当x>40时，y′>0.
所以当x＝40时，y有最小值．
8.函数f（x）＝ax3＋x恰有三个单调区间，则a的取值范围是________．
【答案】（－∞，0）
【解析】f（x）＝ax3＋x恰有三个单调区间，即函数f（x）恰有两个极值点，即f′（x）＝0有两个不等实根．
∵f（x）＝ax3＋x，∴f′（x）＝3ax2＋1.
要使f′（x）＝0有两个不等实根，则a<0.
9.函数y＝x2（x>0）的图象在点（ak，a）处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
【答案】21
10.设函数f（x）＝，g（x）＝，对任意x1、x2∈（0，＋∞），不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是________．
【答案】[1，＋∞）
解析】因为对任意x1、x2∈（0，＋∞），
不等式≤恒成立，所以≥max.
因为g（x）＝，
所以g′（x）＝（xe2－x）′＝e2－x＋xe2－x·（－1）＝e2－x（1－x）．
当00；当x>1时，g′（x）<0，
所以g（x）在（0,1]上单调递增，在[1，＋∞）上单调递减．
所以当x＝1时，g（x）取到最大值，即g（x）max＝g
（1）＝e；
因为f（x）＝，当x∈（0，＋∞）时，
f（x）＝e2x＋≥2e，当且仅当e2x＝，
即x＝时取等号，故f（x）min＝2e.
所以max＝＝.
所以≥.又因为k为正数，所以k≥1.
二、解答题：
解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。
（共4题，每小题10分，共计40分）．
11.【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】（本题满分16分）
已知，定义．
（1）求函数的极值；
（2）若，且存在使，求实数的取值范围；
（3）若，试讨论函数的零点个数．
【答案】
（1）的极大值为1，极小值为；
（2）；（3）当时，有两个零点；当时，有一个零点；当时，有无零点．
【解析】
数，可得存在使得时，，在一个零点，当时无零点，最终可得零点个数为2．
试题解析：
（1）∵函数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分
令，得或，∵，∴，列表如下：
0
0
0
极大值
极小值
∴，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
（3）由
（1）知，在上的最小值为，
①当，即时，在上恒成立，
∴在上无零点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
②当即时，，又，
∴在上有一个零点，．．．．．．．．．．．．．．9分
③当，即时，设，
∵，∴在上单调递减，
12．【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】（本小题满分16分）
已知函数．
（1）求函数在区间上的最小值；
（2）令是函数图象上任意两点，且满足求实数的取值范围；
（3）若，使成立，求实数的最大值．
【答案】
（1）当时，；当时，.
（2）（3）.
【解析】
试题分析：
（1）先求导数，再求导函数零点，根据零点与定义区间位置关系分类讨论函数单调性：
当时，在上单调递增，当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，最后根据单调性确定函数最小值
（2）先转化不等式不妨取
当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，
的最小值为.
综上，当时，；当时，.…………………3分
（2）,对于任意的，不妨取，则,
则由可得，
变形得恒成立，………………………5分
令，
则在上单调递增，
故在恒成立，………………………7分
在恒成立.
，当且仅当时取，
.………………………10分
13.【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知函数（为自然对数的底数）．
（1）求的单调区间；
（2）是否存在正实数使得，若存在求出，否则说明理由；
（3）若存在不等实数，，使得，证明：
．
【答案】
（1）单调递减区间是，单调递增区间为．
（2）不存在（3）详见解析
【解析】
试题分析：
（1）先求导数，再求导函数符号确定单调区间：
单调递减区间是，单调递增区间为．
（2）构造函数，，确定其是否有零点即可，先求导，确定为上的增函数，因此，无零点，即，
故不存在正实数使得成立．
（3）若存在不等实数，，使得，则和中，必有一个在，另一个在，不妨设，．
①若，则，由
（1）知：
函数在上单调递减，所以；
②若，由
（2）知：
当，则有，
而，所以，即，
而，，由
（1）知：
函数在上单调递减，
∴，即有，
由
（1）知：
函数在上单调递减，所以；
综合①，②得：
若存在不等实数，，使得，则总有．
14.【南京市2017届高三年级学情调研】（本小题满分16分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，讨论函数的单调性；
（3）当时，记函数的导函数的两个零点是和（），求证：
.
【答案】
（1）2x－y－2＝0．
（2）详见解析（3）详见解析
【解析】
试题分析：
（1）由导数几何意义得曲线在处的切线斜率为f′
（1），所以先求导f′（x）＝2x －1＋，再求斜率k=f′
（1）＝2，最后由f
（1）＝0，利用点斜式可得切线方程：
2x－y－2＝0．
（2）先求函数导数：
f′（x）＝2ax－（2a＋1）＋＝．再分类讨论导函数在定义区间上的零点：
当a≤0时，一个零
即2x－y－2＝0．……………………3分
（2）因为b＝2a＋1，所以f（x）＝ax2－（2a＋1）x＋lnx，
从而f′（x）＝2ax－（2a＋1）＋＝＝，x＞0．…………5分
当a≤0时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，＋∞）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在区间（0，）和区间（1，＋∞）上单调递增，在区间（，1）上单调递减．
……………………10分
（3）方法一：
因为a＝1，所以f（x）＝x2－bx＋lnx，从而f′（x）＝（x＞0）．
由题意知，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的两个根，故x1x2＝．
记g（x）＝2x2－bx＋1，因为b＞3，所以g（）＝＜0，g
（1）＝3－b＜0，
所以x1∈（0，），x2∈（1，＋∞），且bxi＝2＋1（i＝1，2）．……………………12分
f（x1）－f（x2）＝（）－（bx1－bx2）＋ln＝－（）＋ln．
因为x1x2＝，所以f（x1）－f（x2）＝－－ln
（2），x2∈（1，＋∞）．………………14分
令t＝2∈（2，＋∞），φ（t）＝f（x1）－f（x2）＝－lnt．
因为φ′（t）＝≥0，所以φ（t）在区间（2，＋∞）单调递增，
所以φ（t）＞φ
（2）＝－ln2，即f（x1）－f（x2）＞－ln2．……………………16分
升级会员 