有趣的数学难题Word格式文档下载.docx
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【炙肉片的策略】
约翰逊先生在户外有个炙肉架,正好能容纳2片炙肉.他的妻子和女儿贝特西都饥肠辘辘,急不可耐.问怎样才能在最短时间内炙完三片肉.
约翰逊先生:
瞧,炙一片肉的两面需要20分钟,因为每一面需要10分钟.我可以同时炙两片,所以花20分钟就可以炙完两片.再花20分钟炙第三片,全部炙完需要40分钟."
贝特西:
你可以更快些,爸爸.我刚算出你可以节省10分钟."
啊哈!
贝特西小姐想出了什么妙主意?
为了说明贝特西的解法,设肉片为A,B,C.每片肉的两面记为1,2.第一个10分钟炙烤A1,和B1.把B肉片先放到一边.再花10分钟炙烤A2和C1.此时肉片A可以炙完.再花10分钟炙烤B2和C2,仅花30分钟就炙完了三片肉,对吗?
这个简单的组合问题,属于现代数学中称之为运筹学的分枝.这门学科奇妙地向我们揭示了一个事实:
如果有一系列操作,并希望再最短时间内完成,统筹安排这些操作的最佳方法并非马上就能一眼看出.初看是最佳的方法,实际上大有改进的余地.在上述问题中,关键在于炙完肉片的第一面后并不一定马上去炙其反面.
提出诸如此类的简单问题,可以采用多种方式.例如,你可以改变炙肉架所能容纳肉片的数目,或改变待炙肉片的数目,或两者都加以改变.另一种生成问题的方式是考虑物体不止有两个面,并且需要以某种方式把所有的面都予以"
完成"
.例如,某人接到一个任务,把n个立方体的每一面都涂抹上红色油漆,但每个步骤只能够做到把k个立方体的顶面涂色.
今天,运筹学用于解决事物处理,工业,军事战略等等许多领域的实际问题.即使是像炙肉片这样简单的问题也是有意义的.为了说明这一点,请考虑下列一些变相问题:
琼斯先生和夫人有三件家务事要办.
1.用真空吸尘器清洁一层楼.只有一个真空吸尘器,需要时间30分钟.
2.用割草机修整草地.只用一台割草机,需要时间30分钟.
3.喂婴儿入睡,需要时间30分钟.
他们应该怎样安排这些家务,以求在最短时间内全部完成呢?
你看出这个问题与炙肉片问题是同构的吗?
假设琼斯先生和夫人同时进行操作,一般人开始往往以为做完这些家务需要60分钟.但是如果一件家务（譬如说用真空吸尘器做清洁工作）分为两个阶段,第二阶段延后进行（像炙肉片问题那样）,那么三件家务可以在3/4的时间内即45分钟内完成.
下面有一个关于准备三片热涂奶油的烤面包问题.这个运筹学问题比较困难.烤面包架是老式的,两边各有一扇翼门,可以同时容纳两片面包,但是只能单面烘烤.如果要烤双面,需要打开翼门,把面包片翻过身来.
将一片面包放入烤面包架需要时间3秒钟,取出来也需要3秒钟,将面包片在烤面包架内翻身又需要3秒钟.这些都需要双手操作,即不能同时进行放,取或把两片面包同时翻身,也不能在放入一片面包,将其翻身或取出的同时把另一片涂抹上奶油.单面烘烤一片面包需要30秒钟,把一片面包涂抹上奶油需要12秒钟.
每片面包仅限于单面涂抹上奶油.未经烘烤不得事先在任何一面涂抹上奶油.单面已经烤过的和涂抹上奶油的面包片可以重新放入烤面包加内继续烘烤其另一面.如果烤面包架一开始就是热的,试问双面烘烤三片面包丙涂抹上奶油最少需要多少时间?
在两分钟内完成上述工作并不太难.然而,如果你领悟到:
一片面包在单面烘烤尚未结束的情况下,也可以取出,以后再放回烤面包架内继续烘烤这一面,那么全部烘烤时间就可以缩减至111秒钟.使你想到这一点,统筹安排这些操作使效率达到最高也远非是一件易事.在这方面,尚有无数比此更为复杂的实际问题,需要借助于与计算机和现代图论有关的高度复杂的数学手段.
