湖南省娄底市中考真题数学.docx
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湖南省娄底市中考真题数学
2016年湖南省娄底市中考真题数学
一、选择题（本大题共10小题，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）
1.2016的相反数是（ ）
A.2016
B.-2016
C.
D.
解析：
2016的相反数是-2016，
答案：
B.
2.已知点M、N、P、Q在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是（ ）
A.M
B.N
C.P
D.Q
解析：
∵点Q到原点的距离最远，
∴点Q的绝对值最大.
答案：
D.
3.下列运算正确的是（ ）
A.a2·a3=a6
B.5a-2a=3a2
C.（a3）4=a12
D.（x+y）2=x2+y2
解析：
A、a2·a3=a5，故此选项错误；
B、5a-2a=3a，故此选项错误；
C、（a3）4=a12，正确；
D、（x+y）2=x2+y2+2xy，故此选项错误；
答案：
C.
4.下列命题中，错误的是（ ）
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.有一个角是直角的平行四边形是矩形
C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D.内错角相等
解析：
A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确.
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确.
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确.
D、内错角相等，错误，缺少条件两直线平行，内错角相等.
答案：
D.
5.下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
A、圆锥的主视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项错误；
B、圆柱的主视图是矩形、俯视图是矩形，故本选项正确；
C、球的主视图、俯视图都是圆，故本选项错误；
D、三棱柱的主视图为矩形和俯视图为三角形，故本选项错误.
答案：
B.
6.如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（ ）
A.20°
B.40°
C.50°
D.70°
解析：
∵∠D=40°，
∴∠B=∠D=40°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-40°=50°.
答案：
C.
7.11名同学参加数学竞赛初赛，他们的等分互不相同，按从高分录到低分的原则，取前6名同学参加复赛，现在小明同学已经知道自己的分数，如果他想知道自己能否进入复赛，那么还需知道所有参赛学生成绩的（ ）
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
解析：
由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，故应知道中位数.
答案：
B.
8.函数
的自变量x的取值范围是（ ）
A.x≥0且x≠2
B.x≥0
C.x≠2
D.x＞2
解析：
由题意得，x≥0且x-2≠0，
解得x≥0且x≠2.
答案：
A.
9.“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（ ）
A.CnH2n+2
B.CnH2n
C.CnH2n-2
D.CnHn+3
解析：
设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，
观察，发现规律：
a1=4=2×1+2，a2=6=2×2+2，a3=8=2×3+2，…，
∴an=2n+2.
∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为CnH2n+2.
答案：
A.
10.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（ ）
A.不变
B.增大
C.减小
D.先变大再变小
解析：
∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∴CF∥BE，
∴∠DCF=∠DBF，设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DBE=α，
∴CF=DC·cosα，BE=DB·cosα，
∴BE+CF=（DB+DC）cosα=BC·cosα，
∵∠ABC=90°，
∴O＜α＜90°，
当点D从B→D运动时，α是逐渐增大的，
∴cosα的值是逐渐减小的，
∴BE+CF=BC·cosα的值是逐渐减小的.
答案：
C.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11.已知反比例函数
的图象经过点A（1，-2），则k=.
解析：
∵反比例函数
的图象经过点A（1，-2），
∴
，
解得k=-2.
答案：
-2.
12.已知某水库容量约为112000立方米，将112000用科学记数法表示为.
解析：
112000=1.12×105，
答案：
1.12×105.
13.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB与CD的位置关系是.
解析：
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°
又∵∠C=∠D，
∴∠A+∠D=180°.
∴AB∥CD.
答案：
AB∥CD.
14.如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是.（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
解析：
∵∠A=∠D，
∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，
∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，
∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF.
答案为：
AB∥DE.
15.将直线y=2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是.
解析：
根据平移的规则可知：
直线y=2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式为：
y=2x+1-3=2x-2.
答案：
y=2x-2.
16.从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个圆形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是.
解析：
∵在线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形这五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段、圆、矩形、正六边形，共4个，
∴取到的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为
，
答案：
.
17.如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB=7，BC=6，则△BCD的周长为.
