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0的兄弟姐妹们一口齐声的说：
“好啊。
8哥哥说：
“0弟弟的主意可真不错，我就做一回好人吧，我老8供应照相机和胶卷，好吧？
老4说话了：
“8哥，好是好，就是太麻烦了一点，到不如用我的数码照相机，就这么定了吧。
于是，它们变忙了起来，终于+号帮它们拍好了，就立刻把数码照相机送往冲印店，冲是冲好了，电脑姐姐身手想它们要钱，可它们到底谁付钱呢？
它们一个个呆呆的望着对方，这是电脑姐姐说：
“一共5元钱，你们一共十一个兄弟姐妹，平均一人付多少元钱？
在它们十一个人中，就数老六最聪明，这回它还是第一个算出了结果，你知道它是怎么算出来的吗？
一年12个月，有7个大月，每月31天；
4个小月，每月30天；
还有二月平年只有28天，闰年29天。
为什么各月的天数不一样呢？
公元前46年，罗马统帅儒略·
恺撒指定历法。
由于他出生在7月，为了表示他的伟大，决定将7月改为“儒略月”，连同所有的单月都规定为31天，双月为30天。
这样一年多出一天，2月是古罗马处死犯人的月份，为了减少处死的人数，将2月减少1天，为29天。
恺撒的继承人奥古斯都生在8月，他仿照恺撒的做法，把8月增加了1天，定为“奥古斯都月”，并把10月、12月也改为31天，将9月、11月改为30天。
全年又多出了1天，他又从2月减少了1天，于是2月变成了28天，到闰年才29天。
这样沿袭下来，就有7月前单月为大月，7月后双月为大月，二月28天。
各月天数不一样，原来是人为的规定。
古代的数学迷宫——图形数
古希腊人曾把数看作是位置不定的点的集合。
甚至毕达哥拉斯还说过“数是万物之源”的那样毫无道理的话。
这样，就不得不说，认为宇宙是由点构成的所谓原子论，也可以归结到来源于“点=数的集合”的古希腊思想。
若把数当作是点的集合，那么，以多少个点表示数的问题，最终将变成可以看得见的图形数是怎样表示出来的问题。
例如，数3可以用3个点来表示，也可用等分成三个单位长度来表示。
如图1－1。
然而古希腊人更关心的是什么数能够排列成正三角形、正方形等等美丽的图形。
毕达哥拉斯曾用小石头，如图1－2那样，从上往下1个、2个、3个、4个地依次摆成正三角形，他指着小石头叫别人数。
当那个人数完1、2、3、4时，毕达哥拉斯却说：
“好啦，你说到的4，我看实际是10。
”毕达哥拉斯把10看成是一个神圣不可侵犯的数。
他认为1表示点，2表示线，3表示面（三角形），4表示体（三角锥），总括起来这个美丽的正三角形数10，就可以表现宇宙。
像10这样可以排列出美丽的正三角形的数是很多的，这些数都可以叫做三角数（如图1－3）。
设以Tn来表示第n个三角数，则Tn就等于1、2、3…n个自然数的和，把它列成数学式就是：
Tn=1＋2＋3＋…＋n
能排列出正方形的数叫做四角数（如图1－4），四角数构成了平方数。
若以Sn表示第n个四角数，则数学式就是：
Sn=n2
但是我们从图1-5可以看出，四角数是由1开始只把奇数加起来构成的。
用数学式表示就是：
Sn=1＋3＋5＋…＋（2n-1）=n2
与四角数相对应，若从2开始，只把偶数加起来就变成所谓的长方数（如图1－6），长方数也叫矩形数。
以Rn表示第n个长方数，它的数学式就是：
Rn=2＋4＋…＋2n=n（n＋1）
在作四角数和长方数时，可以用和角尺一样的图形。
这种角尺状图形，数学上叫磬折形，其中表示的数叫磬折形数。
两个相邻磬折形数之差，实际上是数列的级差。
在三角数Tn、四角数Sn、长方数Rn之间存在着各种各样的关系。
如图1－7所示，两个三角数的和就等于一个长方数。
2Tn=n（n＋1）
从而，下式是可以成立的。
假如我们仔细地观察一下下面的两个数列，不难发现，相邻的两个三角数之和是等于一个四角数的。
这种关系，如图1－8，用数学式表示，则可为：
Tn-1＋Tn=Sn=n2
让我们再看看图1－9，图中用○符号表示的数是S5；
用●表示的数是S6，由图可以看出
4T5＋1=S5＋S6
从而，一般可以认为下式是成立的。
4Tn＋1=Sn＋Sn＋1
如果把含有符号×
的全体考虑进去的话，则很清楚地看出下式也是成立的。
8Tn＋1=S2n＋1
希腊人还研究过如图1－10所示的五角数及图1－11所示的六角数。
他们把五角数排列成
1、5、12、22、35…
把六角数排列成
