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球的组合体问题1球的组合体问题最全分类和解法研究Word下载.docx

圆柱体轴截而矩形的外接圆是大圆,该矩形的对角线(外接圆直径)是球的直径;

结论6:

直棱柱与该棱柱的外接圆柱体有相同的外接球:

结论7:

圆锥体的外接球球心在圆锥的髙所在的直线上:

结论8:

圆锥体轴截而等腰三角形的外接圆是大圆,该三角形的外接圆直径是球的直径;

结论9:

侧棱相等的棱锥与该棱锥的外接圆锥有相同的外接球.

(3)终极利器:

勾股定理.正弦定理及余弦上理(解三角形求线段长度):

3.内切球的有关知识与方法

(1)若球与平面相切,则切点与球心连线与切而垂直・(与直线切圆的结论有T性)・

(2)内切球球心到多而体各而的距离均相等,外接球球心到多而体各顶点的距离均相等(类比:

与多边形的内切圆"

卜接圆)

(3)正多而体的内切球和外接球的球心重合.

(4)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不一泄重合.

4.基本方法:

(1)构造三角形利用相似比和勾股泄理;

(2)体积分割是求内切球半径的通用做法(等体积法)・

二、理清位置,学会画图

先画一个大圆与一个或两个小圆。

1•多面体的外接球(球包体)

模型仁球包直柱(直锥):

有垂直于底而的侧棱(有垂底侧边棱)

球包四棱柱

速算:

球径公式

球包三棱柱速算:

注:

凡是有一条侧棱垂直于底面的柱或锥,都能补成同球内接圆柱,则都可用以下公式求其夕偎球的

①对于正三角形、等腰直角三角形、一般直角三角形:

√2r=——a7

2

球径公式:

R=Jt]+r2,

(厂为底面外接圆半径)

关键:

构建Rt△

②对于一般三角形:

SinASinBSinC

√6a

4a2+3h2^^6Λ^^

/+2/『

模型2:

“顶点连心”锥:

锥体的顶点与球心及其在底而的投影(都是底面多边形外接圆的圆心)两心一顶连成线,构建Rt∆

实例:

正棱锥

球径计算方程:

(II-R)2+r2=R2Ir一IhR+r2=0=>

/?

=

72/7

(h为棱锥的高,Γ为底面外接圆半径)

特别地,

(1)边长为"

正四而体的外接球半径:

R=

(2)底而边长为α,髙为力的正三棱锥的外接球半径:

R=—

(3)底面边长为"

,髙为力的正四棱锥的外接球半径:

R=

2.正多而体的内切球(体中球)

棱锥的内切球:

(由等体

圆锥的内切球:

(若圆

锥高为hf底面半径

积法)R=

3V惟

S惟农

"

hr

r+y∣h2+r2

边长为"

的正方体:

R=-

等边圆柱(母线"

边长"

的正八而体:

P√6

R=——a

不用记忆结果,应画好直观图,做妍由截面图,会用平面几何知识求半径。

3.正多而体的J棱切球”(与所有的棱都相切的球)

V

d

正四而体边长为"

,球半径(是对棱距

/7

正方体边长如球半径洽

正四面体边长为“,球半径力彳

离的-^)R=∙Ja

4

三.球的问题的六种题型和解法

球心可以确定球的位置,半径可以确左球的大小。

球心和半径是确龙球的两个重要的疑。

’l求球的表而积、体积、

半径或已知球的半径而求切接几何体的棱长”等是常见题目•它们的求解都离不开求球的半径Fr据此可把球的切接

问题分成六种类型。

(见思维导图)

(一)简单的一(D能直接用m+尸求解的;

(2)正方体与球的切、接;

(3)长方体内接于球(球包长方体):

对于

(1)如图

对于

(2)(3),

球心在体对角线的交点处,请先观看视频

②球与正方体的棱相切

如图:

①正方体的内切球

Cl

③正方体的外接球

说明:

①正方体的内切球:

DI

C

球与正方体的每个而都相切,切点为每个而的中心,显然球心为正方体的中心。

设正方体的棱长为d,球半径为R。

如图,截而图为正方形EFGH的内切圆,得/?