【乒乓球赛问题】
某中学将举行乒乓球比赛,小明他们班有5人先进行淘汰赛,选出一人参加学校的决赛,班主任杨老师计算了一下比赛的次数:
嗯,由于5是奇数,所以第一轮有一个队员轮空,第二轮中还得出现一次轮空,一共需要进行4场比赛.选拔出一个队员后,学校共有37个班级参加决赛,也采用淘汰赛,你知道需要多少场比赛吗?
你还没有算出来吗?
哈哈!
还在画表格呀?
告诉你吧,每场比赛淘汰一名队员,一共要淘汰36名队员,所以要进行36场比赛.不过,如果你想轻易地算出轮空的次数却没有这么容易,那么,怎样计算轮空的次数呢?
请看如下的分析:
不知道你注意了没有,如果比赛人数正好是2的幂,那么轮空次数就是0,也就是说,如果比赛人数是2,4,8,16,32等等,就不会出现轮空,如果不是这样类型的数,则至少要有一次轮空.假设有n个队员参赛,如果是奇数,那么第一轮就有一名队员要轮空,从第二轮开始的轮空数与（n+1）/2个队员参赛的轮空数是一样的,所以这时总的轮空数是:
（用L（n）表示n个队员参赛的轮空数）
L（n）=1+L（（n+1）/2）
如果n是偶数,那么,第一轮没有轮空,从第二轮开始的轮空数与n/2个队员参赛的轮空数是一样的,所以有:
L（n）=L（（n）/2）
我们可以统一处理以上两个公式:
L（n）=a0+L（（n+a0）/2）
其中a0为1或为0取决于n的奇偶性,下面的a1,a2,a3...也一样,假定2k<
n<
2k+1,并且规定n>
=2,因为最后总是冠亚军决赛,所以最后一场比赛总是2名队员.继续往下推,我们有:
L（n）=a0+a1+L（a0/4+a1/2+n/4）
=a0+a1+a2+L（a0/8+a1/4+a2/2+n/8）
=a0+a1+a2+...+ak-1+L（a0/2k+a2/2k-1+...+ak-1/2+n/2k）
k-1
k-1
=∑as+L（1/2k∑as2s+n/2k）
s=0
s=0
由于最后总有:
1/2k∑as2s+n/2k=2
即:
∑as2s=2k+1-n
s=0
我们看到,L（n）=a0+a1+a2+...+ak-1
所以,只要将2k+1-n化成二进制表示,其系数和就是轮空数,也就是其中1的个数.对于n=37,我们可以算出2k+1-n=64-37=27=11011,其中有4个1,所以共有四次轮空.
【玻璃杯问题】
巴尼在汽水柜台工作,他用10只玻璃杯给两名顾客出了个难题.巴尼:
这一排有10只玻璃杯,左边5只内有汽水,右边5只空着,请你使这排杯子变成满杯与空杯相互交错,条件是只允许移动4只杯子."
两位顾客看了看巴尼,又看了看杯子,摇了摇头,不知道怎么办.巴尼:
好吧,我来告诉你们,只要分别把第二只杯子和第七只杯子,第四只杯子和第九只杯子交换一下位置就成了."
这时,奎贝尔教授正好来到柜台前,看到了他们的把戏,并且来了点小花招.奎贝尔教授:
何需移动四只杯子,我只要移动两只就行了,你行不行?
巴尼纳闷地瞧着奎贝尔教授,不明就里.奎贝尔教授:
很简单,只要拿起第二只杯子,把里面的汽水倒进第七只杯子,再拿起第四只杯子,把里面的汽水倒入第九只杯子就行了."
12345678910
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虽然奎贝尔教授抓住话语间的模棱两可之处解决了这个问题,但这个问题并不像乍看上去那么简单.例如,还是这么个问题,但改成100只满杯挨着100只空杯排成一排,请考虑一下,若要使其变成满杯和空杯交错排列,需将多少对杯子互换位置?
显然,一般地,如果有2n只杯子,n只满杯,n只空杯,需要将[n/2]对杯子互换位置,方法是2k号杯子与2k+n号杯子互换位置即可（k=1,2,3,...）若n=100,则需互换50次.