1、6、15、28、45…
设Pn表示第n个五角数；
Hn表示第n个六角数。
我们只要稍微观察一下这两个图，就不难看出，以下的数学公式成立。
Pn=Sn＋Tn-1，Hn=2Sn-n
假如你观察不出来，你可以把五角数中的○那部分看成是Sn，把●那部分看成是Tn-1，两者相加不就是Pn了吗；
另外，可以把六角数中的●部分数两遍，于是就可以把全体看成两个四角数，然后再减去多数一遍的●部分不就成了Hn了吗。
下面让我们看看求三角数T1、T2…Tn之和的情况吧。
为了醒目起见，我们把T1、T2、T3…Tn先各乘上3，然后把3T1、3T2、3T3…3Tn排列成如图1－12所示的样子，使之成为左右横向是Tn行；
上下纵向是n＋2列的长方形。
于是由
3（T1+T2+…+Tn）=（n+2）Tn
可以得到下边比较易看的关系式：
然后，我们还可以看看求四角数S1、S2…Sn之和的情况。
因为每个四角数，都是由1起，依次只把奇数加起来的和表示的，所以S1、S2…Sn的和就可以排列出如图1－13所示的摩天楼样形状。
图中○表示奇数编号的四角数S1、S3、S5…●表示偶数编号的四角数S2、S4…
若在摩天楼的两侧各加上S1、S2…Sn的话，那么，从上到下的Tn行与从左到右的2n＋1列所形成的长方形就可以表示3S1、3S2…3Sn之和。
因而
3（S1＋S2＋…＋Sn）=（2n＋1）Tn
故可将上式变成
也就是可以得到下述的公式：
13世纪中国数学家杨辉用堆积小立方体的方法证明了上述公式。
他把12个、22个、32个…n2个小立方体堆积成A、B、C三个阶梯状的四角锥形。
把这三个四角锥粘结在一块，如图1－15所示，在C上就会凸出来Tn个小立方体，如把这些凸出的小立方体切去一半放在A上，就可以形成一个底面
是由作图得出的结果，所以也得到以下公式：
现在看看关于13、23…n3的求和公式。
让我们首先参看图1－16左上角的那个最小的中间有点的小正方形，我们把它看成是1的正方形，设它各边长为一单位，然后把它相邻的两边各延长2单位，再作一个每边长为1＋2=3的正方形。
这样在原来1的正方形右边添加的磬折形数就是2个22的正方形，也就是22×
2=23。
为什么可以这样说呢？
我们只要注意到图中打有双重斜线的地方，正好和空白的地方相抵消，于是就可以说添加的就是两个边长各是2的正方形，其中一个打右斜线，另一个打左斜线。
然后在相邻的两个边上再延长3个单位长，作一个每边长为1＋2＋3=6的正方形。
于是，添加的磬折形数就是33（3个32）。
进一步，相邻两边再延长4个单位长，又出现了空白抵消掉双斜线部分，添加了4个42，磬折形数成为43。
这样作出的正方形，因为每边都是1＋2＋3＋4单位长度，所以就成为：
13＋23＋33＋43=（1＋2＋3＋4）2
其一般通式，可以证明为：
13＋23＋…＋n3=（1＋2＋3＋…＋n）2
希腊人不仅仅研究了把点排列在平面上的多角数，而且还研究了把点排列在空间的锥形数。
如果把点排列成三角锥的形状，它的样子就如图1－17所示。
其第n个三角锥数是
再看看排列成四角锥形状的图形，就可以得出其第n个四角锥数应是：
古希腊人不但由一个顶点引出射线，并在射线上取点作出多角数及锥形状，而且还由图形的中心点引出射线，依靠射线作出了有心多角形。
其有心三角形，如图1－19所示是：
1、4、10、19、31、46…
图中三条实线，每两条线间都有三个点，连同线上的点，排列成一个三角数。
其中中心点是三个三角数共有的，实线上的点是相邻两个三角数共有的。
因此第n个有心三角数的通式应为：
有心四角数如图1－20所示为：
1、5、13、25、41…
同理，第n个有心四角数，可以用下式表示：
4Tn-1＋1=2n（n-1）＋1
前边的图1－9也是一个有心四角数。
你不妨翻开前边看看，它对你理解有心四角数是会有帮助的。
此外，还可以按上述方法，进一步研究有心五角数及有心六角数等等。
那么，第n个有心五角数应该是由5Tn-1＋1给出，而第n个有心六角数则是由6Tn-1＋1给出。
如果在第n个有心六角数外边，再附加上6个第n-1号的三角数，那就可以作出一个星形六角数（如图1－22所示），其第n个星形六角数，可以由12Tn-1＋1给出。
我们从卡道纳所编的《数学游戏Ⅲ》中得知：
可以构成平方数的星形六角数有一些性质是很有意思的。
例如，若令第n个星形六角数6n（n-1）＋1等于一个平方数m2，即：
