沪科版七年级数学上册教案31一元一次方程及其解法Word文件下载.docx

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36＋x＝2（12＋x）．

此处可引导学生将父女两人x年后的年龄表示出来，以加强互动．

探究点一：

一元一次方程的有关概念

观察以上两个方程，找出其特点：

（1）有几个未知数？

（2）未知数的次数是几？

教师在学生回答的基础上，归纳一元一次方程的概念：

只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．

回顾一元一次方程的解：

使得一元一次方程两边都相等的未知数的值叫做方程的解；

一元方程的解，也可叫做方程的根．

探究点二：

等式的基本性质

为了能对方程进行求解，我们必须有依据，什么是依据呢？

这就是等式的性质．（方程是一个等式）

等式的性质：

（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．即

如果a＝b，那么a＋c＝b＋c，a－c＝b－c.

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式．即

如果a＝b，那么ac＝bc，

＝

（c≠0）．

（3）（对称性）如果a＝b，那么b＝a.

（4）（传递性）如果a＝b，b＝c，那么a＝c.

三、应用迁移，运用新知

1．一元一次方程的辨别

例1　下列方程中是一元一次方程的是（　　）

A．x＋3＝y＋2

B．1－3（1－2x）＝－2（5－3x）

C．x－1＝

D.

－2＝2y－7

A.含有两个未知数，不是一元一次方程，错误；

B.化简后含有未知数的项可以消去，不是方程，错误；

C.分母中含有字母，不是一元一次方程，错误；

D.符合一元一次方程的定义，正确．

方法总结：

判断一元一次方程需满足三个条件：

（1）只含有一个未知数；

（2）未知数的次数是1；

（3）是整式方程．

2．利用一元一次方程的概念求字母次数的值

例2　方程（m＋1）x|m|＋1＝0是关于x的一元一次方程，则（　　）

A．m＝±

1　　　　　B．m＝1

C．m＝－1D．m≠－1

由一元一次方程的概念，一元一次方程必须满足未知数的次数为1且系数不等于0，所以

解得m＝1.

若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1且系数不为0，则这个方程是一元一次方程．

3．一元一次方程的解

例3　检验下列各数是不是方程5x－2＝7＋2x的解，并写出检验过程．

（1）x＝2;

（2）x＝3.

将未知数的值代入方程，看左边是否等于右边，即可判断是不是方程5x－2＝7＋2x的解．

（1）将x＝2代入方程，左边＝8，右边＝11，左边≠右边，故x＝2不是方程5x－2＝7＋2x的解；

（2）将x＝3代入方程，左边＝13，右边＝13，左边＝右边，故x＝3是方程5x－2＝7＋2x的解．

检验一个数是否是方程的解，就是要看它能不能使方程的左、右两边相等．

4．等式的基本性质

例4　已知mx＝my，下列结论错误的是（　　）

A．x＝yB．a＋mx＝a＋my

C．mx－y＝my－yD．amx＝amy

A.等式的两边都除以m，依据是等式的基本性质2，而A选项没有说明m≠0，故A错误；

B.符合等式的基本性质1，正确；

C.符合等式的基本性质1，正确；

D.符合等式的基本性质2，正确．

在等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立，这里的数或字母没有条件限制，但是在等式的两边同时除以同一个数或字母时，这里的数或字母必须不为0.

5．利用等式的基本性质解方程

例5　见课本P86例1.

解方程时，一般先将方程变形为ax＝b的形式，然后再变形为x＝c的形式．

四、尝试练习，掌握新知

课本P87练习第1、2题．

五、课堂小结，梳理新知

引导学生回答如下问题：

本节课学习了哪些基本内容？

学习了什么数学思想方法？

应注意什么问题？

本节课我们学习了一元一次方程的概念，知道了什么是一元一次方程，它需要两个基本条件：

一是只含一个未知数，二是未知数的次数只能是一次．同时我们学习了解方程的依据，即等式性质，这个性质中，我们要特别注意第二条，同除的数不可以是0，三是我们学会了利用等式性质对方程进行求解．

六、深化练习，巩固新知

课本P90习题3.1第1、2题．

第2课时　移项解一元一次方程

1．理解移项的意义，掌握移项变号的基本原则．

2．会利用移项解一元一次方程．

理解移项的意义，掌握移项变号的基本原则，会利用移项解一元一次方程．

一、复习旧知，导入新知

上节课学习了一元一次方程，它们都有这样的特点：

一边是含有未知数的项，一边是常数项．这样的方程我们可以用合并同类项的方法解答．

问题引入：

（1）解方程：

2x－

x＝6－8.

