最新导数的几何意义教案后附教学反思.docx
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最新导数的几何意义教案后附教学反思
导数的几何意义教案(后附教学反思)
导数的几何意义教案(后附教学反思)
永嘉中学数学组周瑛08.4.13
【教学目标】
知识与技能目标:
(1)使学生掌握函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的导数«SkipRecordIf...»的几何意义就是函数«SkipRecordIf...»的图像在
«SkipRecordIf...»处的切线的斜率。
(数形结合),即:
«SkipRecordIf...»=切线的斜率
(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题,体会“以直代曲”的数学思想方法。
过程与方法:
通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结,发现问题,解决问题,从而达到培养学生的学习能力,思维能力,应用能力和创新能力的目的。
情感态度与价值观:
导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义,达到数与形的结合;同时又是知识在几何学,物理学方面的迁移应用。
培养学生学数学,用数学的意识。
【教学手段】采用幻灯片,实物投影等多媒体手段,增大教学容量与直观性,有效提高教学效率和教学质量。
【课型】探究课
【教学重点与难点】
重点:
导数的几何意义及“数形结合,以直代曲”的思想方法。
难点:
发现、理解及应用导数的几何意义
【教学过程】
(一)课题引入,类比探讨:
让学生回忆导数的概念及其本质。
(承上启下,自然过渡)。
师:
导数的本质是什么?
写出它的表达式。
(一位学生板书),其他学生在“学案”中写:
导数«SkipRecordIf...»的本质是函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的瞬时变化率,即:
«SkipRecordIf...»
(注记:
教师不能代替学生的思维活动,学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号,有利于学生思维能力的有效提高,为学生“发现”,感知导数的几何意义奠定基础)
师:
导数的本质仅是从代数(数)的角度来诠释导数,若从图形(形)的角度来探究导数的几何意义(板书课题),应从哪儿入手呢?
(教师引导学生:
数形结合是重要的思想方法。
要研究“形”,自然要结合“数”)
生1:
研究导数的代数表达式。
师:
那必然就要回忆求导数«SkipRecordIf...»的步骤了。
生(齐):
分三步:
第一步:
求«SkipRecordIf...»
第二步:
求平均变化率«SkipRecordIf...»;
第三步:
当«SkipRecordIf...»趋近于0时,平均变化率«SkipRecordIf...»无限趋近于的常数就是«SkipRecordIf...»。
(回归本质,数形结合)
教师进一步引导学生:
这是从“数”的角度来求导数,若从“形”的角度探索导数的几何意义,类比地,也可以分三个步骤:
师:
第一步:
«SkipRecordIf...»的几何意义。
(并在学案的图(二次函数)中画出)
生:
当«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»所对应的函数值的差量。
师:
很好,那么第二步:
平均变化率«SkipRecordIf...»的几何意义是什么?
(同样请在函数图像中画出来);由于上节探究中做过,所以还是比较简单。
生2:
平均变化率«SkipRecordIf...»的几何意义是割线AB的斜率。
其中«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
(提醒学生A、B两点的坐标必须写清楚。
)
师:
第二步:
«SkipRecordIf...»时,割线«SkipRecordIf...»有什么变化?
请用你的笔描绘出来。
(有静态到动态的过渡,比较考察学生的观察能力,动手能力与独立思考能力)很快,有几个学生又画了三条直线(其中横坐标在«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»之间。
)
教师让生3用投影仪展示自己的作品,并向其它学生介绍自己作图的意图,由此引导同伴观察到:
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
师(趁胜追击):
很好,那么当«SkipRecordIf...»,于是A,B之间的差距越来越小,B一直,一直这样靠近A,最后会---------
生(齐):
重合。
师:
那么直线AB?
生(齐):
变成一条切线了。
师:
大家真不错,确实,当«SkipRecordIf...»,割线«SkipRecordIf...»有一个无限趋近的确定位置,这个确定位置上的直线叫做曲线在«SkipRecordIf...»处的切线,下面请把它画出来。
等学生化出切线AD后,教师用Flash展示动态过程,引导学生回顾过程。
结论:
(形)«SkipRecordIf...»,割线«SkipRecordIf...»切线«SkipRecordIf...»,
则割线«SkipRecordIf...»的斜率«SkipRecordIf...»切线«SkipRecordIf...»的斜率。
(口述)
由数形结合,得 «SkipRecordIf...»=切线«SkipRecordIf...»的斜率。
(板书)
所以,函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的导数«SkipRecordIf...»的几何意义就是函数«SkipRecordIf...»的图像在«SkipRecordIf...»处的切线AD的斜率。
(数形结合)。
(说明:
动手实践,探索发现。
使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获得理智和情感体验,建构“导数及其几何意义”的知识结构,准确理解“导数的几何意义”,掌握“数形结合,类比探讨”的数学思想方法。
)
(二)深入研究,知识拓展
师:
好,我们现在清楚导数的几何意义就是在该点处切线的斜率。
其中切线很关键,但是它与以前学过的切线定义有什么不同呢?
见P77的探究问题。
生4:
初中平面几何中,如圆的切线的的定义:
直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切。
这时,直线叫做圆的切线,惟一的公共点叫做切点。
师:
讲得非常好,确实如此,但从刚才那刻开始,将会有变数。
(展示如下动画,A点----直线l1----B----直线l2)。
学生们发现生4讲的初中切线的定义已不适合这里了。
«SkipRecordIf...»