m2=6n（n-1）＋1
然后将上式的左边乘3再加2，其值就可以表示成三个连续自然数的平方和，同时还可以表示成两个连续自然数的平方和，用数学式表示就是：
3m2＋2=（m-1）2＋m2＋（m＋1）2
=（3n-2）2＋（3n-1）2
不过不是所有的星形六角数，都可以有上述的可构成平方数的关系，其中比1大的最小值是121。
此时，n=5、m=11，代入上式计算为：
365=102＋112＋122=132＋142
其次，能构成平方数的星形六角数是11881。
此时，n=45、m=109，代入上式为：
35645=1082＋1092＋1102=1332＋1342
“一笔画”的规律
[题目］你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？
试试看。
（不走重复线路）
要正确解答这道题，必须弄清一笔画图形有哪些特点。
早在18世纪，瑞士的著名数学家欧拉就找到了一笔画的规律。
欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。
连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的三个图都是连通图。
但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。
什么叫奇、偶点呢？
与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；
与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。
如图1中的①、④为奇点，②、③为偶点。
数学家欧拉找到一笔画的规律是什么呢?
数学家欧拉找到一笔画的规律是什么呢?
1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
例如，图2都是偶点，画的线路可以是：
①→③→⑤→⑦→②→④→⑥→⑦→①
2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
例如，图1图的线路是：
①→②→③→①→④
3．其他情况的图都不能一笔画出。
小朋友，请试一试：
1．画出图1和图2的其他线路。
2．图3能一笔画吗？
有多少条线路？
3．下图是国际奥林匹克运动会的会标，能一笔画吗？
如果能，请你把它画出来。
经典数学问题----费马最後定理
被公认执世界报纸牛耳地位地位的纽约时报於1993年6月24日在其一版头题刊登了一则有关数学难题得以解决的消息，那则消息的标题是「在陈年数学困局中，终於有人呼叫『我找到了』」。
时报一版的开始文章中还附了一张留着长发、穿着中古世纪欧洲学袍的男人照片。
这个古意盎然的男人，就是法国的数学家费马（PierredeFermat）（费马小传请参考附录）。
费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以「业余王子」之美称，在三百六十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式x2+y2=z2的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定理（中国古代又称勾股弦定理）：
x2+y2=z2，此处z表一直角形之斜边而x、y为其之两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的平方和，这个方程式当然有整数解（其实有很多），例如：
x=3、y=4、z=5；
x=6、y=8、z=10；
x=5、y=12、z=13…等等。
费马声称当n>
2时，就找不到满足xn+yn=zn的整数解，例如：
方程式x3+y3=z3就无法找到整数解。
当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白处不够无法写下。
始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。
这个号称世纪难题的费马最後定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而後快?
