翟刚讲义一Word下载.docx

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5.寻求规律问题：

这个问题涉及的范围较宽泛，例如与数或代数式结合、与最值问题、不等方程（整数解）问题、与图形结合等；

6.图形的变换问题：

这是唯一一个可以独立形成综合题问题的知识点.

二、几何综合问题

对于几何问题而言，作为知识与考试的对象它可以分为三个部分，其一作为基本要求考察；

其二作为最大区分度的考察；

其三作为知识的连接或延展部分考察．

从对知识的认识的角度以及其功能的角度思考，我们调整以往复习的设计，把几何问题放在前面先研究．

　　　从新课标对知识的要求以及从知识体系而言，几何部分的变化都是较大的，实际上从根本上影响了我们对几何的教学以及学生的学习，因此，在考试中反映这方面的变化是大势所趋，是新课标的需要．

　　　我们备考中也要实现对这个问题的基本认识以及也需要我们有应对的基本策略与方法．

　　　多研究几个问题；

　　　凡研究较透的问题就认真落实；

　　　既要从浅入深，又要深入浅出．

研究几个问题

第一个问题：

两个图形的组合问题

　　同类图形：

　　　大小相同；

　　　大小不同．

　　不同类图形：

　　　两个特殊图形的组合问题．

　　同类图形中大小相同问题

　　例如，已知两个全等的含30°

角的直角三角形请把它们以一条边共线组合成可形成有确定结论的图形，选择其中的两种情况说明并证明其结论．

　　分析：

在命题中给出了图形满足全等的条件，即图形的大小与元素的数量是确定的．在题目中没有说明的是图形在组合中的相对位置关系，因此，实际上是需要研究的是位置问题而形成的图形关系问题．

这组图形我们不想研究，原因在于它们最终都转化为等腰三角形、等边三角形、或特殊四边形问题．

　　　它们也可以形成一些几何问题，但是相对讲问题较简单，例如，求直角顶点的距离问题．

都转化为特殊三角形的组合问题：

等腰直角三角形或等边三角形

我们研究其中的一个图形，把问题把握清楚．

已知两个全等的含30°

角的直角三角形放置如图，B、C、D三点在同一条直线上，点M是AE的中点，确定BM与DM的关系．

一般讲我们在寻求到解题方法后就结束了．还可以找到不同的解法，例如过点M做BD的垂线；

再例如，也可以过点M做BD的平行线等．

　　　实际上这个题就是我们在研究的图形的组合问题．我们换个角度研究这个问题，就可以发现，本题中实际是三个正方形的组合问题，因此，就这个问题我们较深入的研究发现其中的研究价值．

　　　我们知道两个正方形可以拼接在一起形成旋转形全等的问题，我们就从本题出发形成这样的问题．

其中正方形BDFN与正方形ACEG可以形成弦图（勾股定理），而主要研究的是另一组关系．

在这个图形中正方形ACEG与正方形MBND正好形成了两个正方形的顶点在对角线上的两种状态．在这个问题中可证BF=DH、CF=EH、AF=CH．

　　对于两个正方形而言可以形成的关系中还有一种可能,即一个正方形的顶点在另一个正方形的边上的情况．

当点P在AB上运动且PC过点C时，就形成了一类性的问题，可以有全等形或相似形的应用问题．

　　当点M在BC上运动时,且其中一边与一个外角的平分线相交时就形成了一种性的图形关系，可以形成全等形问题，并可形成求最值问题．

　　再研究一个问题，已知△ABC，D、E、F分别是各边上的n等分点，请用代数式表达△DEF的面积与原三角形面积的比值的规律，并证明其结论的正确性；

并且求出当n为10时的比值．

本题中对n是等分点的认识与理解是关键．由于存在等分点，因此，问题的解决就与它直接相关；

其次要考虑所求的三角形的构成条件是什么，它们能起什么作用？

　　从已知中的n等分可以知道：

这些等分点形成的线段与各边形成平行关系，从而把原三角形的面积等分为n×

n份，而所求的三角形是中间部分面积的一半，这样关系就可以确定了．但是，在证明与用代数式表示中还不是最简洁的形式，还需要寻求最佳的方法．

我们从一种比较好确定关系的图形出发研究．假设当是三等分点时，连结CD,则可有△ADF是△ADC面积的三分之二,而△ADC是△ABC的三分之一，因此，可以得到△ADF是△ABC的九分之二．

