高中各种函数图像画法和函数性质.docx

1、高中各种函数图像画法和函数性质一次函数 一次 函数 ，bk 符号 k?0 0k? b?0 b?0 0b? 0b? 0?b 0b?图象 yOx yOx yOx yOx yOx yOx 性质随的增大而增大 yx 的增大而减小随yx 二次函数 ?a0 0?a图像 b?x a2 bx? a2 定义域 ?,? 对称轴b x?a2 顶点坐标2?b?b4ac,? ?4a2a? 值域2?ac?b4?,? ?4a?2?b?4ac?, ?4a?单调区间 b?,? 递减?a2?b?,?递增 ?2a?b?,?递增 ?2a?b?,?递减 ?2a? 1 / 9 反比例函数 1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为

2、对称中心的中心对称的双曲线 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K0）。 2、性质： 1.当k0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，函数在x0上同为减函数；k0时，函数在x0上同为增函数。 定义域为x0；值域为y0。 3.因为在y=k/x(k0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形

3、，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 2 / 9 x 指数函数1)a0(ay=a， 注意：指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质 规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但 这两个函数都不具有奇偶性。 2.当a1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 当0a1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。 3 / 9 上是增函数；1时，图像在R“大增小减” 3.四

4、字口诀：。即：当a R1时，图像在上是减函数。当0a 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数 比较幂式大小的方法： 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；1. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；2. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；3. 或01作为中间量进行比较4. 对多个数进行比较，可用 底数的平移： 图像会向右平移。图像会向左平移；在指数上加上一个数，减去一个数， 图像会向上平移；f(X) 在后加上一个数，减去一个数，图像会向下平移。4 / 9 对数函数 1.对数函数的概念 x在定义域(-，+)由于指数函数y=a上是单调函数，所以它存在反函数， x我们把指数函数

5、y=a(a0，a1)的反函数称为对数函数，并记为y=logx(a0，aa1). x的定义域为(-，+)，值域为(0，+因为指数函数y=a)，所以对数函数y=logx的定义域为(0，+)，值域为(-，+). a 2.对数函数的图像与性质 对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质. 为了研究对数函数y=logx(a0，a1)的性质，我们在同一直角坐标系中a作出函数 y=logx，y=logx，y=logx,y=logx,y=logx的草图 1021011 102 图 象a1 a1 0 (1)x 性y=0 x=1时，(2)当 质(3

6、)当x1y0 时，y0 (3)当x1时，0x1时，y0 0 y1x0时，(4)在(0上是增函数)，(0在(4)+ ，+)上是减函数 5 / 9 补充 性 质1) 1 0b或0ax y=logx其中a1，b1(设y=logb12a y则y1时“底大图低”即若ab当x2 1 比较对数大小的常用方法有：. 若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断(1). 若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论(2). 若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较(3). 等中间量进行比较、-1(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0 指数函数与对数函数对比3.名称 指数函数

7、 对数函数一般形 式x(a0，a1) y=a1) ay=logx(a0，a定义域 ) (-，+) +(0，值域 ) (0，+) +(-， 函 数 值 变 化 情 况当a1时， (x?0)?1?x0)a?1(x? ?)x?1(?0?当0a1时， ?1(x?0)?x0?)a?1(x ?)?1(x?0? 1时当a)?10(x?)1(x?logx?0 ?a?)1x?0(? 时，1当0a)?1?0(x?)1(x?logx?0 ?a?)1x?0(?单调性 xa时，是增函数； a当1x. 时，当0a1a是减函数 是增函数；logxa当1时，a是减函xlog1时，a当0a. 数 图像xy=x对称. 的图像关于

8、直线xy=a的图像与y=loga 6 / 9 幂函数 n随着的不同，定义域、值域都会发生变化，图像都过（1,1幂函数）点 x?yn11?上是增函数 时，幂函数图像过原点且在 ?0,a3?2,1, 231? 上是减函数 时，幂函数图像不过原点且在?0,?2?1,?a?, 2 任何两个幂函数最多有三个公共点 n xy?奇函数 偶函数 非奇非偶函数 1?ny y y O x O x O x 0?n?1 y x O y x O y x O 0n?y O y O y O x x x xy? 2?xy 3?yx 1xy?2 ?1xy? 定义域 R R R ?0|xx? ?0x?|x 奇偶性奇 奇 奇 非奇

9、非偶 奇 在第象限的增减性 在第象限单调递增 在第象限单调递增 在第象限单调递增 在第象限单调递增 在第象限单调递减 7 / 9 ?xy?x是常数）的图像，（R幂函数 在第一象限的分布规律是：?xy?x是常数），（R所有幂函数),1(1 的图像都过点；1?,3,2,?1?xy? 2的图像都过时函数当)0(0, 原点；?cxy?1? ）；当时，的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2?cx?y32,? ）的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如当时，11?c xy?2 的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如 时，3?x?y),0(0?1?（如“下滑”的的图像不过原点曲线 时，且在第一象限是c ）4?

10、x?y?0? 有下列性质：当时，幂函数)1,10(0,),( （1）图象都通过点； （2）在第一象限内都是增函数；?1?10? （3）在第一象限内，时，图象是向下凸的；时，图象是向上凸的；)1,(1 后，图象向右上方无限伸展。（4）在第一象限内，过点?xy?0? 时，幂函数当有下列性质：),1(1 1（）图象都通过点； ）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（2yx轴无限地接轴无限地接近；向右无限地与3）在第一象限内，图象向上与（ 近；? )1,(1?取任（4越大，图象下落的速度越快。无论）在第一象限内，过点后，?xy? 何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。8 / 9 对号函数 by?ax?（a0,b0）叫做对号函数，因其在（0函数，+）的图象似 x符号“”而得名， b+）的性质: a0,b0,x函数R（?y?ax x 9 / 9