（2）观察下列一元一次方程，与上题的类型有什么区别？

2x＋7＝32－2x

怎样才能使它向x＝a（a为常数）的形式转化呢？

探究点：

移项解一元一次方程

观察P86例1解答过程中的第1步：

2x－1＝19　　①

2x＝19＋1　　②

由方程①到方程②，这个变形相当于把①中的“－1”这一项从方程的左边移到了方程的右边．

“－1”这项移动后，发生了什么变化？

（改变了符号）

总结：

根据等式性质1的变形，其实就是把方程的一项改变符号，从一边移到另一边，这种变形我们把它叫做移项．

一般地，把所有含有未知数的项移到方程的左边，把所有常数项移到方程的右边，使得一元一次方程更接近“x＝a”的形式．

移项，一般都习惯把含未知数的项移到等式左边．

1．移项

例1　通过移项将下列方程变形，正确的是（　　）

A．由5x－7＝2，得5x＝2－7

B．由6x－3＝x＋4，得3－6x＝4＋x

C．由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8

D．由x＋9＝3x－1，得3x－x＝－1＋9

A.由5x－7＝2，得5x＝2＋7，故错误；

B.由6x－3＝x＋4，得6x－x＝3＋4，故错误；

C.正确；

D.由x＋9＝3x－1，得3x－x＝9＋1，故错误．

（1）所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是在这个方程的一边变换两项的位置；

（2）移项时要变号，不变号不能移项．

2．用移项解一元一次方程

例2　见课本P87例2.

例3　解下列方程：

（1）－x－4＝3x；

（2）5x－1＝9；

（3）－4x－8＝4；

　（4）0.5x－0.7＝6.5－1.3x.

通过移项、合并、系数化为1的方法解答即可．

（1）移项得－x－3x＝4，合并同类项得－4x＝4，系数化成1得x＝－1；

（2）移项得5x＝9＋1，合并同类项得5x＝10，系数化成1得x＝2；

（3）移项得－4x＝4＋8，合并同类项得－4x＝12，系数化成1得x＝－3；

（4）移项得1.3x＋0.5x＝0.7＋6.5，合并同类项得1.8x＝7.2，系数化成1得x＝4.

将所有含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，然后合并同类项，最后将未知数的系数化为1.特别注意移项要变号．

课本P88练习第1、2题．

通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？

本节课学习掌握了移项变号的基本原则，会利用移项解一元一次方程．

课本P91习题3.1第3、4

（1）

（2）、8题．

第3课时　去括号解一元一次方程

1．会用分配律去括号解含括号的一元一次方程．

2．经历探索用去括号的方法解方程的过程，进一步熟悉方程的变形，弄清楚每步变形的依据．

运用去括号法则解带有括号的方程．

解一元一次方程的步骤，去括号注意事项．

一艘船从甲码头到乙码头顺水行驶用了2小时，从乙码头返回甲码头逆水行驶用了2.5小时，水流速度是3千米/时，求船在静水中的速度．

（1）题目中的等量关系是__________．

（2）根据题意可列方程为__________．

你能解这个方程吗？

去括号解一元一次方程

小明家来客人了，爸爸给了小明10元钱，让他买1听果奶饮料和4听可乐．从商店回来后，小明交给爸爸3元钱．如果我们知道1听可乐比1听果奶饮料多0.5元，能不能求出1听果奶饮料是多少钱呢？

设置问题串：

（1）小明买东西共用去多少元？

（2）如何用未知数x表示1听果奶饮料或者1听可乐的价钱？

（3）这个问题中有怎样的等量关系？

小组充分讨论交流后回答：

（1）买东西用去10－3＝7（元）．

（2）若设1听果奶饮料为x元时，则1听可乐为（x＋0.5）元；

若设1听可乐为x元时，则1听果奶饮料为（x－0.5）元．

（3）如：

买可乐的钱＋买果奶饮料的钱＝用去的钱．（学生的思路很广泛，也可列成其他形式，只要合理即可）

教师在学生回答的基础上，确定出一个方程：

设1听果奶饮料x元，则方程为4（x＋0.5）＋x＝10－3.