有一个与上面分析的问题类似但困难的多的古典难题.咱们这回用两种不同颜色的杯子作为道具,但是移动方法却大相径庭:
每次只能一块儿移动一对相邻的杯子,使结果成交错排列,以n=3为例,解题过程如下图所示:
123456
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普遍的解是什么呢?
当n=1时,没有意义,n=2时你会发现,无解,当n>
2时,解此问题至少需要移动n次.n=4时,求解很不容易,你不妨试试,煞是有趣,或许你能够把当n>
=3时的解题过程公式化.不像上两道题比较容易,这个问题我还没有仔细研究过,先把这道题上载,大家也可以发表意见.
根据这一难题还可以产生许多奇异的变相问题,用来测验你的智力.这里试着举几例:
（1）.仍然是同时移动两只相邻的杯子,但是如果颜色不同,则要在移动过程中交换位置,这样一对黑白的杯子就变成一对白黑排列了.解8只杯子需要移动5次.对于10只杯子,5次移动也够了.我还尚不知道他的普遍解,也许你能找出来.
（2）.某种颜色的杯子少一个,即某种颜色的杯子有n只,另一种杯子有n+1只,其余规则不变,已经证明（不好意思,不是我证的,我还没有仔细研究过）,对于任意n只杯子,其解须作n次移动,而且这是最少的移动次数.
（3）.使用三种不同颜色的杯子.按照通常的方法移动一对相邻的杯子,使得所有这三种颜色交相辉映.当n=3（共有9个杯子）,其解需要作5次移动.在这些变相问题中,假设在最终形成的排列中,不允许留有任何空距.如果允许留有空距,则问题的解法就令人惊奇地变为移动4次了.
看来,尚有许多其他的变化形式,例如,假设一次可以同时移动3只或更多的杯子,在上述各变相问题中改用这种移动方式,结果会如何呢?
假如是第一次移动1只杯子,第二次移动2只杯子,第三次移动3只杯子,依次下去,那又会怎样?
给定某种颜色的杯子n个,另一种颜色的杯子也为n个,这个问题的解是否总是作n次移动?
这种种问题都有待于人们去解决,我还没有时间来考虑这些问题,这是非常有趣非常值得人们思考的趣题.
【帕斯卡三角形与道路问题】
苏珊很为难.她步行去学校,路上老是遇到斯廷基.斯廷基:
嘿嘿,苏珊,我可以陪你一起走吗?
苏珊:
不!
请走开."
苏珊心想:
我有办法了.每天早上我走不同的路线去学校.这样斯廷基就不知道在哪儿找到我了.这张地图表示苏珊的住所和学校之间的所有街道.苏珊去学校时,走路的方向总是朝南或朝东.她总共有多少条路线呢?
我真想知道有多少条路线可走.让我想一想.要算出多少条路线看来并不简单.嗯.啊哈!
一点不难,简单的很!
苏珊想到了什么好主意?
她的推理如下:
在我家这个角点上写一个1,因为我只能从这一点出发.然后在遇刺相隔一个街区的两个角点上各写一个1,因为到那里只有一条途径.现在,我在这个角点上写上2,因为到达那里可以有两条途径.苏珊发现2是1加1之和,她忽然领悟:
若到某一个仅有一条途径,则该角点上的数字为前一个角点上的数字;
若有两条途径,则为前两个角点上的数字之和.
瞧,又有四个角点标上了数字,我马上把其他角点也标上数字."
请你替苏珊把剩下的角点标上数字,并且告诉她步行到学校共有多少条不同的路线.
苏珊的家
1
1
2
3
5
学校
剩下的5个点,自上而下,从左至右分别标以1,4,9,4,13.最后一点上的13表示苏珊去学校共有十三条最短路径.
苏珊所发现的是一种快速而简单的算法,用来计算从她家到学校的最短路径共有多少条.要是她把这些路径一条一条地画出来,然后再计数,这样肯定麻烦,还容易出错.如果街道的数目很多,那么这种方法根本就行不通.你不妨把这十三条路线都画出来,这样你就更能体会到苏珊的算法是多么地有效了.
你对这种算法是否已经理解,可以再画一些不同的街道网络,然后用这种算法来确定从任意点A到另一任意点B的最短路线共有多少条.网络可以是矩形网格,三角形网格,平行四边形网格和蜂窝状的正六边形网格.也可以用其他方法（例如组合公式）求解,但这种方法十分复杂,需要很高的技巧.