十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六０年两度悬赏金质奖章和三百法郎给任何解决此一难题的人，可惜都没有人能够领到奖赏。
德国的数学家佛尔夫斯克尔（P?
Wolfskehl）在1908年提供十万马克，给能够证明费马最後定理是正确的人，有效期间为100年。
其间由於经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值至七千五百马克，虽然如此仍然吸引不少的「数学痴」。
二十世纪电脑发展以後，许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当n为很大时是成立的，1983年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行5782秒证明当n为286243-1时费马定理是正确的（注286243-1为一天文数字，大约为25960位数）。
虽然如此，数学家还没有找到一个普遍性的证明。
不过这个三百多年的数学悬案终於解决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（AndrewWiles）所解决。
其实威利斯是利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明.?
五０年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲现的猜想，後来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。
在八０年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起，而威利斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最後定理也是正确的。
这个结论由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。
不过威利斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵，於是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。
1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。
1997年6月，威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。
当年的十万法克约为两百万美金，不过威利斯领到时，只值五万美金左右，但威利斯已经名列青史，永垂不朽了。
要证明费马最後定理是正确的（即xn+yn=zn对n33均无正整数解）只需证x4+y4=z4和xp+yp=zp（P为奇质数），都没有整数解。
数学谜语
数学期刊和科学普及书刊有时会介绍几条数学谜语，增加趣味性。
这些数学谜语自然也成为谜语爱好者收集的对象，并且成为游艺晚会猜谜项目内容的一部分。
先看几个简单例子。
1．一加一不是二。
（打一字）
“一”字、加号“＋”、再来一个“一”字，组合在一起，得到的字不是“二”，而是“王”。
谜底是王。
2．一减一不是零。
“一”字、减号“-”、再来一个“一”字，组合在一起，得到的字不是“零”，而是“三”。
谜底是三。
3．八分之七。
（打一成语）
“八分之七”用数学符号写出来，把数字7写在分数线上面，8写在分数线下面，谜底是成语“七上八下”。
在上面这些谜语里，用一些很简单的数学知识，对谜语的文字作出新的理解，可以帮助猜出答案。
另外一类数学谜语，谜底是数学名词。
还是来看几个例子。
4．七六五四三二一。
（打一数学名词）
平常报数目，是从小到大顺着数，就像流行歌曲里唱的，“一二三四五六七，我的朋友在哪里”。
现在他说“七六五四三二一”，是从大到小，倒过来数了，所以谜底是“倒数”。
5．讨价还价。
买东西讨价还价，要经过反复协商，才能达成双方都同意的钱数。
这种协商钱数的过程，可以戏称为“商数”。
谜底是商数。
6．你盼着我，我盼着你。
“你盼着我”，是你在等候我；
“我盼着你”，是我在等候你。
两人互相等候，可谓“相等”。
谜底是相等。
7．成绩是多少？
（打二数学名词）
学习成绩是用得分的数目计算的。
问“多少”，可以换一个说法，改问“几何？
