1、不妨设1 =k22k1+ +kmm -1+ k22kmm = O即向量组1,2, ,m (m 2)线性相关。定理2:设向量组1,2, ,m线性无关,而向量组 ,1,2, ,m线性相关,则可由1,2, ,m线性表示且表示式惟一。 向量组 ,1,2, ,m线性相关,则一定存在一组不全为零的数k, k1,k2, ,km ,使k + k11 + k22 + + kmm =0这里必有k 0,否则,有k11kmm = 0由向量组1,2, ,m线性无关知:k1 = k2 = = km = 0故 可由1,2, ,m线性表示。下面证明表示式惟一。设 = k11+ + kmm = l11+ l22+ + lmm(
2、k1- l1)1+ (k2- l2 )2(km- lm )m= O.ki =li ,i= 1,2, , m.所以表示式惟一。2. 相关性的判定定理定理3:在一个向量组中,若有一个部分向量组线性相关, 则整个向量组也必定线性相关。反之不对。你能举个反例吗?(1, 2, -1),2= (2, -3,1),3= (4,1, -1).推论:一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都 线性无关。2. 定理4:m个n维向量i= (ai1, ai2 , , ain ) (i= 1,2, m)线性相关的充要条件是由i (i = 1,2, m)构成的矩阵 1 a11a12 a1n A = 2 = a21a22
3、 a2n m am1am2 amn 的秩r( A) m.例3:讨论1解:= (1, 2, -1),2= (4,1, -1)的相关性。 1 2 - 12 = 2 - 3 1 3 1 21- 1 1 2-1 0 - 73 0-7 3 ,0 - 7 3 0 0 0 r(A) = 2 3, 1,2 ,3线性相关。我们已经用三种方法作过这个题目了,1. 求组合式;2. 定义证明,组合系数不全为零。3. 将向量组排成矩阵,由矩阵的秩确定。你认为哪一种方法简单?为何值时,向量组1=(1,1,1,1,2),2=(2,1,3,2,3)3 =(2,3,2,2,5),4=(1,3,-1,1,)线性相关? 2 3 1
4、 1 12= 21 2 1 1 1 1 2 4 1 1 1 3 - 1 1 1 1 2 0 2 - 21 1 1 10 - 22 0 - 1 1 0 0 1 0 0- 1 1 - 1 1 00 1 0- 1 0 0 2- 2 0 - 2 0 00 0 - 4 =4时,r( A)= 3 n时,m个n维向量线性相关。推论2:任意 m 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们构成的矩阵A= Amn的秩r(A)=m。推论3:任意 n 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们构成的方阵 A的行列式不等于零。或r(A)=n.推论4:任意 n 个 n 维向量线性相关的充要条件是由它们构 成的方阵 A的行列式等于零。或r(A)n.定理5:若 m 个 r 维向量i = (ai1, ai2 , , air )(i = 1,2, , m)线性无关,则对应的 m 个r+1 维向量i = (ai1, ai2 , , air, ai,r +1) (i = 1,2, , m)也线性无关。用语言叙述为:线性无关的向量组,添加分量后仍旧线性无关。r 维线性无关的向量,添加 n-r 个相应分量组成的n维向量组仍旧线性无关。叙述相关性判定的5个定理。证明定理4与定理5。