=-:

2与正方体齐棱相切的球:

球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点,如图作截而图,圆O为正方形EFGH的

外接圆,易得R=-UQ

3正方体的外接球:

正方体的八个顶点都在球而上,如图,以对角而AG为截面作截而图得,圆O为矩形AAlCIC

的外接圆,易得R=AyO=-a(作为记住)o

4球包长方体2R=y∕a2+b2+c2

下面分别就

(1)

(2)(3)种情况举例分析

例1.

(1)(2012-课标全国,8,中)平面Qf截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为承,则此球的体积为()

A.√6πB.4√3πC.4√6πD・6√3π

解:

(直接用R—卩"

求解)如图,设平而α截球O所得圆的圆心为O,则IoOIl=√Σ

∖O↑A∖=a∖,

・••球的半径P=∣O∕4∣=√Γh=√3.・•.球的体积U=∣πP3=4√3π.故选B.

例1.

(2)[2012髙考新课标理11】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球而上,MBC是边长为1的正三角

形,SC为球。

的直径,且SC=2;

则此棱锥的体积为()

(A)芈(B)f(C)些OoJ

【解析】

(用R2=/+尸求解)ΔABC的外接圆的半径r=g,点、O到而ABC的距离d=y∕R2-r2=理,SC为球O

3

的宜径=>点S到面ABC的距离为2d=—

另解(估算法):

排除5C,D.选A.

36

此棱锥的体积为V=-SsABCχ2CI亠旦空

33436

例1∙(3)求棱长为4的正方体的外接球和内切球的体积。

解:

由题意可知,此正方体的体对角线长即为其外接球的直径2R,正方体的棱长即为其内切球的直径2r,因为正方体的棱长为4,故2R=4√3,2r=4,所以^=2√3,(或直接用公式得R==^∙×

4=2√3).r=2,从22

而匕卜接球=∙j∕tR3=~π(2、/3)3=32:

U内切球=亍龙IJ=匚一•例1.(4)棱长为1的正方体ABCD-AlBlCiDl的8个顶点都在球O的表而上,£

F分别是棱AA1,DD的中点,

则直线EF被球O截得的线段长为(

B-,C1÷

TD近

O∖ΛDi∖√2解:

俐用截面图)由题意可知,球为正方体的外接球,平而曲QQ截球所得的圆而的半径R=-T=亍因为

EFU面AA1D1D,且EF过截面圆圆心,所以直线EF被球O截得的线段为球的截面圆的直径2R=√Σ.选D

例1.(5)(2007年天津高考题)一个长方体的各顶点均在同一球而上,且一个顶点上的三条棱长分别为12»

则此

球的表面积为

解析:

关键是求出球的半径,因为长方体内接于球,所以它的体对角线正好为球的直径。

长方体体对角线长为2∕C=√l2+22+32=^,所以,故球的表而积为S=4πR2=^

巩固训练:

1.能直接用RS求解的

(1)(2013-课标I,15)已知H是球O的直径力8上一点,AH:

Hβ=1:

2,&

8丄平而α,H

为垂足,α截球O所得截而的面积为π,则球O的表而积为.

1OR

平盹截球。

所得截而为圆而,圆心为H,设球。

的半径为RKIMH=-X2,=^

211

OH=R-AH^--R=-^所以。

甘沪由圆H的而积为"

得圆H的半径小所以(f)2÷

12=矗,得仔=|,所以球O的表而积S=4τM2=4τr∣=寥填粤1

(2)已知三棱锥S-ABC各顶点均在球O上,SB为球O的直径,若AB=AC=2>

ZBAC=-,三棱锥S-ABC的体3

积为4,则球O的表而积为()

A.120兀B.64兀C.32兀D.16兀

如图,在AABC中,由余弦定理,得BC=2√J,又由正弦泄理Ir=-^-,得底面AABC的外接圆半径・λ7t

SIn——

r=σA=2,又因为S.1.=lλB∙ACsin-=√3,且三棱锥S-ABC

∙v23

的体积为4,得V=lx√¾

=4,所以Λ=4√3t所以O^=-=2√3,

32

在RtAOOfA中,由勾股宦理得球半径R=OA=SA2+O"

=4,则球O的表而积S=4^2=64π.选B

(3)(2013-课标II,15)已知正四棱锥OABCD的体积为攀,底面边长为√5,则以O为球心,04为半径的球的表而积为.

