解：设缉私船用t h在D处追上走私船，画出示意图，则有CD10t，BD10t，在ABC中，

6、AB1，AC2，BAC120由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC（1）2222（1）2cos 1206，BC，且sinABCsinBAC，ABC45，BC与正北方向成90角CBD90120，在BCD中，由正弦定理，得sinBCD，BCD30.即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船.测量距离问题题点一：两点间不可通又不可视1.如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离即AB.若测得CA400 m，CB600 m，ACB60，试计算AB的长在ABC中，由余弦定理得BCcosA

7、CB，AB2400260022400600cos 60280 000.AB200 （m）即A，B两点间的距离为200 m.题点二：两点间可视但有一点不可到达2.如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出ACB，CAB，在ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC60 m，BAC75，BCA45，则A，B两点间的距离为_ m.ABC18060所以由正弦定理得，AB20（m）即A，B两点间的距离为20 m.20题点三：两点都不可到达3.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两

8、点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CDa，同时在C，D两点分别测得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求A，B两点间的距离ADCADBCDB60DAC60ACDC.在BCD中，DBC45，由正弦定理，得BCsinBDCsin 30.在ABC中，由余弦定理，得BCcos 452AB（km）A，B两点间的距离为 km.当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：（1）两点间不可通又不可视（如图）：可

9、取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出ACb，BCa以及ACB，利用余弦定理得：AB.（2）两点间可视但不可到达（如图）：可选取与B同侧的点C，测出BCa以及ABC和ACB，先使用内角和定理求出BAC，再利用正弦定理求出AB.（3）两点都不可到达（如图）：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CDm，ACB，BCD，ADC，ADB，再在BCD中求出BC，在ADC中求出AC，最后在ABC中，由余弦定理求出AB.层级一学业水平达标学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A30，则其跨度AB的长为（）A12 m B8 mC3 m D4

10、m选D由题意知，AB30所以C180由正弦定理得，即AB4.2一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为（）A. n mile/h B34 n mile/hC. n mile/h D34 n mile/h选A如图所示，在PMN中，MN34，v n mile/h.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DCa，从C，D两点测得A点仰角分别是，（），则A点离地面的高度AB等于（）A.B.C.D.选A设ABx，则在RtABC中，CB，所以BDa，又因为在RtABD中，BD，所以BDa，从中求得x，

11、故选A.4设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两幢楼的高分别是（）A20 m， m B10 m,20 mC10（）m,20 m D. m， m选A由题意，知h甲20tan 6020（m），h乙20tan 6020tan 30（m）5甲船在岛B的正南A处，AB10 km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同时乙船自岛B出发以6 km/h的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是（）A. min B. hC21.5 min D2.15 h选A由题意可作出如图所示的示意图，设两船航行t小时后，甲船位于C点，乙船

12、位于D点，如图则BC104t，BD6t，CBD120，此时两船间的距离最近，根据余弦定理得CD2BC2BD22BCBDcos CBD（104t）236t26t（104t）28t220t100，所以当t时，CD2取得最小值，即两船间的距离最近，所以它们的航行时间是 min，故选A.6某人从A处出发，沿北偏东60行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地的距离为_km.如图所示，由题意可知AB3，BC2，ABC150由余弦定理，得AC2274232cos 15049，AC7.则A，C两地的距离为7 km.77坡度为45的斜坡长为100 m，现在要把坡度改为30，则坡底要伸长_

13、m.如图，BD100，BDA45，BCA30设CDx，所以（xDA）tan 30DAtan 45又DABDcos 4510050，所以xDA5050（）m.50（）8一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135爬行回它的出发点，那么x_cm.如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在AOB中，AB10 cm，OAB75，ABO45则AOB60，由正弦定理知：x（cm）9.如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此

14、时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10海里，求乙船航行的速度如图，连接A1B2，在A1A2B2中，易知A1A2B260，又易求得A1A23010A2B2，A1A2B2为正三角形，A1B210.在A1B1B2中，易知B1A1B245（B1B2）240020022010200，B1B210，乙船每小时航行30海里10如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登已知ABC120，ADC150，BD1 千米，AC3 千米假设小王和小李徒步

15、攀登的速度为每小时1.2 千米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰（即从B点出发到达C点）由ADC150知ADB30，由正弦定理得，所以AD. 在ADC中，由余弦定理得：AC2AD2DC22ADDC，即32（）2DC22DCcos 150，即DC23DC60，解得DC1.372 （千米），BC2.372 （千米），由于2.3722.4，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰. 层级二应试能力达标如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高度AD是60 m，则河流的宽度BC是（）A240（1）m B180（1）mC120（1）m D30

16、（1）m选C由题意知，在RtADC中，C30，AD60 m，AC120 m在ABC中，BAC75，ABC180105，由正弦定理，得BC120（1）（m）2.如图所示为起重机装置示意图支杆BC10 m，吊杆AC15 m，吊索AB5 m，起吊的货物与岸的距离AD为（）A30 m B. mC15 m D45 m选B在ABC中，AC15 m，AB5 m，BC10 m，由余弦定理得cosACB，sinACB.又ACBACD180sinACDsinACB.在RtADC中，ADACsinACD15 m.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45，在水平面上测得BCD120，C，D两地相距500 m，则电视塔AB的高度是（）A100 m B400 mC200 m D500 m选D设ABx，在RtABC中，ACB45BCABx.在RtABD中，ADB30，BDx.在BCD中，BCD120，CD500 m，由余弦定理得（x）2x250022500xcos 120，解得x500 m.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北（0AC，C60或C120当C60时，A90，SABCABAC2；当C120时，A30