问题串：

（1）这个方程与上节课解过的方程在形式上有什么不同？

它们有什么联系？

（2）它的主要特点是什么？

怎样解这个方程？

学生可以讨论出以下结论：

方程中含有括号，如果去掉括号，就可以利用移项法则进行解方程了，关键步骤就是去括号．

回顾去括号法则：

⑴括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变符号．⑵括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号．

学生自主学习课本P88例3，让学生体验去括号解方程的过程与方法，深化对解方程过程的认识．

（1）方程中有带括号的式子时，根据乘法分配律和去括号法则化简．

（2）去括号时不要漏乘括号内的任何一项．

（3）若括号前面是“－”号，记住去括号后括号内各项都变号．

（4）－x＝10不是方程的解，必须把x的系数化为1，才算完成解方程的过程．

1．用去括号的方法解方程

例1　解下列方程：

（1）4x－3（5－x）＝6；

（2）5（x＋8）－5＝6（2x－7）．

先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可求得答案．

（1）4x－3（5－x）＝6，去括号得4x－15＋3x＝6，移项合并同类项得7x＝21，系数化为1得x＝3；

（2）去括号得5x＋40－5＝12x－42，移项、合并同类项得－7x＝－77，系数化为1得x＝11.

解一元一次方程的步骤是去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

2．根据已知方程的解求字母系数的值

例2　已知关于x的方程3（a－

）＝

＋3的解为2，求代数式（－a）2－2a＋1的值．

此题可将x＝2代入方程，得出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值，再把a的值代入所求代数式计算即可．

因为x＝2是方程3（a－

＋3的解，

所以3（a－

）＝1＋3，解得a＝2，

所以原式＝a2－2a＋1＝22－2×

2＋1＝1.

此题考查方程解的意义及代数式的求值．将未知数x的值代入方程，求出a的值，然后将a的值代入整式即可解决此类问题．

3．应用方程思想求值

例3　当x为何值时，代数式2（x2－1）－x2的值比代数式x2＋3x－2的值大6?

先列出方程，然后根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．

依题意得2（x2－1）－x2－（x2＋3x－2）＝6，

去括号得2x2－2－x2－x2－3x＋2＝6，

移项、合并同类项得－3x＝6，

系数化为1得x＝－2.

先按要求列出方程，然后去括号，移项（把含未知数的项移到方程左边，不含未知数的项移到方程右边），合并同类项，最后把未知数的系数化为1得到原方程的解．

课本P89练习第1、2题．

本节课学习了解了去括号解一元一次方程的步骤：

（1）去括号；

（2）移项；

（3）合并同类项；

（4）系数化为1.

课本P91习题3.1第4（3）（4）、6、9、10题．

第4课时　去分母解一元一次方程

1．掌握含有以常数为分母的一元一次方程的解法．

2．加深学生对一元一次方程概念的理解，并总结出解一元一次方程的一般步骤．

用去分母的方法解方程．

去分母时，不漏乘不含分母的项（即整数项）；

正确理解分数线的作用，去分母后注意给分子添加括号．

1．等式的基本性质2是怎样叙述的呢？

2．求下列几组数的最小公倍数：

（1）2，3；

（2）2，4，5.

3．通过上几节课的探讨，总结一下解一元一次方程的一般步骤是什么？

4．如果未知数的系数是分数时，怎样来解这种类型的方程呢？

那么这一节课我们来共同解决这样的问题．

去分母解一元一次方程

1．探索去分母解方程的方法

刺绣一件作品，甲单独绣需要15天完成，乙单独绣需要12天完成，现在甲先单独绣1天，接着乙又单独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣，问再合绣多少天可以完成这件作品？

学生活动：

观察问题情境，弄清题意，分析问题中的等量关系．

教师活动：

（1）指定一名学生说出问题中的等量关系；

（2）引导学生分析，建立方程模型．

师生共同分析：

（1）题中的等量关系是：

甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝工作总量．

（2）设工作总量为1，剩下的工作两人合做需x天完成，则

（x＋1）＋

（x＋4）＝1.