【解析】设底而中心为E由球的截而性质知OE丄底WiABCD,则∖AE∖=^∖AC∖/、\

=罟,•・•体积V=^AB∖2∙∖OE∖=∖OE∖=^∙,由球的截面的性质知ZkOEA为Rt∆,.∖∖OA∖2=∖AE∖2+∖OE∖2=β.从而

以0为球心,OA为半径的球的表而积S=4π∙Q4∣2=24ττ.填24π

<

4)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球0的球而上,且AB=JBC=2乩则棱锥O一ABCD的体积为O

【解析】本题主要考査球的截面性质、棱锥的休积公•式•设矩形的对角线的交点为E,则OE丄面ABCD,K1=-BD2=丄(AB2+5C2)=12,

44

由截面圆性质得OE=JRl一"

=2,

•••棱锥O-CD的体积沖*SUJCz)XOE

=i×

2√3x2=8∙>

A・

(5)(2013-课标I,6)如图,有一个水平放巻的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容

器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不讣容器的厚度,则球的体积为()

A500π.C866πQJ372π.小2048πQ

A.^—cm3B.-g—cm3C.——Cm3D.—~~m3

设水面与球的接触点(切点)为P,球心为O,则PO垂直于正方体的上表而,

Q

体上表面的距离为"

2。

设球的半径为R,则球与正方体上表而相交圆(截面圆)的半径是二

且球心到该截面的距离是R—2,故(/?

-2)'

+宀F∕72=(P-2)2+42^∕7=5.Λ√=∣π∕73=^y11(cm3).[答案】A

【点评】关键是由球的截而圆性质构造Rt∆.由勾股龙理建立关于R的方程,求出R

(6)(2015-四川绵阳一模,7)如图所示,用一边长为頁的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将表而积为4π的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底而的距离为()

A.

B.

cI

D.

蛋巢的底而是边长为1的正方形,所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直

径为1,鸡蛋的表面积为4m所以球的半径为仁所以球心到截而的距离为d=

寸爭•而截而到底面的距离即为三角形的髙M所以球心到底而的距离为

【答案】D

2.求正方体的外接球的有关问题

(7)(2006年广东高考题)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面枳为.

要求球的表而积,只要知道球的半径即可•因为正方体内接于球,所以它的体对角线正好为球的直径,因此,求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长,再计算半径.另解:

R斗笔,故表面积为S—仏务27汉

(8)一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的表面积为24,则该球的体积为•

要求球的体积,还是先得求岀球的半径,而球的直径正好是正方体的体对角线,因此,由正方体表而积可求出棱长,6∙∕=24,.∙./=4<

=2,从而求出正方体的体对角线是2$,所以球的半径为R=^a=y∣3,故该球的体积为V=→(√3∕=4√3λ∙.

(9)(2013-天津,10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为牙,则正方体的棱长为

【解析】设正方体的棱长为a,则正方体的外接球半径R=^3.因为球的体积为∣ττ,所以∣π√^=∣π,即-a,所以a=√3.【答案】√3

(10)如图,在正方体ABCD-A}BIClDl中,棱长为、丘,面BDB与≡A,Z)C1的重心分

别为E、F,求EF所在直线被正方体外接球截得的弦长为()

D.学

解法一:

如左图,连结AC1,BR,交点为球心0,易知点E是线段BQ】的三等分点(靠近D1),点F是线段Aq的三等分点(靠近A),又O是BDl的中点,且是AG的中点,所以

OE=-BDI=-×

y∣3=-=OF,连结EF,AD1,在厶QAD冲,因为皀-=乞,

6621ODxOA

√2

->

所以

所Tw,所以△阿〜△叫,所以焙OF

OA

3√2

EF=-ADI=1∙2√3=-.作出平而OEF与球O的截面圆图象如右图,作333

(EFy∖

)=(T

MP2=OM2-OP2=R2-OP2×

√6

OP丄MN,则"

2=OE2-

冷;

在&

中,

£

=9

6"

263

1匕得MP=

7

MN=2MP=工一•选C.