在国际象棋棋盘上,"
车"
从棋盘的一角到对角线上另一角的最短路径共有多少条?
就像苏珊给街道交点标上数字一样,把棋盘上所有格子也都填上数字,于是问题就迎刃而解了."
只能沿着右上方向朝另一个角的目标移动,便可以求出共有多少条最短路径.如图所示:
8
36
120
330
792
1716
3432
7
28
84
210
462
924
6
21
56
126
252
15
35
70
4
10
20
车
把整个棋盘正确标号,根据所标的数字,一眼就能看出在棋盘上从一个角出发到任意一角,有多少条最短路线.右上角的数字是3432,所以"
从一角到对角线的另一角的最短路径共有3432条.
让我们把棋盘沿着左上至右下的对角线一截为二,使其成为如下图所示的阵列.此三角形上的数字与著名的怕斯卡三角形（我国叫做杨辉三角形）的数字是相同的,当然,计算街道路径条数的算法,恰恰就是构造怕斯卡三角形所依据的过程.这种同构现象使得怕斯卡三角形成为无数有趣特性的不竭的源泉.
11
121
1331
14641
...........
利用怕斯卡三角形立即可以求出二项式展开的系数,即求（a+b）的任意次幂,同样也可以用来解出初等概率论中的许多问题.请注意,上图中自顶部至底部,从边沿一格来说是1,随着向中间移动,数字逐渐增加.也许你见过根据怕斯卡三角形所制成的一种装置:
在一快倾斜的板上,成百个小球滚过木钉进入各格的底部.全部小球呈现出一条钟形的二项式分布曲线,因为到达每个底部孔位的最短路径的条数就是二项式展开的系数.
显然,苏珊的算法同样适用于由矩阵格子组成的三维结构.设有一个边长为3的立方体,分成27个立方体单元,把它看成棋盘,处于某一个角格上的"
可以向三个坐标上的任何位置作直线移动,试问"
到空间对角线的另一个角格有多少条最短路径?
【错抱的婴儿问题】
在某个医院,四个婴儿的身份标签被搞错了.两个婴儿的标签不错,其他两个婴儿的标签弄错了.发生这种错误的情况有多少种?
一种简单的计算方法是把所有可能的情况列成一个表格,其结果表明两个婴儿搞错的情况共有六种.现在假设标签搞乱了后,恰有三个是正确的,只有一个搞错了,问这个问题有多少种不同情况?
你是否用列表的方法求解?
还是凭灵机一动想出来的?
ABDC
ADCB
ACBD
DBCA
CBAD
BACD
这个问题许多人都茫然不解,其原因是他们作了下列错误的假设:
在四个婴儿中,三个婴儿与其标签相符的情况有许多种.但是你如果用"
鸽笼原理"
思索一下,情况就一清二楚了.假设有四个鸽笼,一一标出应放物品的名称.若三样物品都放在了正确的位置中,那么第四样物品只有一处可放,自然该处即为那件物品应放的位置,正确的可能只有一种,即所有四样物品都放置恰当这一情况,而不可能有其他更多的情况.一般地,如果n件物品,其中已经有n-1件放对了地方,那么剩下的一件也必定放置在正确的位置上了.
有一个关于三样东西都标签错误的古典问题.一旦领悟到可以把情况的数目缩小为1,这个问题也就迎刃而解了.设在桌子上有三个盖着盖子的盒子,其中一个盒子内有两粒绿豆,第二个盒子内有两粒红豆,另一个盒子内有一粒绿豆和一粒红豆,三个盒子盖子上分别写着"
红豆"
"
红绿豆"
和"
绿豆"
但是所有标签都标错了.你能从任意一个盒子内取出一粒豆子后,便能判断出所有盒子内都装着什么豆子吗?
同上面的讨论一样,人们一般总是首先考虑有多少种不同的可能性,但是你如果能够洞悉底蕴,一眼就可以看出只可能有一种情况,从误标为"
的盒子中取出一粒豆子,如果不是一粒绿豆就是一粒红豆,若是一粒绿豆,那么盒子里的另一粒也必定是一粒绿豆,那么两粒红豆必定在标着"
的盒子内,反之,若取出的是一粒红豆,那么另一粒必定也是红豆,两粒绿豆肯定放在标着"
的盒子内,其他一盒内的情况就一清二楚了.可以看出,三个盒子全都误标的情况只可能有如上两种.从标着"
的盒子内取出一粒便可以排除一种情况,仅剩下唯一正确的情况.
