一元二次不等式的经典例题及详解.docx

1、一元二次不等式的经典例题及详解一元二次不等式专题练习例 1 解不等式：(1) 2x3 x2 15x 0； (2) (x 4)(x 5)2(2 x)3 0 .解下列分式不等式:例2(1 )丄1x 2 (2 )例8解不等式4x2 10x 3 32cx bx a 0的解集.例14解不等式. x2 3x 10 8 x 例1解：(1)原不等式可化为x(2x 5)( x 3) 05把方程x(2x 5)(x 3) 0的三个根& 0,x2 -,Xa 3顺次标上数轴然后从右上2开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分.5原不等式解集为 x - x 0或x 32(2)原不等式等价于(x 4)( x 5)2(

2、x 2)3 0x 5 0 x 5 (x 4)(x 2) 0 x 4或 x 2分析：当分式不等式化为上凶 0(或 0)时，要注意它的等价变形g(x)他 0 f (x) g(x) 0 g(x)器 0 0或胡0 f(x) 0或f(x)曲)0例2 (1)解：原不等式等价于3x3x 2 x 2 x 2 3(x 2) x(x 2) (x 2)(x 2)(x 6)(x 1)(x 2)(x 2)用“穿根法”原不等式解集为（0x 2x2 5x 6 0(x(x(x 2)(x 2)6)(x2)(x1)(x2)2)(x 2) 002)1,26,2x23x2 7x3x(2x23x1)(3x27x2x23x10 .2x2

3、3x27x2或03x2x 1或1x1或:x 23x7x2) 03 2（2）解法一：原不等式等价于(2,解法二：原不等式等价于(2x 1)(x 1)(3x 1)(x 2)(2x 1)( x 1)(3x1) (x 2) 0用“穿根法”2）&1）例3分析：解此题的关键是去绝对值符号，原不等式解集为（而去绝对值符号有两种方法:是根据绝对值的意义aa(a 0)a(a 0)二是根据绝对值的性质:a, x.a x a或 xa，因此本题有如F两种解法.解法一：原不等式2 x2 x 2x3 或 1x2故原不等式的解集为 x1 x 3 .解法二：原不等式等价于(x 2) x2 4 x 22x2xx 2(x 2)2

4、x3 故 12例4分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 3.x二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两个不等式组:x2 6x 5 0 亠 x2 6x 5 02 或 212 4x x2 0 12 4x x2 0所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集.也可用数轴标根法求解. 解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：x2 6x 5 0,亠 x2 6x 5 0,2 或 212 4x x2 0 12 4x x2 0(x 1)(x 5) 0,或(x 1)(x 5) 0,(x 2)(x 6) 0; 或 (x 2)(x 6) 0;1 x 5, x 1,或 x 5,；或 、2x6 x

5、2,或 x 61 x 5,或 x 2 或 x 6 .原不等式解集是xx 2,或1 x 5,或x 6.解法二：原不等式化为(x 1)(x 5) 0 .(x 2)(x 6)画数轴，找因式根，分区间，定符号.(X 1)(X 5)符号(x 2)(x 6)、+ I - I 4 ! - I +原不等式解集是xx 2,或1 x 5,或x 6.说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组 的解的并集，否则会产生误解.解法二中，“定符号”是关键当每个因式 x的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含0的区间符号，其他各区间正负相间在解题时要正确运 用

6、.例5分析：不等式左右两边都是含有 x的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为 0再解.解之，得原不等式的解集为 x 1 x 2或x 3 项使一边为0再解.另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从 而使求解过程科学合理.例6分析：进行分类讨论求解.解：当m 0时，因 3 0 一定成立，故原不等式的解集为 R .3 1当m 0时，解得三x丄； m m1 3当m 0时，解得丄x -.m m3 1当m 0时，原不等式的解集为 x 3 x -;m m1 3当m 0时，原不等式的解集为 x - x m m说明：解不等式时，由于 m R，因此不能完全按一元二次不等