解析：
∵将△ABC沿直线DE折叠后，使得点A与点C重合，
∴AD=CD，
∵AB=7，BC=6，
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=7+6=13.
答案：
13
18.当a、b满足条件a＞b＞0时，
表示焦点在x轴上的椭圆.若
表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是.
解析：
∵
表示焦点在x轴上的椭圆，a＞b＞0，
∵
表示焦点在x轴上的椭圆，
∴
，
解得3＜m＜8，
∴m的取值范围是3＜m＜8，
答案：
3＜m＜8.
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，满分12分）
19.计算：
.
解析：
直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值、零指数幂的性质分析得出答案.
答案：
=
=2.
20.先化简，再求值：
，其中x是从1，2，3中选取的一个合适的数.
解析：
先括号内通分，然后计算除法，最后取值时注意使得分式有意义，最后代入化简即可.
答案：
原式=
=
.
当x=2时，原式=
=-2.
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
21.在2016CCTV英语风采大赛中，娄底市参赛选手表现突出，成绩均不低于60分.为了更好地了解娄底赛区的成绩分布情况，随机抽取利了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行了整理，得到如图的两幅不完整的统计图表：
成绩
频数
频率
60≤x＜70
60
0.30
70≤x＜80
m
0.40
80≤x＜90
40
n
90≤x≤100
20
0.10
根据所给信息，解答下列问题：
（1）在表中的频数分布表中，m=，n=.
（2）请补全图中的频数分布直方图.
（3）按规定，成绩在80分以上（包括80分）的选手进入决赛.若娄底市共有4000人参赛，请估计约有多少人进入决赛？
解析：
（1）用抽查的总人数乘以成绩在70≤x＜80段的人数所占的百分比求出m；用成绩在80≤x＜90段的频数除以总人数即可求出n；
（2）根据
（1）求出的m的值，直接补全频数分布直方图即可；
（3）用娄底市共有的人数乘以80分以上（包括80分）所占的百分比，即可得出答案.
答案：
（1）根据题意得：
m=200×0.40=80（人），
n=40÷200=0.20；
答案：
80，0.20；
（2）根据
（1）可得：
70≤x＜80的人数有80人，补图如下：
（3）根据题意得：
4000×（0.20+0.10）=1200（人）.
答：
估计约有1200人进入决赛.
22.芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长.（结果精确到0.1米，
≈1.732）
解析：
设DH=x米，由三角函数得出=
x，得出BH=BC+CH=2+
x，求出
，由AH=AD+DH得出方程，解方程求出x，即可得出结果.
答案：
设DH=x米，
∵∠CDH=60°，∠H=90°，
∴CH=DH·sin60°=
x，
∴BH=BC+CH=2+
x，
∵∠A=30°，
∴
，
∵AH=AD+DH，
∴2
+3x=20+x，
解得：
x=10-
，
∴BH=
≈16.3（米）.
答：
立柱BH的长约为16.3米.
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
23.甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米.甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校.已知甲步行速度是乙骑自行车速度的
，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍.甲乙两同学同时从家发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟.
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
解析：
（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是
x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，
根据题意列方程即可得到结论；
（2）300×2=600米即可得到结果.
答案：
（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是
x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，
根据题意得
，
解得：
x=300米/分钟，
经检验x=300是方程的根，
答：
乙骑自行车的速度为300米/分钟；
（2）∵300×2=600米，
答：
当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米.
24.如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1B1C1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F.
（1）求证：
△BCF≌△BA1D.
（2）当∠C=α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由.
解析：
（1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=∠C，由旋转的性质得到A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D；
（2）由旋转的性质得到∠A1=∠A，根据平角的定义得到∠DEC=180°-α，根据四边形的内角和得到∠ABC=360°-∠A1-∠C-∠A1EC=180°-α，证得四边形A1BCE是平行四边形，由于A1B=BC，即可得到四边形A1BCE是菱形.