有时,上述问题也会以稍微复杂的形式出现.在三个盒子中,从任意一个盒子内取出最少的豆子数进行试看,以此来判断三个盒子内各装有什么豆子.唯一的办法是从标着"
的盒子中取出一粒豆子试看.也许你能提出一些更加复杂的问题,诸如每个盒子内不只两粒豆子,或者盒子不只三个等等.
其他许多发人深省的难题都与上面的婴儿问题有关,同样也涉及到初等概率论.例如,假设婴儿的标签以随机的方式搞乱,那么四个标签全部正确的概率是多少?
全部弄错的概率是多少?
至少有一个正确的概率是多少?
恰好有一个正确的概率是多少?
至少有两个正确的概率是多少?
恰好有两个正确的概率是多少?
最多有两个正确的概率又是多少?
诸如此类,不一而足.
"
至少一个"
的问题,就一般的形式来说,属于古典趣味数学著作中的问题.这个问题通常如下所述:
在一家旅店,由n个人在仔细检查自己的帽子.寄存部的粗心女郎没能使寄存牌和帽子做到一一对应,她随便地把寄存牌发了出去,问至少一人取回自己的帽子的概率是多少呢?
结果发现,当n增大时,其概率迅速地趋近于极限（1-1/e）,或者说比1/2稍微好一点,其中e是著名的欧拉常数,等于2.71828182845904590...,在概率论问题中经常反复地出现.
【塑料杯问题】
奎贝尔教授出了个难题.奎贝尔教授:
取三个喝咖啡用的泡沫塑料空杯,把11枚硬币投入杯子中,要求每一只杯子中的硬币数目都是奇数.奎贝尔教授:
这不难做到,是吗?
方法很多,你可以在一只杯子中放入一枚硬币,第二只杯子中放入三枚硬币,最后一个杯子中放入七枚硬币.这的确很容易.奎贝尔教授:
但是,你能否把十枚硬币放入同样的杯子中,使得每只杯子中的硬币数都是奇数?
这也是能够办到的,不过你得动点脑筋才行.奎贝尔教授:
但愿你还没有泄气.你只要想到把其中一只杯子放入另一只装着偶数个硬币的杯子中,就使每只杯子中都是奇数枚硬币了."
啊哈!
一旦悟出杯中套杯,同一个集合的硬币可以属于不止一只杯子,这个棘手的问题也就迎刃而解了.用集合论的术语来说,我们的解是7个元素的集合和3个元素的集合,后一个集合又包含1个元素的子集.此解可以用图表示如下:
1
2
7
试求所有其余的解亦很有趣.要得到十个解并不困难,上述解法即为其中之一.但若要发现其余的五个解,或者说十五个全部的解,却还需要花费一番精力.求出十五个解之后,可以把硬币和杯子的数目,以及对于每只杯中放入硬币数的要求作一些改变,从而产生一些新的问题.领悟到一个集合的部分或全部可以包含于另一个集合之中,从而可以作两次计算,这是解决许多著名难题和悖论问题的钥匙.下面是一个趣味问题.
一个男孩子逃学已经数周,学校考勤人员找到了他.小孩开始向他解释为何没有时间上学:
我每天睡觉需要8小时,8X365总共2920小时,一天有24小时,所以2920/24即122天.
星期六和星期日不用上学.一年总共约有104天.
我们还有60天暑假.
我一天吃饭需要花3小时,一年就要3X365,共有1095小时,共有1095/24即45天左右.
我每天还需要2小时的课外活动.算起来一年也要有2X365,共730小时,或730/24即30天左右."
小孩把所有这些天数相加如下:
睡觉
122
周末
104
暑假
60
用餐
45
课外活动
30
------
361天
你瞧,"
小孩说"
仅剩下4天用作病假,我还没把学校每年应放的节假日算进去呢!
考勤人员听了后对小孩的数字研究了半天,看不出有什么破绽.请你的朋友们试试这个悖论问题,看有多少人能够指出其谬误所在,即把子集不止一次地算进去.这孩子所说的各项就
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