一元二次不等式的经典例题及详解.docx
《一元二次不等式的经典例题及详解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一元二次不等式的经典例题及详解.docx（48页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习
例1解不等式：
（1）2x3x215x0；
（2）（x4）（x5）2（2x）30.
解下列分式不等式:
例2
（1）
丄1
x2
（2）
例8解不等式4x210x33
2
cxbxa0的解集.
例14解不等式■.x23x108x•
例1解：
（1）原不等式可化为
x（2x5）（x3）0
5
把方程x（2x5）（x3）0的三个根&0,x2-,Xa3顺次标上数轴•然后从右上
2
开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分.
5
•••原不等式解集为x-x0或x3
2
（2）原不等式等价于
（x4）（x5）2（x2）30
x50x5
（x4）（x2）0x4或x2
分析：
当分式不等式化为上凶0（或0）时，要注意它的等价变形
g（x）
①他0f（x）g（x）0g（x）
②器00或胡0f（x）0或f（x）曲）0
例2
（1）解：
原不等式等价于
3x3
x2x2x23（x2）x（x2）（x2）（x2）
（x6）（x1）
（x2）（x2）
用“穿根法”
•••原不等式解集为（
0
x2
x25x60
（x
（x
（x2）（x2）
6）（x
2）（x
1）（x
2）
2）（x2）0
0
2）
1,2
6,
2x2
3x27x
3x
（2x2
3x
1）（3x2
7x
2x2
3x
1
0.
2x2
3x2
7x
2
或
0
3x2
x1或1
x
1或:
x2
3x
7x
2）0
32
（2）解法一：
原不等式等价于
（2,
解法二：
原不等式等价于
（2x1）（x1）
（3x1）（x2）
（2x1）（x1）（3x
1）（x2）0
用“穿根法”
2）&1）⑵
例3分析：
解此题的关键是去绝对值符号，
•••原不等式解集为（
而去绝对值符号有两种方法:
是根据绝对
值的意义a
a（a0）
a（a0）
二是根据绝对值的性质:
a,x.axa或x
a，因此本题有如
F两种解法.
解法一：
原不等式
2x
2x
•••2x3或1x2
故原不等式的解集为x1x3.
解法二：
原不等式等价于
（x2）x24x2
2
x
2
x
x2
（x2）
2x3故1
2
例4分析：
这是一个分式不等式，其左边是两个关于
x3.
x二次式的商，由商的符号法则，它等价
于下列两个不等式组:
x26x50亠x26x50
2或2
124xx20124xx20
所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集.也可用数轴标根法求解.解法一：
原不等式等价下面两个不等式级的并集：
x26x50,亠x26x50,
2或2
124xx20124xx20
（x1）（x5）0,或（x1）（x5）0,
（x2）（x6）0;或（x2）（x6）0;
1x5,x1,或x5,
；或、
2x6x2,或x6
1x5,或x2或x6.
•••原不等式解集是{xx2,或1x5,或x6}.
解法二：
原不等式化为（x1）（x5）0.
（x2）（x6）
画数轴，找因式根，分区间，定符号.
（X1）（X5）符号
（x2）（x6）、
+I-I4!
-I+
•••原不等式解集是{xx2,或1x5,或x6}.
说明：
解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解.
解法二中，“定符号”是关键•当每个因式x的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他
各区间正负相间；也可以先决定含0的区间符号，其他各区间正负相间•在解题时要正确运用.
例5分析：
不等式左右两边都是含有x的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0
再解.
解之，得原不等式的解集为{x1x2或x3}•
项使一边为0再解.
另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理.
例6分析：
进行分类讨论求解.
解：
当m0时，因30一定成立，故原不等式的解集为R.
31
当m0时，解得三x丄；mm
13
当m0时，解得丄x-.
mm
31
•••当m0时，原不等式的解集为x3x-;
mm
13
当m0时，原不等式的解集为x-x—
mm
说明：
解不等式时，由于mR，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解•因为当
m0时，原不等式化为30，此时不等式的解集为R，所以解题时应分m0与m0两种情况来讨论.
