相关性的判定定理Word格式.docx

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不妨设

α1=

k2α2

k1

++

kmαm

⇒-α1

+k2α2

kmαm=O

即向量组α1，α2，，αm（m≥

2）线性相关。

定理2：

设向量组α1，α2，，αm

线性无关，而向量组β，

α1，α2，，αm

线性相关，则β

可由α1，α2，，αm

线性表示且表示式惟一。

向量组β,α1，α2，，αm线性相关，则一定存在一组不全为零的数k,k1，k2，，km,使

kβ+k1α1+k2α2++kmαm=0

这里必有k≠0，否则，有

k1α1

kmαm=0

由向量组α1，α2，，αm线性无关知：

k1=k2==km=0

故β可由α1，α2，，αm线性表示。

下面证明表示式惟一。

设β=k1α1

++kmαm}⇒

β=l1α1

+l2α2

++lmαm

（k1

-l1）α1

+（k2

-l2）α2

（km

-

lm）αm

=O.

ki=

li,i

=1,2,,m.

所以表示式惟一。

2.相关性的判定定理

定理3：

在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关，则整个向量组也必定线性相关。

反之不对。

你能举个

反例吗？

（1,2,-1）,α2

=（2,-3,1）,α3

=（4,1,-1）.

推论：

一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都线性无关。

2.

定理4：

m个n维向量αi

=（ai1,ai2,,ain）（i

=1,2,m）线性

相关的充要条件是由αi（i=1,2,m）构成的矩阵

⎛α1⎫

⎛a11

a12

a1n⎫

ç

A=ç

⎪

2⎪=

a21

a22

a2n⎪

⎪ç

⎪

⎪

⎝αm⎭

⎝am1

am2

amn⎭

的秩r（A）<

m.

例3：

讨论α1

解：

=（1,2,-1）,α2

=（4,1,-1）的相关性。

⎛α⎫⎛12

⎪ç

-1⎫

α2⎪=ç

2-31⎪

α3⎪ç

⎛12

1

-1⎪

⎛12

-1⎫

→ç

0-7

3⎪→ç

0

-73⎪,

0-73⎪ç

000⎪

⎝⎭⎝⎭

∴r（A）=2<

3,

⇒α1,α2,α3线性相关。

我们已经用三种方法作过这个题目了，

1.求组合式；

2.定义证明，组合系数不全为零。

3.将向量组排成矩阵，由矩阵的秩确定。

你认为哪一种方法简单？

λ为何值时，向量组α1

=（1，1，1，1，2），α2

=（2，1，3，2，3）

α3=（2，3，2，2，5），α4

=（1，3，-1，1，λ）线性相关？

⎛α⎫

2⎪

α3⎪

⎛111

2

=ç

2

12⎫

⎛11112⎫

⎝4⎭

⎛11

⎝13-11λ⎭

112⎫

⎝02-2

⎛1111

0λ-2⎭

2⎫

0-110

0100

-1⎪ç

1⎪→ç

-110

010

-1⎪

0⎪

⎝02

-20

λ-2⎭

⎝00

00λ

-4⎭

⇒λ=

4时，r（A）

=3<

4,α1,α2,α3,α4线性相关。

推论1：

当m>

n时，m个n维向量线性相关。

推论2：

任意m个n维向量线性无关的充要条件是由它们构成的矩阵A=Am⨯n的秩r（A）=m。

推论3：

任意n个n维向量线性无关的充要条件是由它们构成的方阵A的行列式不等于零。

或r（A）=n.

推论4：

任意n个n维向量线性相关的充要条件是由它们构成的方阵A的行列式等于零。

或r（A）<

n.

定理5：

若m个r维向量

αi=（ai1,ai2,,air）

（i=1,2,,m）

线性无关，则对应的m个r+1维向量

βi=（ai1,ai2,,air,ai,r+1）（i=1,2,,m）

也线性无关。

用语言叙述为：

线性无关的向量组，添加分量后仍旧线性无关。

r维线性无关的向量，添加n-r个相应分量组成的

n维向量组仍旧线性无关。

叙述相关性判定的5个定理。

证明定理4与定理5。