7、式的解法求解因为当m 0时，原不等式化为 3 0，此时不等式的解集为 R，所以解题时应分 m 0与m 0两 种情况来讨论.在解出m2x2 2mx 3 0的两根为为3,x2 m1后，认为m-，这也是易出现的错m m误之处.这时也应分情况来讨论：当 m0时，3 1 t;当mm m0时，3 1m m例7分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解.xa2ax 2，由 a 0，得：(1)x1,(2)2 x2(a1)xa2 1 0;x 1.由判别式 4(a1)24(a21)8a 0 ,故不等式x2 2(a1)x a21 0的解是a 1 . 2a x a 1,2a .当0 a 2时，aa

8、12a1 , a 1 2a1 ,不等式组(1)的解是2a 1 , 2a x 1，不等式组(2)的解是x 1 .当a 2时，不等式组 无解，(2)的解是x a .2综上可知，当0 a 2时，原不等式的解集是 a 1 , 2a, ;当a 2时，原不等式的解集是说明：本题分类讨论标准“ 0 a 2 , a 2 ”是依据“已知a 0及中 x - , x 1 2(2)中 x a，x 1 确定的解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高2考的热点一般地，分类讨论标准(解不等式)大多数情况下依“不等式组中的各不等式的 解所对应的区间的端点”去确定.本题易误把原不等式等价于不等式 2ax a2 (1

9、 x).纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法.例8分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即 可.解答：去掉绝对值号得 3 4x2 10x 3 3,原不等式等价于不等式组2x(2x 5) 03.2(x 3)(2x 1) 0原不等式的解集为说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等 价转化为不等式组，变成求不等式组的解.例9分析：不等式中含有字母a,故需分类讨论.但解题思路与一般的一元二次不等式的 解法完全一样：求出方程 x2 (a a2)x a3 0的根，然后写出不等式的解，但由于方程的 根含有字母a ,故需比较两根的

10、大小，从而引出讨论.解：原不等式可化为(x a)(x a2) 0.当a a2 (即a 1或a 0 )时，不等式的解集为：x x a 或 x a2 ；(2)当 a a2 (即0 a 1 )时，不等式的解集为：x x a2 或 x a ;(3)当a a2 (即a 0或1 )时，不等式的解集为：x x R 且 x a .说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以 分类、讨论.比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根 a , X2 a2，因此不等式的解就是x小于小根或x大于大根.但a与a2两根的大小不能确定，因此需要讨论 a a2,a a2, a a2三种情况.分析

11、：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数c的正负，然后求出方程 cx2 bx a 0的两根即可解之.例10解：(解法1)由题可判断出 ， 是方程ax2 bx c 0的两根，b ca a又ax2 bx c 0的解集是 x x ，说明a 0 .而 0, 0 0 0 c 0,a2 . c 2 b a 门cx bx a 0 x x 0.c c 0说明：（1）万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负， 求出相应的方程的根；（2）结合使用韦达定理，本题中只有 ， 是已知量，故所求不等式解集也用 ， 表示，不等式系数a , b , c的关系也用 ， 表示出来；（3）注意解法2中用“变换”的方法求

12、方程的根.例11分析：不等式本身比较复杂， 要先对不等式进行同解变形, b式子.再根据解集列出关于 a、解:.2-x x1 (x y240，21 23xx 1 (x)2-0,24原不等式化为(2 a b)x2 (a b)x a b 0.依题意a b2 a ba b2 a b5a -23 .b -2说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来 解.例12分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为x 1 x 2，不等式2 2ax bx 2 0需满足条件a 0 , 0, ax bx 2 0的两根为x1 1 , x2 2.解法-* :设ax2 bx 2 0的两根为

13、x1,x2，由韦达定理得bbX1X212a 由题意：a22X1X212aa a1 ,b 1，此时满足a 0 ,b2 4a ( 2) 0.解法二一:构造解集为 x 1x 2的元二次不等式：(x 1)(x 2) 0，即x2 x 2 0,此不等式与原不等式ax2 bx 2 0应为同解不等式,故需满足:说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力.对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好.例13分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所 以还考查分类思想.当a0时，式变为(x1)(x1)0，不等式的解为x 1或x1aa当a0时，式变为(x1)(xa1)0 . J 11 a，当 0a1时，11，此时的解为11X丄当1a 1 时，一1aaaaa此时的解为1 x 1 .