当x>40时,y′>0.
所以当x=40时,y有最小值.
8.函数f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,则a的取值范围是________.
【答案】(-∞,0)
【解析】f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,即函数f(x)恰有两个极值点,即f′(x)=0有两个不等实根.
∵f(x)=ax3+x,∴f′(x)=3ax2+1.
要使f′(x)=0有两个不等实根,则a<0.
9.函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*.若a1=16,则a1+a3+a5的值是________.
【答案】21
10.设函数f(x)=,g(x)=,对任意x1、x2∈(0,+∞),不等式≤恒成立,则正数k的取值范围是________.
【答案】[1,+∞)
解析】因为对任意x1、x2∈(0,+∞),
不等式≤恒成立,所以≥max.
因为g(x)=,
所以g′(x)=(xe2-x)′=e2-x+xe2-x·(-1)=e2-x(1-x).
当00;当x>1时,g′(x)<0,
所以g(x)在(0,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减.
所以当x=1时,g(x)取到最大值,即g(x)max=g
(1)=e;
因为f(x)=,当x∈(0,+∞)时,
f(x)=e2x+≥2e,当且仅当e2x=,
即x=时取等号,故f(x)min=2e.
所以max==.
所以≥.又因为k为正数,所以k≥1.
二、解答题:
解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内。
(共4题,每小题10分,共计40分).
11.【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】(本题满分16分)
已知,定义.
(1)求函数的极值;
(2)若,且存在使,求实数的取值范围;
(3)若,试讨论函数的零点个数.
【答案】
(1)的极大值为1,极小值为;
(2);(3)当时,有两个零点;当时,有一个零点;当时,有无零点.
【解析】
数,可得存在使得时,,在一个零点,当时无零点,最终可得零点个数为2.
试题解析:
(1)∵函数,................................1分
∴..................... 1分
令,得或,∵,∴,列表如下:
0
0
0
极大值
极小值
∴,即...........................7分
(3)由
(1)知,在上的最小值为,
①当,即时,在上恒成立,
∴在上无零点...................8分
②当即时,,又,
∴在上有一个零点,..............9分
③当,即时,设,
∵,∴在上单调递减,
12.【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】(本小题满分16分)
已知函数.
(1)求函数在区间上的最小值;
(2)令是函数图象上任意两点,且满足求实数的取值范围;
(3)若,使成立,求实数的最大值.
【答案】
(1)当时,;当时,.
(2)(3).
【解析】
试题分析:
(1)先求导数,再求导函数零点,根据零点与定义区间位置关系分类讨论函数单调性:
当时,在上单调递增,当时,在区间上为减函数,在区间上为增函数,最后根据单调性确定函数最小值
(2)先转化不等式不妨取
当时,在区间上为减函数,在区间上为增函数,
的最小值为.
综上,当时,;当时,.…………………3分
(2),对于任意的,不妨取,则,
则由可得,
变形得恒成立,………………………5分
令,
则在上单调递增,
故在恒成立,………………………7分
在恒成立.
,当且仅当时取,
.………………………10分
13.【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知函数(为自然对数的底数).
(1)求的单调区间;
(2)是否存在正实数使得,若存在求出,否则说明理由;
(3)若存在不等实数,,使得,证明:
.
【答案】
(1)单调递减区间是,单调递增区间为.
(2)不存在(3)详见解析
【解析】
试题分析:
(1)先求导数,再求导函数符号确定单调区间:
单调递减区间是,单调递增区间为.
(2)构造函数,,确定其是否有零点即可,先求导,确定为上的增函数,因此,无零点,即,
故不存在正实数使得成立.
(3)若存在不等实数,,使得,则和中,必有一个在,另一个在,不妨设,.
①若,则,由
(1)知:
函数在上单调递减,所以;
②若,由
(2)知:
当,则有,
而,所以,即,
而,,由
(1)知:
函数在上单调递减,
∴,即有,
由
(1)知:
函数在上单调递减,所以;
综合①,②得:
若存在不等实数,,使得,则总有.
14.【南京市2017届高三年级学情调研】(本小题满分16分)
已知函数.
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)当时,讨论函数的单调性;
(3)当时,记函数的导函数的两个零点是和(),求证:
.
【答案】
(1)2x-y-2=0.
(2)详见解析(3)详见解析
【解析】
试题分析:
(1)由导数几何意义得曲线在处的切线斜率为f′
(1),所以先求导f′(x)=2x -1+,再求斜率k=f′
(1)=2,最后由f
(1)=0,利用点斜式可得切线方程:
2x-y-2=0.
(2)先求函数导数:
f′(x)=2ax-(2a+1)+=.再分类讨论导函数在定义区间上的零点:
当a≤0时,一个零
即2x-y-2=0.……………………3分
(2)因为b=2a+1,所以f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx,
从而f′(x)=2ax-(2a+1)+==,x>0.…………5分
当a≤0时,x∈(0,1)时,f′(x)>0,x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,
所以f(x)在区间(0,)和区间(1,+∞)上单调递增,在区间(,1)上单调递减.
……………………10分
(3)方法一:
因为a=1,所以f(x)=x2-bx+lnx,从而f′(x)=(x>0).
由题意知,x1,x2是方程2x2-bx+1=0的两个根,故x1x2=.
记g(x)=2x2-bx+1,因为b>3,所以g()=<0,g
(1)=3-b<0,
所以x1∈(0,),x2∈(1,+∞),且bxi=2+1(i=1,2).……………………12分
f(x1)-f(x2)=()-(bx1-bx2)+ln=-()+ln.
因为x1x2=,所以f(x1)-f(x2)=--ln
(2),x2∈(1,+∞).………………14分
令t=2∈(2,+∞),φ(t)=f(x1)-f(x2)=-lnt.
因为φ′(t)=≥0,所以φ(t)在区间(2,+∞)单调递增,
所以φ(t)>φ
(2)=-ln2,即f(x1)-f(x2)>-ln2.……………………16分