答案：
（1）证明：
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1B1C1的位置，
∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，
在△BCF与△BA1D中，
，
∴△BCF≌△BA1D；
（2）解：
四边形A1BCE是菱形，
∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1B1C1的位置，
∴∠A1=∠A，
∵∠ADE=∠A1DB，
∴∠AED=∠A1BD=α，
∴∠DEC=180°-α，
∵∠C=α，
∴∠A1=α，
∴∠ABC=360°-∠A1-∠C-∠A1EC=180°-α，
∴∠A1=∠C，∠A1BC=∠AEC，
∴四边形A1BCE是平行四边形，
∴A1B=BC，
∴四边形A1BCE是菱形.
六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
25.如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点.
（1）求证：
∠B=∠ACD.
（2）已知点E在AB上，且BC2=AB·BE.
（i）若tan∠ACD=
，BC=10，求CE的长；
（ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由.
解析：
（1）因为∠ACB=∠DCO=90°，所以∠ACD=∠OCB，又因为点O是Rt△ACB中斜边AB的中点，所以OC=OB，所以∠OCB=∠B，利用等量代换可知∠ACD=∠B；
（2）（i）因为BC2=AB·BE，所以△ABC∽△CBE，所以∠ACB=∠CEB=90°，因为tan∠ACD=tan∠B，利用勾股定理即可求出CE的值；
（ii）过点A作AF⊥CD于点F，易证∠DCA=∠ACE，所以CA是∠DCE的平分线，所以AF=AE，所以直线CD与⊙A相切.
答案：
（1）∵∠ACB=∠DCO=90°，
∴∠ACB-∠ACO=∠DCO-∠ACO，
即∠ACD=∠OCB，
又∵点O是AB的中点，
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∴∠ACD=∠B，
（2）（i）∵BC2=AB·BE，
∴
，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBE，
∴∠ACB=∠CEB=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴tan∠ACD=tan∠B=
，
设BE=4x，CE=3x，
由勾股定理可知：
BE2+CE2=BC2，
∴（4x）2+（3x）2=100，
∴解得x=2，
∴CE=6；
（ii）过点A作AF⊥CD于点F，
∵∠CEB=90°，
∴∠B+∠ECB=90°，
∵∠ACE+∠ECB=90°，
∴∠B=∠ACE，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACD=∠ACE，
∴CA平分∠DCE，
∵AF⊥CE，AE⊥CE，
∴AF=AE，
∴直线CD与⊙A相切.
26.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（-1，0），B（5，-6），C（6，0）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？
并请求出其中某一个点Q的坐标.
解析：
（1）抛物线经过点A（-1，0），B（5，-6），C（6，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-6），代入B（5，-6）即可求得函数的解析式；
（2）作辅助线，将四边形PACB分成三个图形，两个三角形和一个梯形，设P（m，m2-5m-6），四边形PACB的面积为S，用字母m表示出四边形PACB的面积S，发现是一个二次函数，利用顶点坐标求极值，从而求出点P的坐标.
（3）分三种情况画图：
①以A为圆心，AB为半径画弧，交对称轴于Q1和Q4，有两个符合条件的Q1和Q4；②以B为圆心，以BA为半径画弧，也有两个符合条件的Q2和Q5；③作AB的垂直平分线交对称轴于一点Q3，有一个符合条件的Q3；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出Q3坐标.
答案：
（1）设y=a（x+1）（x-6）（a≠0），
把B（5，-6）代入：
a（5+1）（5-6）=-6，
a=1，
∴y=（x+1）（x-6）=x2-5x-6；
（2）存在，
如图1，分别过P、B向x轴作垂线PM和BN，垂足分别为M、N，
设P（m，m2-5m-6），四边形PACB的面积为S，
则PM=-m2+5m+6，AM=m+1，MN=5-m，CN=6-5=1，BN=5，
∴S=S△AMP+S梯形PMNB+S△BNC
=
=-3m2+12m+36
=-3（m-2）2+48，
当m=2时，S有最大值为48，这时m2-5m-6=22-5×2-6=-12，
∴P（2，-12），
（3）这样的Q点一共有5个，连接Q3A、Q3B，
；
因为Q3在对称轴上，所以设Q3（
，y），
∵△Q3AB是等腰三角形，且Q3A=Q3B，
由勾股定理得：
，
y=
，
∴
.
