新教材人教B版数学选择性必修第一册学案第2章22224点到直线的距离含答案Word文档格式.docx

新教材人教B版数学选择性必修第一册学案第2章22224点到直线的距离含答案Word文档格式.docx

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（1）应用点到直线的距离公式时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，则先化成一般式再用公式求解．例如求点P（x1，y1）到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，再利用公式，得d＝

（2）当点P在直线l上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点P与直线l的位置关系．

（3）当直线方程Ax＋By＋C＝0中A＝0或B＝0时，公式也成立，还可以用下列方法求点到直线的距离：

①P（x1，y1）到x＝a的距离d＝|a－x1|；

②P（x1，y1）到y＝b的距离d＝|b－y1|．

1．

（1）原点到直线x＋2y－5＝0的距离是（　　）

A．

　　B．

　　C．2　　D．

（2）分别过点M（－1，5），N（2，3）的两直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．

（1）D　

（2）3　[

（1）由点到直线的距离公式得：

d＝

＝

（2）d＝|2－（－1）|＝3．]

知识点2　两条平行直线之间的距离

（1）两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．

（2）两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离．

（3）两条平行直线l1：

Ax＋By＋C1＝0与l2：

Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝

（1）使用两条平行直线间的距离公式时，直线的方程必须是一般式，而且方程中x，y的系数分别对应相等，对于系数不同的方程，应先将系数化为相等后再求距离．

（2）两条平行直线间的距离，也可以转化为一条直线上的一个点到另一条直线的距离，即转化为点到直线的距离．

（3）当两条直线都与x轴（或y轴）垂直时，可利用数形结合来解决．

①两条直线都与x轴垂直时，l1：

x＝x1，l2：

x＝x2，则d＝|x2－x1|；

②两条直线都与y轴垂直时，l1：

y＝y1，l2：

y＝y2，则d＝|y2－y1|．

2．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）当点在直线上时，点到直线的距离公式仍适用．（　　）

（2）点P（x0，y0）到与x轴平行的直线y＝b（b≠0）的距离d＝y0－b．（　　）

（3）两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为

．（　　）

（4）两直线x＋2y＝m与2x＋4y＝3n的距离为

[答案]　

（1）√　

（2）×

　（3）√　（4）×

[提示]　

（1）正确．

（2）应是d＝|y0－b|．

（3）正确．

（4）错误．将2x＋4y＝3n化为x＋2y＝

n，因此距离为

3．两条平行线l1：

3x＋4y－7＝0和l2：

3x＋4y－2＝0间的距离为________．

1　[d＝

＝1．]

类型1　点到直线的距离

【例1】　求过点M（－2，1）且与A（－1，2），B（3，0）两点距离相等的直线的方程．

[解]　当直线的斜率不存在时，直线为x＝－2，它到A，B两点的距离不相等，故可设直线方程为y－1＝k（x＋2），即kx－y＋2k＋1＝0．

由

，

解得k＝0或k＝－

故所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0．

点到直线的距离的求解方法

（1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．

（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|．

（3）若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．

[跟进训练]