师:
圆是一种特殊的曲线。
这种定义并不适用于一般曲线的切线。
例如上图中,直线«SkipRecordIf...»虽然与曲线有惟一的公共点,但我们不能认为它与曲线相切;而另一条直线«SkipRecordIf...»虽然与曲线有不只一个公共点,我们还是认为它是曲线的切线。
因此,以上圆的切线定义并不适用于一般的曲线。
通过逼近的方法,将割线趋于的确定位置的直线定义为切线(交点可能不惟一),适用于各种曲线。
所以,这种定义才真正反映了切线的直观本质。
(三)“以直代曲”思想
利用PPT做出三个切点附近的近景,而且由小放到大,类似于放大镜的效果,让学生观察切点附近曲线与直线的位置关系。
学生发现,它们越来越靠近,几乎重合。
此时,教师点出:
根据导数的几何意义,在点P附近,曲线«SkipRecordIf...»可以用在点P处的切线近似代替,这是微积分中重要的思想方法——以直代曲(以简单的对象刻画复杂的对象)。
(动画演示:
通过信息技术将函数曲线某一点附近的图象放大得到一个近景图,图象放得越大,这一小段曲线看起来就越象直线;大多数函数曲线就一小范围来看,大致可看作直线,所以,某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替,即“以直代曲”)
(说明:
适时、有效地采用计算机等多媒体辅助教学,可以不仅加强学生对“导数的几何意义”形象、直观地理解,还能将学生的动手实践(感知体验)与抽象思维(深层内化)有效结合,增强学生的思维能力训练,提高教学效率和教学质量。
)
(四)例题讲解,加强理解
例1在函数«SkipRecordIf...»的图像上,用图形来体现导数«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»的几何意义,并用数学语言表述出来。
变式:
请描述、比较曲线«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»附近增(减)以及增(减)快慢的情况。
在«SkipRecordIf...»附近呢?
(如下图)
(注记:
要求学生动脑(审题),动手(画切线),动口(同桌讨论、描述运动员的运动状态),体会利用导数的几何意义解释实际问题,渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。
)
从中小结出:
1.点附近的增减-----导数的正负-----过该点切线的斜率正负;
2.增减快慢-----导数的绝对值大小-------过该点切线的斜率大小的绝对值---曲线在该点附近的陡峭程度。
(板书)
例2如图表示人体血管中的药物浓度«SkipRecordIf...»(单位:
«SkipRecordIf...»)随时间«SkipRecordIf...»(单位:
«SkipRecordIf...»)变化的函数图像,根据图像,估计«SkipRecordIf...»(min)时,血管中药物浓度的瞬时变化率,把数据用表格的形式列出。
(精确到0.1)
«SkipRecordIf...»
0.2
0.4
0.6
0.8
药物浓度的
瞬时变化率
(注记:
要求学生动脑(审题),动手(画切线),动口(说出如何估计切线斜率),进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题,渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。
)
(五)抽象概括,归纳小结
(先由学生小结)
1.抽象概括:
由练习2抽象概括出导函数(简称导数)的概念:
«SkipRecordIf...»是确定的数(静态),«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»的函数(动态)
由«SkipRecordIf...»(特殊——一般)
«SkipRecordIf...»(静态——动态)
(说明:
体验从静态到动态的变化过程,领会从特殊到一般的辩证思想
2.归纳小结:
由学生进行开放式小结:
(1)函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的导数«SkipRecordIf...»的几何意义就是函数«SkipRecordIf...»的图像在
«SkipRecordIf...»处的切线AD的斜率。
(数形结合),即:
«SkipRecordIf...»=切线«SkipRecordIf...»的斜率
(2)利用导数的几何意义解释实际生活问题,体会“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。
(3)导函数(简称“导数”)的概念。
«SkipRecordIf...»
(六)作业布置
1.习题P80.A5,6;B1
2.(给好的学生)请给出求函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的切线方程的一个算法,并小组自编四个求切线的题目。
(探索:
若把3.“在点«SkipRecordIf...»处”改为“过点«SkipRecordIf...»”,算法有何不同?
并小组自编四个求切线的题目。
)
附:
教学反思
本节内容是在学习了“变化率问题、导数的概念”等知识的基础上,研究导数的几何意义,由于新教材未设计极限,于是我尽量采用形象直观的方式,让学生通过动手作图,自我感受整个逼近的过程,并用形象的几何画板及Flash展示动态的过程,让学生更加深刻地体会导数的几何意义及“以直代曲”的思想。
本节课主要围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开。
先回忆导数的实际意义、数值意义,由数到形,自然引出从图形的角度研究导数的几何意义;然后,类比“平均变化率——瞬时变化率”的研究思路,运用逼近的思想定义了曲线上某点的切线,再引导学生从数形结合的角度思考,获得导数的几何意义——“导数是曲线上某点处切线的斜率”。
完成本节课第一阶段的内容学习后,教师点明,利用导数的几何意义,在研究实际问题时,某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替,即“以直代曲”,从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的,并通过两个例题的研究,让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系,并感受导数应用的广泛性。
本节课注重以学生为主体,每一个知识、每一个发现,总设法由学生自己得出,课堂上给予学生充足的思考时间和空间,让学生在动手操作、动笔演算等活动后,再组织讨论,本教师只是在关键处加以引导。
从学生的作业看来,效果较好。
在例题讲解时,注重审题(分析关键的词句)和解题反思,感觉效果不错!
但是,作为探究课,时间如果控制不好,易讲不完,我就是例2来不及分析完,于是当作课外作业,所以时间要注意调配。
还有有些学生对如何画出过该点的切线有点困难,此时,教师给予示范。