解法二:

(先用空间向呈求球心到直线EF的距离OP)设外接球球心为O,如图所示,以点D为坐标原点,DA、DC、

D人所在直线分别为X轴、丫轴、Z轴建立空间直角坐标系D-λ>

z,

A1(√6,0,√6).,联Q)、Cl(0,√z6,√6).D(0,0,0).E

'

√6√62届

♦9

、O

f√6√6逅]

所以元=

r√6

√6)

333

\/

222

•/

6

/

下边同解法一。

3.求长方体的外接球的有关问题

(11)(2006年全国卷I〉已知各顶点都在一个球而上的正四棱柱髙为4,体积为16,则这个球的表而积为()・

A16;

TB20;

Tc.24tγD.32τr

正四棱柱是底面为正方形的长方体。

由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2,因此,长方体的长、宽、高分别为2,2,4,于是等同于例1(5),2Λ=√4+4+16=√24=2√6.R=H所以S=4庆=24龙,故选C.

(二)一般的一球心,构造直角三角形

球心是决立球的位宜的关键点,泄球心的方法有:

1扩展成同球内接圆柱或直棱柱后,再怎球心位置,在上下底而圆心连线段的中点处•(适用于有一条侧棱垂直底面的几何体)(见例2)

2根据球心到球而上四个不共面的点的距离相等确泄球心位置:

(常用于多面体中有两个直角三角形,且两个直角三角形有公

共斜边的情况,可利用直角三角形性质:

直角三角形斜边中线等于斜边一半。

得球心为直角三角形斜边中点)(见例3)

3过两个相邻三角形外接圆圆心,且垂直于两个三角形各自所在面的两条直线的交点为球心.(适用于二面角模型)

4讨论球心的位置,列方程求解,舍去一种位置(适用于球内接正棱锥);

也可不讨论球心的位苣,而由(h-R)2=R2-r2t求R.(见例5)

5其它:

构造Rt△求解。

下面分别举例探究:

1.有一条侧棱垂直底面的几何体模型

方法一:

采用扩展成同球内接圆柱或直棱柱后,再定球心位置的方法;

(结合后四3圆柱模型)

*≡-I

■■

>

1

•宀

I

图3∙1

图3・2

图3・3

题设:

如图3-1,图3-2,图3-3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形)第一步:

确左球心O的位置(0在扩展成的同球内接圍柱上下底面圆心连线段的中点),0]是ΔABC的外心,则Ool丄

图5

平而ABC;

第二步:

算出小圆Q的半径AOI=r,(底面三角形外接圆半径r的求法:

①若底面是等边三角形f则r=-;

②若底面是RM,则匸斜边的一半;

③若底面是一般的三角形r则可用正弦走理丄=-^-=-^-=2r求解)・OOl=-AAλ=-h(A41=Λ⅛^11的高):

SinASinBSinC22

解出/?

・(可

第三步:

用勾股定理OA2=0才+OQ2=>

∕?

2=φ2+r2=>

=Jr2+(^)2

记住该公式,见后四(三)圍柱模型速算法)

方法二:

构造以球直径为斜边的球内接直角三角形,利用勾股定理求球半径题设:

如图5,PA丄平而ABC.求外接球半径・

解题步骤:

第一步:

将ΔABC画在小圆面上,A为小圆直径的一个端点,作小圆的直径AD9连接PD.则PQ必过球心6(因

为Ool丄面ABCf又PA丄面ABC,所以PAIIOOxI所以PA与Ool共面;

又ZPAD=90。

,所以PD是大圆的直径)

Oi为AABC的外心,所以OOl丄平面ABC,算出小圆Q的半径OQ=F(三种方法同前),OOl=-PAi2

利用勾股泄理求三棱锥的外接球半径:

①在RtAPAD中,(2/?