1．求在两坐标轴上截距相等，且到点A（3，1）的距离为

的直线的方程．

[解]　①当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，即kx－y＝0．

由题意知

，解得k＝1或k＝－

∴所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0．

②当直线不经过原点时，设所求直线的方程为

＋

＝1，即x＋y－a＝0．

，解得a＝2或a＝6．

∴所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0．

综上所述，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0．

类型2　两条平行线间的距离

【例2】　（对接教材人教B版P94例2）已知直线l1：

2x－7y－8＝0，l2：

6x－21y－21＝0，l1与l2是否平行？

若平行，求l1与l2间的距离．

[解]　l1的斜率为k1＝

，l2的斜率k2＝

因为k1＝k2，且l1与l2不重合，所以l1∥l2．

l2的方程可化为2x－7y－7＝0，

所以l1与l2间的距离为d＝

求两平行线间的距离的方法

2．求与直线l：

5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程．

[解]　法一：

设所求直线的方程为5x－12y＋m＝0，

∵两直线的距离为2，

∴

＝2，∴m＝32或m＝－20．

∴所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．

法二：

设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0．

在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0

点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为

由题意得

＝2，则C＝32或C＝－20．

类型3　距离公式的综合应用

【例3】　

（1）已知点A的坐标为（－4，4），直线l的方程为3x＋y－2＝0，则直线l关于点A的对称直线l′的方程为________．

（2）已知直线l1：

x－y＋3＝0，直线l：

x－y－1＝0．若直线l1关于直线l的对称直线为l2，则直线l2的方程为_____________．

1．已知点A不在直线l上，问直线l关于点A的对称直线l′与l是什么位置关系？

[提示]　平行．

2．若直线l1∥直线l，直线l1关于直线l的对称直线为直线l2，则l1与l2是什么位置关系？

（1）3x＋y＋18＝0　

（2）x－y－5＝0　[

（1）法一：

由题意可知l′∥l，设直线l′的方程为3x＋y＋C＝0（C≠－2），则l′与l之间的距离等于点A到直线l的距离的2倍，即

＝2×

解得C＝－22或C＝18．结合图形（图略）可知C＝－22不满足题意，舍去，故所求直线l′的方程为3x＋y＋18＝0．

由题意可知l′∥l，设直线l′的方程为3x＋y＋C＝0（C≠－2），则

，解得C＝18或C＝－2（舍去），故所求直线l′的方程为3x＋y＋18＝0．

（2）由题意得l1∥l∥l2．设直线l2的方程为x－y＋m＝0（m≠3，m≠－1）．

因为直线l1，l2关于直线l对称，所以直线l1与直线l之间的距离等于直线l2与直线l之间的距离．由两平行直线间的距离公式，得

解得m＝－5或m＝3（舍去），故直线l2的方程为x－y－5＝0．]

1．（变结论）例

（1）条件不变，则点A关于直线l的对称点坐标为________．

（2，6）　[设点A关于直线l的对称点坐标为（x，y），则

解得

故点A关于直线l的对称点坐标为（2，6）．]

2．（变条件）将例

（2）条件中直线l的方程改为l：

2x－y＝0，其他条件不变，则直线l2的方程为________．

7x－y－15＝0　[由

得

∴直线l2过点（3，6）．

在直线l1上再取点（0，3），设其关于l的对称点坐标为（x，y），

则

∴直线l2过点

∴直线l2的方程为

，即7x－y－15＝0．]

一般将“关于直线对称的两条直线的问题”转化为“关于直线对称的两点的问题”加以解决.

（1）若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离进行求解.

（2）若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程.

3．求直线l1：

2x＋y－4＝0关于直线l：

3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．

解方程组

所以直线l1与l相交，且交点坐标为（3，－2），故交点也在直线l2上．

在直线l1：

2x＋y－4＝0上取点A（2，0），设点A关于直线l的对称点为B（x0，y0），

于是有

即B

故由两点式得直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0．

设直线l2上的任一点P（x，y）关于直线l：

3x＋4y－1＝0的对称点为Q（x0，y0），

则有

因为点Q（x0，y0）在直线l1：

2x＋y－4＝0上，所以2×

－4＝0，化简得2x＋11y＋16＝0．

即直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0．

1．点（5，－3）到直线x＋2＝0的距离等于（　　）

A．7　　　B．5　　　　C．3　　　　D．2

A　[直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点（5，－3）到x＝－2的距离d＝5－（－2）＝7．]

2．两条平行线l1：

3x＋4y－2＝0，l2：

9x＋12y－10＝0间的距离等于（　　）

　　C．

　　D．

C　[l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，

由平行线间的距离公式得d＝

．]

3．已知直线l：

kx－y＋2＝0过定点M，点P（x，y）在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是（　　）

　　D．3

B　[由直线l：

kx－y＋2＝0过定点M，得M（0，2）．∵点P（x，y）在直线2x＋y－1＝0上，∴|MP|的最小值为点M到直线2x＋y－1＝0的距离d，d＝

，故选B．]

4．两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝________．

10　[由两直线平行知，a＝8，d＝

＝2，∴a＋d＝10．]

5．已知两点A（3，2）和B（－1，4）到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为________．

或－6　[由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过AB的中点，则有－m＝

或m×

＋3＝0，∴m＝

或m＝－6．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．怎样利用距离公式解决距离问题？

[提示]　

（1）应用点P（x0，y0）到直线Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为零）的距离公式d＝

的前提是直线方程为一般式．特别地，当直线方程中A＝0或B＝0时，上述公式也适用，且可以应用数形结合思想求解．

（2）两条平行线间的距离处理方法有两种：

一是转化为点到直线的距离，其体现了数学上的转化与化归思想．

二是直接套用公式d＝

，其中l1：

Ax＋By＋C1＝0，l2：

Ax＋By＋C2＝0，需注意此时直线l1与l2的方程为一般式且x，y的系数分别对应相同．

2．试总结利用距离公式解决的常见题型．

[提示]　

（1）最值问题

①利用对称转化为两点之间的距离问题．

②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．

③利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题，通过配方求最值．

（2）求参数问题

利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．

（3）求方程的问题

立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系（平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系），巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．