　　在研究了这个特殊情况之后，我们就可以得到基本的规律,即把可以确定的面积表示出来，确定与所求面积的关系即可．

再例如,在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°

，AB=BC=AP，若∠BAP=30°

求证：

BP=CP

对于这个题目而言，它有几个变式应用的形式，对于这个题目怎样求解有很多的方法，我们就其中一种同学容易忽视的方法进行分析与求解．

　　在题目的条件中等腰直角三角形和有直角与一个三十度的角，我们不难求解出∠ABP=75°

而这个度数告诉我们一种现象，即它与等边三角形中的角有关，因此，我们可以利用构造一个与等腰直角三角形不同类的三角形，形成新的关系．

解决一点问题

　　例如，已知正方形ABCD内一点，P到A、B、C三点的距离之和的最小值为　　　　，求此正方形的边长．

本题与我们常见的形式不同，一般讲都是在图形中存在一种图形关系求最值问题．

　　但是，不论从哪个角度认识这个问题都需要解决因三条线段位置上相关性不大移动图形的问题．

　　从条件出发已知中原图形是正方形，在移动中首先考虑借助组合关系解决图形移动的问题．但是，若用正方形移动，此时线段只是从形内到了形外，不能确定结论．因此，考虑用不同图形的组合移动图形．

当C、P、E、F四点共线时，取得最小值．

　　　例如，已知Rt△ABC中，∠BCA=90°

，AC=3，BC=5，以AB为边向外作正方形ABEF，求正方形中心O与点C的连线长．

从题目的条件出发，可以理解到它是正方形与直角三角形的组合问题．题目的条件中只给了直角三角形的两条直角边的长，没有给出角度，因此，不能利用直接求解的方法得到结论．因此，解决问题的基本思路就确定了，要研究两条直角边与所求线段之间的关系．

　　所以，我们可以利用前面讲的问题解决它，即还原两个全等三角形与正方形的关系，或直接还原两个正方形之间的关系．

再例如,已知：

如图，△ABD是等边三角形，△ABC中，BC=a，CA=b，问：

当∠ACB为何值时，C、D两点的距离最大？

最大值是多少？

从对所给的已知条件的解读中我们不难发现，本身有等边三角形并有一个一般三角形组合而成．需要解决的是对一般三角形而言，它的边或角要满足一定的条件才可能存在最大值问题，由于其中BC=a，CA=b，也就是说这时需要确定的是∠ACB的度数或大小．

　　又因为已知中给的边长，求的又是边长的最大值，因此，需要研究这三条线段之间的关系．

三条线段需要移动到一个三角形中，这时就可以发现解决问题的方法了，即此时，若M、A、C共线就有最大值．

　　　再例如，在平面内放置两个等边三角形△ABC与△DEF，并且边BC与EF的中点O重合．

试求：

（1）确定AD与CF的夹角；

（2）AD与FC的比值．

在本题中，两个等边三角形是确定的，同时在位置上具有相对的稳定性．

　　此时，从研究的对象看，求两条线段的夹角的大小可以不用移动图形就可以实现，即图形中可能存在着相似的图形，而利用相似的图形关系也是可以求角的，所以需要我们做一个判断，即需要不需要利用全等三角形的知识求解．

　　从图形中的条件我们可以确定的是存在两个三角形的相似关系．

　　再例如，在⊙O中，△ABC是内接三角形,且AB=AC,点P是⊙O中的一个动点．

　　求证：

AB+AC>

PB+PC．

我们在这里举个有关圆的例子，目的是多方面的，其中这个可以说明我们要说的问题是主要的，其次考虑到圆的知识应用中不能作为推理的依据，但是并不妨碍在这里出圆的知识只用一次的命题．

　　给本提还有一个目的，要体会圆的知识在解决这类问题中所起到的隐含直线形条件的作用．

　　在题目中给我们一个等腰三角形的条件有什么意义呢？

这个问题是解决问题的关键．时间上相当于告诉我们有一个弧的中点，而这个点提示我们在问题中必然存在角平分线，也就是存在图形移动的基本条件．

实际上它隐含了AP是∠BPD的平分线的条件，因此,我们可以利用这个条件把线段移动位置，达到求解的目的．

从解题方法的角度再举一例

已知：

在△ABC中，AB>

AC，BD、CE是AC、AB上的高．

求证：

BD>

CE．

　　我们讲这个题的目的是想从解题方法的掌握的角度谈．从本题出发直接可得的解法是利用三角形的面积；

其次用相似形的知识求解．

　　现在我们在此举例的目的是想从另一个角度看这个问题，即从比两条线段大小的角度看，本题不具备直接比的条件，原因在于两条线段在位置上的相关性不明显，所以需要移动其中一个图形的位置形成新的关系．

本题的解法就是去年最后一题的方法，在我们研究的问题中这种解法用的较少，即三角形自身以一边的中垂线为对称轴实现自身的反射．