高中各种函数图像画法和函数性质.docx

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高中各种函数图像画法和函数性质

一次函数

，bk符号

0k?

0b?

图象

yOx

性质

随的增大而增大yx

的增大而减小随yx

二次函数

图像

xa2

bx?

定义域

对称轴

bx?

顶点坐标

b4ac,?

4a2a?

值域

ac?

b4?

4a?

4ac?

4a?

单调区间

递减?

a2?

递增?

2a?

递增?

2a?

递减?

2a?

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反比例函数

1、反比例函数图象：

反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。

2、性质：

1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x（k≠0）中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|

5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=xy=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

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x指数函数1）a≠0（a＞y=a，

注意：

⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质

规律：

1.当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；

当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。

在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

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上是增函数；＞1时，图像在R“大增小减”3.四字口诀：

。

即：

当aR1时，图像在上是减函数。

当0＜a＜4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数比较幂式大小的方法：

当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；1.当底数中含有字母时要注意分类讨论；2.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；3.

或01作为中间量进行比较4.对多个数进行比较，可用底数的平移：

图像会向右平移。

图像会向左平移；在指数上加上一个数，减去一个数，图像会向上平移；f（X）在后加上一个数，减去一个数，图像会向下平移。

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对数函数

1.对数函数的概念

x在定义域（-∞，+∞）由于指数函数y=a上是单调函数，所以它存在反函数，

x我们把指数函数y=a（a＞0，a≠1）的反函数称为对数函数，并记为y=logx（a＞0，aa≠1）.

x的定义域为（-∞，+∞），值域为（0，+因为指数函数y=a∞），所以对数函数y=logx的定义域为（0，+∞），值域为（-∞，+∞）.

2.对数函数的图像与性质

对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.

为了研究对数函数y=logx（a＞0，a≠1）的性质，我们在同一直角坐标系中a作出函数

y=logx，y=logx，y=logx,y=logx,y=logx的草图1021011102

图

象

a＞1

a＜1

（1）x＞性y=0x=1时，

（2）当质（3）当x＞1＞y0时，y＜0＞（3）当x1时，0＜x＜1时，y＞0

y1x0＜＜时，＜（4）在（0上是增函数）∞，（0在（4）+，+∞）上是减函数

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补充性质

1）＜10＜b或0＜a＜xy=logx其中a＞1，b＞1（设y=logb12ay＞则y1时“底大图低”即若a＞b当x＞21

比较对数大小的常用方法有：

.若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断

（1）.若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论

（2）.若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较（3）.等中间量进行比较、-1（4）若底数、真数都不相同，则常借助1、0

指数函数与对数函数对比3.

名称

指数函数

对数函数

一般形式

x（a＞0，a≠1）y=a

1）a≠＞y=logx（a0，a

定义域

∞）（-∞，+

）+∞（0，

值域

∞）（0，+

）+∞（-∞，

函数值变化情况

当a＞1时，（x?

0）?

x0）a?

1（x?

）x?

1（?

当0＜a＜1时，?

1（x?

0）?

x0?

）a?

1（x?

）?

1（x?

1时当a＞）?

10（x?

）1（x?

logx?

）1x?

0（?

时，＜1当0＜a）?

0（x?

）1（x?

logx?

）1x?

0（?

单调性

xa时，是增函数；a当＞1x.

时，＜＜当0a1a是减函数

是增函数；logxa当＞1时，a是减函xlog＜1时，a当0＜a.

数

图像

xy=x对称.

的图像关于直线xy=a的图像与y=loga

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幂函数

n随着的不同，定义域、值域都会发生变化，图像都过（1,1幂函数）点x?

yn11?

上是增函数．时，幂函数图像过原点且在①?

0,a3?

2,,1,,231?

上是减函数．②时，幂函数图像不过原点且在?

0,?

1,?

2③任何两个幂函数最多有三个公共点．

nxy?

奇函数

偶函数

非奇非偶函数

yxO

0n?

xy?

1xy?

定义域

0|xx?

0x?

奇偶性

奇

非奇非偶

奇

在第Ⅰ象限的增减性

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递减

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xy?

x是常数）的图像，（R幂函数在第一象限的分布规律是：

xy?

x是常数），（R①所有幂函数）,1（1的图像都过点；1?

3,2,?

xy?

2的图像都过时函数②当）0（0,原点；?

cxy?

）；③当时，的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2?

cx?

y32,?

）的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如④当时，11?

cxy?

2的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如时，④3?

y）,0（0?

（如“下滑”的的图像不过原点曲线⑤时，，且在第一象限是c）4?

有下列性质：

当时，幂函数）1,10（0,）,（

（1）图象都通过点；

（2）在第一象限内都是增函数；?

10?

（3）在第一象限内，时，图象是向下凸的；时，图象是向上凸的；）1,（1后，图象向右上方无限伸展。

（4）在第一象限内，过点?

xy?

时，幂函数当有下列性质：

）,1（11（）图象都通过点；）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（2yx轴无限地接轴无限地接近；向右无限地与3）在第一象限内，图象向上与（近；?

）1,（1?

取任（4越大，图象下落的速度越快。

无论）在第一象限内，过点后，?

xy?

何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。

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对号函数

by?

ax?

（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（0函数，+∞）的图象似x符号“√”而得名，

b+）的性质:

a>0,b>0,x∈函数R（?

axx

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