第八节 直线与圆锥曲线的位置关系.docx

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第八节直线与圆锥曲线的位置关系

第八节　直线与圆锥曲线的位置关系

A组　基础题组

1.直线mx+ny=4和圆O:

x2+y2=4没有交点,则过点（m,n）的直线与椭圆+=1的交点（　　）

A.至多有一个B.有2个C.有1个D.没有

2.已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切,则a等于（　　）

A.B.C.D.4

3.设直线y=kx与椭圆+=1相交于A,B两点,分别过A,B向x轴作垂线,若垂足恰为椭圆的两个焦点,则k等于（　　）

A.±B.±C.±D.±2

4.已知直线y=2（x-1）与抛物线C:

y2=4x交于A,B两点,点M（-1,m）,若·=0,则m等于（　　）

A.B.C.D.0

5.已知椭圆C:

+=1（a>b>0）,F（,0）为其右焦点,过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C的方程为　　　　　　　. 

6.如图,过抛物线y=x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2+（y-1）2=1交于A,B,C,D四点,则·=　　　　. 

7.已知抛物线C:

y2=2px过点P（1,1）.过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.

（1）求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;

（2）求证:

A为线段BM的中点.

8.（2018贵州贵阳质检）已知椭圆C:

+=1（a>b>0）过点,离心率为,左,右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点.

（1）求椭圆C的方程;

（2）当△F2AB的面积为时,求直线的方程.

B组　提升题组

1.过抛物线y2=4x的焦点作两条互相垂直的弦AB,CD,则+等于（　　）

A.2B.4C.D.

2.若椭圆的中心在原点,一个焦点为（0,2）,直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1,则这个椭圆的方程为　　　　　　. 

3.设椭圆+=1（a>b>0）的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y2=2px（p>0）的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.

（1）求椭圆的方程和抛物线的方程;

（2）设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A）,直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.

4.如图,已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.

（1）求实数m的取值范围;

（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）.

答案精解精析

A组　基础题组

1.B　∵直线mx+ny=4和圆O:

x2+y2=4没有交点,

∴>2,∴m2+n2<4,

∴+<+=1-m2<1,

∴点（m,n）在椭圆+=1的内部,

∴过点（m,n）的直线与椭圆+=1的交点有2个.

2.C　由消去y得ax2-x+1=0,

所以

解得a=.

3.A　将直线与椭圆方程联立得

化简整理得（3+4k2）x2=12,（*）

因为分别过A,B向x轴作垂线,垂足恰为椭圆的两个焦点,

故方程的两个根为±1,

代入方程（*）,得k=±.故选A.

4.B　由题意可得

8x2-20x+8=0,即2x2-5x+2=0,

解得x=2或x=,

则A（2,2）,B.

由·=0,M（-1,m）,

可得（3,2-m）·=0.

化简2m2-2m+1=0,

解得m=.故选B.

5.答案　+=1

解析　由题意得

解得

∴椭圆C的方程为+=1.

6.答案　-1

解析　不妨设直线AB的方程为y=1,联立解得x=±2,则A（-2,1）,D（2,1）,因为B（-1,1）,C（1,1）,所以=（1,0）,=（-1,0）,所以·=-1.

7.解析　

（1）由抛物线C:

y2=2px过点P（1,1）,得p=.

所以抛物线C的方程为y2=x.

抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.

（2）证明:

由题意,设直线l的方程为y=kx+（k≠0）,l与抛物线C的交点为M（x1,y1）,N（x2,y2）.

由得4k2x2+（4k-4）x+1=0.

则x1+x2=,x1x2=.

因为点P的坐标为（1,1）,所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为（x1,x1）.直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.

因为y1+-2x1=

=

=

==0,

所以y1+=2x1.

故A为线段BM的中点.

8.解析　

（1）因为椭圆C:

+=1（a>b>0）过点,

所以+=1.①

又因为离心率为,所以=,

所以=.②

联立①②解得a2=4,b2=3.

所以椭圆C的方程为+=1.

（2）当直线的倾斜角为时,A,B点的坐标为,,则=|AB|·|F1F2|=×3×2=3≠.

当直线的倾斜角不为时,设直线方程为y=k（x+1）,

代入+=1得（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0.

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,

则x1+x2=-,x1x2=,

所以=|y1-y2|·|F1F2|

=|k|

=|k|

==,

所以17k4+k2-18=0,

解得k2=1,所以k=±1,

所以所求直线的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.

B组　提升题组

1.D　由抛物线y2=4x,可知2p=4,

设弦AB所在直线l1的倾斜角为θ（θ为锐角）,弦CD所在直线l2的倾斜角为+θ,

AB,CD为过焦点的弦,|AB|=,

|CD|==,

所以+=+==.故选D.

2.答案　+=1

解析　因为椭圆的中心在原点,一个焦点为（0,2）,

所以a2-b2=4,

所以可设椭圆方程为+=1,

联立得

得（10b2+4）y2-14（b2+4）y-9b4+13b2+196=0,

设直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的端点的坐标为（x1,y1）,（x2,y2）,由一元二次方程根与系数的关系及题意得y1+y2==2,解得b2=8.

所以a2=12.

所以椭圆的方程为+=1.

3.解析　

（1）设F的坐标为（-c,0）.依题意,=,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.

所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.

（2）设直线AP的方程为x=my+1（m≠0）,与直线l的方程x=-1联立,可得点P,故Q.将x=my+1与x2+=1联立,消去x,整理得（3m2+4）·y2+6my=0,解得y=0或y=.由点B异于点A,可得点B.由Q,可得直线BQ的方程为（x+1）-+1·=0,令y=0,解得x=,故D.所以|AD|=1-=.又因为△APD的面积为,故××=,整理得3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以m=±.

所以,直线AP的方程为3x+y-3=0或3x-y-3=0.

4.解析　

（1）由题意知m≠0,

可设直线AB的方程为y=-x+b.

由消去y,

得x2-x+b2-1=0.

因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,

所以Δ=-2b2+2+>0,①

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,

则x1+x2=,x1x2=,

将AB的中点代入直线方程y=mx+,解得

b=-.②

由①②得m<-或m>.

（2）令t=∈∪,

则|AB|=·,

且O到直线AB的距离为d=.

设△AOB的面积为S（t）,所以S（t）=|AB|·d=≤.

当且仅当t2=时,等号成立.

故△AOB面积的最大值为.