)2=PA2+(2r)2O2R=√PA2+(2r)2:

②在恥OOQ中,Z?

2=r2+∞12<

=>

==λ∕r2+OO12.

例2.

(1)请观看视频(例题1

注:

设正三棱柱ABC一Λ1BlCI的高为ht底面边长为aI如图2所示,D和Q分别为上下

例2.

(2).已知SEAB所在的平而与矩形ABCD所在的平面互相垂直,EA=EB=3.AD=2.ΛAEB=ω°

则多而体

E-ABCD的外接球的表面积为・

(折叠型)

法一;

补形为宜三棱柱,可改变直三棱柱的放置方式为立式.再扩展为圆柱,通过计算圆

柱的轴截面的对角线长来求球的直径:

AEAB外接圆半径

片=二EA=观,所以(2/?

)2=(2r1)2+AD2=(2v¾

2+22=16,3

所以/?

2=4,S∕'

=16∕τ;

也可以解RtΔOO1E

底面的中心根据几何体踽点,球心必落在高㈣的中点。

,込”皿”斗,借助直角三角形AoM

勾股走理,可求R=

._+—a

”2丿〔3

法二:

补形为直三棱柱,(可改变直三棱柱的放置方式为立式),再扩展为圆柱,如图,设MBE的外接圆圆心为0∣,则EQ丄ABf垂足为M,由题意EM丄而ABCD,又设矩形ABCD的外接圆圆心为球心为0∙贝IJO(Z丄而ABCD∙所

■■

以EMIlOO1,又因为M为AB中点,所以QM丄AB,则QM丄而ABE,又OOX丄面ABE,所以OOXIlOIM,得OOXMOI为矩形,所以OOλ=O2M=^=1,在RtSOOlA中,∕∙1=OlA=^EA=√3,,所以

23

R2=r}2+OO{2=4,所以外接球的表而积为Sk=I6兀・填16兀・

PyRnIyoq1o

法三:

同上图在RtzXOOrD中,Oor=OlM=—,λ=OID==——,所以=—+—=4♦S”=∖6τr;

■二2-■2244A

法四:

用公式R=

^∣r2+φ2速算,AEAB的外接圆半径为r1=√3,h=AD=2,所以R=√ΓTT=2,S,i=∖6π.

巩固训练:

1.(高考题选)已知圆柱的髙为仁它的两个底而的圆周在直径为2的同一个球的球而上,则该圆柱的体积为O

ALt3Ji_Tif兀

A•兀B.一C.一D.一

424

由题可知球心在圆柱体中心,球心与圆柱底而圆心的距离〃=?

=圆柱体上

22

下底而圆半径r=jF≡F=Jq*j=£

则圆柱体体积v=π心=苧,故选B.解法二:

求圆柱的轴截而的对角线长得球直径,(2r)2=(2/?

)2-∕γ=22-1=3.得”=耳2.已知直三棱柱ABC-AlBlG的六个顶点都在球O的球而上,若BC=3,AC=4,BC丄ACIAAI=12,则球O的半径为

A.B.2√10C•匕D.佰

由题意知,AB是AABC外接圆的直径,AB中点0为此外接圆的圆心,球心O是

三棱柱外接圆柱的中心(高的中点),连结OQ、A0「OA,得RtΔ06>

1AIJFhAB=5,得

151I/5V13

AOl=-BC=-,又OOl=-AA}=6,所以球O的半径R=I-+62=—・

222\1\2J2

求圆柱的轴截而的对角线长得球直径,

13

(2/?

)2=(2r)2+A412=AB2+BB12=25+144=169=13—得R=-

3.(2015•河南驻马店调硏,13)在三棱柱ABC-A1BC中,已知丄平而ABC,AA,=2,

βC=2√3,ZBAC=萝,且此三棱柱的各个顶点都在一个球而上,则球的体积为

为R=y∣d2+r2=√12÷

(√3)2=2,则球的体积为匕疔∣×

π×

23=φ.

【答案】

32π

【解析】依题意可知,球心到平面ABC的距离为d詁A4'

=

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