”在中国古代数学书里，问一种物品有多少个，总是问“物有几何？
”直到现在，有些地区的方言里，买东西问价钱，还是说“几何？
”所以，问“成绩多少”，等于是问“分数，几何？
”谜底是两个数学名词：
分数、几何。
智力题
1.有一位古董商收购了两枚古币，后来又以每枚60元的价格卖出。
其中，一枚古币赚了20%，另一枚古币赔了20%。
问：
和他当初收购这两枚古币相比，这位古董商是赚是赔，还是持平了？
2.一对兔子每月可以生一对小兔子，而一对兔子在生下后第二年也开始生小兔子。
那么，从刚出生的一对兔子算起，满一年可以生多少对兔子？
3.有一个山涧4米宽，两岸东西行，下面是万丈深渊。
山涧上没有桥，来往的人都是带着木板过桥。
一次，大人带着3.9米长的木板要到东边去，小孩带着4.1米的木板要到西边去。
大人的木板太短，小孩没有力气，搭不了桥。
他们怎样才能过桥？
4.如果3只山羊在6分钟内吃掉3颗大白菜，那么一只半山羊吃掉一颗半的白菜需要多长时间？
5.有9张纸牌，分别是A-9。
A、B、C、D四人取牌，每人取2张。
已知A的牌和为10，B的两张牌相差1，C的牌积是24，D的牌商是3。
他们各拿了哪些纸牌？
剩下的牌又是什么？
6.猜拳是一个很有技巧的游戏。
假如双方出的相同拳法不能连续出二次，连猜十次决胜负，你怎么做才能取胜？
7.两位数学老师相对坐在办公室看同一份作业,她们为了其中的一道题目争得面红耳赤,其中一个说:
“这个等式是正确的。
”“不，这完全是错误的。
”另一个说。
请问：
她们看的是一个什么式子呢？
8.婷婷家不远处有一个公共汽车站。
汽车和电车都是每隔10分钟来一次，票价也一样，只是汽车开过之后，过2分钟电车才来，再过5分钟下一趟车又开过来。
问:
婷婷坐哪辆车合适？
9.兔子和乌龟又进行了百米赛跑。
这次兔子赢了。
兔子到达终点时，乌龟离终点还有10米。
假如把兔子的起跑线往后设10米，它们会同时到达终点么？
10.有3个人必须经过河到对岸，但河上没有桥，他们也不会游泳。
有两个孩子划着船想帮他们，但船上只能有一个人。
他们怎么才能到对岸呢？
数学悖论奇景
“悖论”这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论。
那些结论会使我们惊讶无比。
悖论主要有三种形式：
1.一种论断看起来好象肯定错了，实际上却是对的（佯谬）；
2.一种论断看起来好象肯定对了，实际上却错了（似是而非）；
3.一系列理论看起来好象无懈可击，却导致了逻辑上自相矛盾。
悖论有点象变戏法，人们看完以后，几乎没有一个不惊讶得马上就想知道：
“这套戏法是怎么搞成的？
”当把技巧告诉他后，他便不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界中。
著名的《科学美国人》杂志社编的《数学悖论奇景》中，有不少生动而奇妙的题目，下面几则便选自其中。
有的题目作了简略的分析，有的只提出问题，留侍读者去思索。
1.唐·
吉诃德悖论
小说《唐·
吉诃德》里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律，每个旅游者都要回答一个问题：
“你来这里做什么？
”回答对了，一切都好办；
回答错了，就要被绞死。
一天，有个旅游者回答：
“我来这里是要被绞死。
”
旅游者被送到国王那里。
国王苦苦想了好久：
他回答得是对还是错？
究竟要不要把他绞死。
如果说他回答得对，那就不要绞死他——可这样一来，他的回答又成了错的了！
如果说他回答错了，那就要绞死他——但这恰恰又证明他回答对了。
实在是左右为难！
2.梵学者的预言
一天，梵学者与他的女儿苏耶发生了争论。
苏椰：
你是一个大骗子，爸爸。
你根本不能预言未来。
学者：
我肯定能。
不，你不能。
我现在就可以证明它！
苏椰在一张纸上写了一些字，折起来，压在水晶球下。
她说：
“我写了一件事，它在3点钟前可能发生，也可能不发生。
请你预言它究竟是不是会发生，在这张白卡片上写下‘是’字或‘不’字。
要是你写错了，你答应现在就买辆汽车给我，不要拖到以后好吗？
“好，一言为定。
”学者在卡片上写了一个字。
3点钟时，苏椰把水晶球下面的纸拿出来，高声读道：
“在下午3点以前，你将写一个‘不’字在卡片上。
学者在卡片上写的是“是”字，他预言错了：
“在下午3点以前，写一个‘不’
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