考试高分秘诀是什么？
试试这四个方法，特别是中考和高考生
谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
因为一份试卷的题型有选择题、填空题和解答题，题目的难易程度不等，再加上时间的限制，更需要考生运用考试技巧去合理安排时间进行考试，这样才能获得一个优异的成绩。
在每次考试结束之后，我们总会发现这样有趣的情形：
有的学生能超常发挥，考个好成绩，而有的学生却出现粗心大意的状况，令人惋惜。
有的学生会说这是“运气”的原因，其实更深次的角度来说，这是说明考试准备不足，如知识掌握不扎实或是考试技巧不熟练等，这些正是考前需要调整的重点。
读书学习终究离不开考试，像中考和高考更是重中之重，影响着很多人的一生，下面就推荐一些与考试有关的方法技巧，希望能帮助大家提高考试成绩。
一是学会合理定位考试成绩
你能在一份卷子当中考几分，很大程度上取决于你对知识定理的掌握和熟练程度。
像最后一道选择题和填空题，以及最后两道大题，如果你没有很大把握一次性完成，就要先学会暂时“放一放”，把那些简单题和中等题先解决，再回过头去解决剩下的难题。
因此，在考试来临之前，每位考生必须对自身有一个清晰的了解，面对考试内容，自己处于什么样的知识水平，进而应采取什么样的考试方式，这样才能帮助自己顺利完成考试，获得理想的成绩。
像压轴题的最后一个小题总是比较难，目的是提高考试的区分度，但是一般只有4分左右，很多考生都可以把前面两小题都做对，特别是第一小题。
二是认真审题，理清题意
每次考试结束后，很多考生都会发现很多明明自己会做的题目都解错了，非常可惜。
做错的原因让人既气愤又无奈，如算错、看错、抄错等，其中审题不仔细是大部分的通病。
要想把题目做对，首先就要学会把题目看懂看明白，认真审题这是最基本的学习素养。
像数学考试，就一定要看清楚，如“两圆相切”，就包括外切和内切，缺一不可；ABC是等腰三角形，就要搞清楚哪两条是腰；二次函数与坐标轴存在交点，就要分清楚x轴和y轴；或是在考试过程中遇到熟悉的题目，绝不可掉以轻心，因为熟悉并不代表一模一样。
三是要活用草稿纸
有时候真的很奇怪，有些学生一场考试下来，几乎可以不用草稿纸，但最终成绩也并不一定见得有多好。
不过，我们查看这些学生试卷的时候，上面密密麻麻写了一堆，原来都把试卷当草稿纸，只不过没几个人能看得懂。
考试时间是有限，要想在有限的时间内取得优异的成绩，就必须提高解题速度，这没错，但很多人的解题速度是靠牺牲解题步骤、审清题意等必要环节之上。
就像草稿纸，很多学生认为这是在浪费时间，要么不用，要么在打草稿时太潦草，匆忙抄到试卷上时又看错了，这样的毛病难以在考试时发现。
在解题过程后果，我们应该在试卷上列出详细的步骤，不要跳步，需要用到草稿纸的地方一定要用草稿纸。
只有认真踏实地完成每步运算，假以时日，就能提高解题速度。
大家一定要记住一点：
只要你把每个会做的题目做对，分数自然就会高。
四是学会沉着应对考试
无论是谁，面对考试都会有不同程度的紧张情绪，这很正常，没什么好大惊小怪，偏偏有的学生会把这些情绪放大，出现焦躁不安，甚至是失眠的负面情况，非常可惜。
就像在考试过程中，遇到难题这也很正常，此时的你更应不慌不躁，冷静应对在考试，有些题目难免一时会想不出解题思路，千万记住不要钻牛角尖，可以暂时先放一放，不妨先换一个题目做做，等一会儿往往就会豁然开朗了。
考试，特别像中考和高考这样大型的重要考试，一定要相信一点，那就是所有试题包含的知识定理、能力要求都在考纲范围内，不要有过多的思想负担。
考试遇到难题，容易让人心烦意乱，我们不要急于一时，别总想一口气吃掉整个题目，可以先做一个小题，后面的思路就慢慢理顺了。
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