提出问题：

如何解方程

（x＋4）＝1?

（1）鼓励学生尝试解这个方程，指定两名学生到黑板演示．

（2）巡视学生，对不同的解法，只要合理，都给予肯定．

（3）给出两种不同的解法．

解法一：

去括号，得

x＋

＋

＝1.

移项，得：

x＋

x＝1－

－

.

化简，得：

x＝

两边同除以

，得x＝4.

教师：

该方程与前面解过的方程有什么不同？

学生：

以前学过的方程的系数都为整数，而这一题出现了分数．

能否把分数系数化为整数？

我们可以根据等式性质2，在方程两边同时乘上一个既是15又是12的倍数60，就可以去掉分母，把分数化为整数．这样使解方程避免计算“分数”的复杂性，使解方程过程简单．

解法二：

去分母，得4（x＋1）＋5（x＋4）＝60.

去括号，得4x＋4＋5x＋20＝60.

移项，得标准形式：

9x＝36.

方程两边同除以9，得x＝4.

去分母，方程两边同乘以一个什么数合适呢？

学生分组讨论，合作交流得出结论：

方程两边都乘以所有分母的最小公倍数，从而去掉分母．于是，解方程的基本程序又多了一步“去分母”．

（4）引导学生比较两种解法，得出解法二更简便．

2．探索解一元一次方程的具体步骤

学生自主学习课本P89例4，让学生体验去括号解方程的过程与方法，深化对解方程过程的认识．

你能总结一下解一元一次方程都有哪些步骤吗？

（学生回顾总结，小组可以讨论交流．）

归纳：

（1）去分母——方程两边同乘以各分母的最小公倍数．注意不可漏乘某一项，特别是不含分母的项，分子是代数式要加括号．

（2）去括号——应用分配律、去括号法则，注意不漏乘括号内各项，括号前“－”号，括号内各项要变号．

（3）移项——一般把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，注意移项要变号．

（4）化简——一类代数式的加减，要注意只是系数相加减，字母及其指数不变．

（5）标准形式的化简——同除以未知数前面的系数，即ax＝b⇒x＝

利用去分母解一元一次方程

例1　解方程：

（1）x－

－3；

（2）

（1）首先方程两边同时乘以分母的最小公倍数15去分母，方程变为15x－3（x－2）＝5（2x－5）－45，再去括号，移项、合并同类项、化系数为1解方程；

（2）先方程两边同时乘以分母的最小公倍数6去分母，方程变为3（x－3）－2（x＋1）＝6，再去括号，移项、合并同类项、化系数为1解方程．

（1）去分母得15x－3（x－2）＝5（2x－5）－45，

去括号得15x－3x＋6＝10x－25－45，

移项得15x－3x－10x＝－25－45－6，

合并同类项得2x＝－76，

把x的系数化为1得x＝－38；

（2）去分母得3（x－3）－2（x＋1）＝1，

去括号得3x－9－2x－2＝1，

移项得3x－2x＝1＋9＋2，

合并同类项得x＝12.

解方程应注意以下两点：

①去分母，方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．②去括号，移项时要注意符号的变化．

例2　

（1）当k取何值时，代数式

的值比

的值小1?

（2）当k取何值时，代数式

与

的值互为相反数？

根据题意列出方程，然后解方程即可．

（1）根据题意可得

＝1，

去分母得3（3k＋1）－2（k＋1）＝6，

去括号得9k＋3－2k－2＝6，

移项得9k－2k＝6＋2－3，

合并得7k＝5，

系数化为1得k＝

；

（2）根据题意可得

＝0，

去分母得2（k＋1）＋3（3k＋1）＝0，

去括号得2k＋2＋9k＋3＝0，

移项得2k＋9k＝－3－2，

合并得11k＝－5，

系数化为1得k＝－

先按要求列出方程，然后按照去分母解一元一次方程的步骤解题．

课本P90练习第1～3题．

本节课学习了解含有分母的一元一次方程的步骤：

（1）去分母；

（2）去括号；

（3）移项，合并同类项；

（4）系数化为1.注意去分母时，不要漏乘不含分母的项，分子是多项式时，去掉分母要加括号．

课本P91习题3.1第5、7题．