在解出m2x22mx30的两根为为
3
x2m
1
后，认为
m
--，这也是易出现的错
mm
误之处.这时也应分情况来讨论：
当m
0时，
31t
;当m
mm
0时，
31
mm
例7分析：
先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解.
x
a
2
a
x2，
由a0，得：
（1）
x
1,
（2）
2x
2（a
1）x
a210;
x1.
由判别式4（a
1）2
4（a2
1）
8a0,故不等式
x22（a
1）xa2
10的解是
a1.2axa1
2a.
当0a2时，
a
a1
2a
1,a12a
1,不
等式组
（1）的解是
2
a1,2ax1，不等式组
（2）的解是x1.
当a2时，不等式组⑴无解，
（2）的解是xa.
2
综上可知，当0a2时，原不等式的解集是a1,2a,;当a2时，原不等式
的解集是
说明：
本题分类讨论标准“0a2,a2”是依据“已知a0及⑴中‘x-,x1'
2
（2）中‘xa，x1'确定的•解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高
2
考的热点•一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定.
本题易误把原不等式等价于不等式2axa2（1x）.纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式
基本类型的解法.
例8分析：
先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可.
解答：
去掉绝对值号得34x210x33,
•••原不等式等价于不等式组
2x（2x5）0
3.
2（x3）（2x1）0
•原不等式的解集为
说明：
解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解.
例9分析：
不等式中含有字母a,故需分类讨论.但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：
求出方程x2（aa2）xa30的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母a,故需比较两根的大小，从而引出讨论.
解：
原不等式可化为（xa）（xa2）0.
⑴当aa2（即a1或a0）时，不等式的解集为：
xxa或xa2；
（2）当aa2（即0a1）时，不等式的解集为：
xxa2或xa;
（3）当aa2（即a0或1）时，不等式的解集为：
xxR且xa.
说明：
对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论.比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根％a,X2a2，因此不等式
的解就是x小于小根或x大于大根.但a与a2两根的大小不能确定，因此需要讨论aa2,
aa2,aa2三种情况.
分析：
按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数c的正负，然后求出方程cx2bxa0的两根即可解之.
例10解：
（解法1）由题可判断出，是方程ax2bxc0的两根，
bc
aa
又ax2bxc0的解集是xx，说明a0.
而0,00—0c0,
a
2.c2ba门
…cxbxa0xx0.
cc
•••0
说明：
（1）万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；
（2）
结合使用韦达定理，本题中只有，是已知量，故所求不等式解集也用，表示，不等式
系数a,b,c的关系也用，表示出来；（3）注意解法2中用“变换”的方法求方程的根.
例11分析：
不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形,b式子.
再根据解集列出关于a、
解:
..2
-xx
1（xy
2
40，
2
12
3
x
x1（x
）2
-0,
2
4
•••原不等式化为
（2ab）x2（ab）xab0.
依题意
ab
2ab
ab
2ab
5
a-
2
3.
b-
2
说明：
解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解.
例12分析：
此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为
x1x2，不等式
22
axbx20需满足条件a0,0,axbx20的两根为x11,x22.
解法-
-*:
设ax2bx20的两根为
x1
x2，由韦达定理得
b
b
X1
X2
—
—
1
2
a由题意：
a
2
2
X1
X2
—
—
1
2
a
a
•a
1,
b1，此时满足
a0,
b24a
（2）0.
解法二
一:
构造解集为x1
x2
的
元二次不等式：
（x1）（x2）0，即x2x20,此不等式与原不等式
ax2bx20应为同解不等式,
故需满足:
说明：
本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能
力.对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好.
例13分析：
本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想.
①当a
0时，①式变为
（x
1）（x
1）
0，•不等式的解为
x1或x
1
a
a
②当a
0时，①式变为
（x
1）（x
a
1）
0.②
J1
1a，•当0
a
1时，
1
1，此时②的解为1
1
X丄•当
1
a1时，一1
a
a
a
a
a
此时②的解为
1x1.
升级会员 