27章图形的相似导学案Word下载.docx
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（2）（小）
（3）你山上述的计算，能得到什么结论吗?
4-在比例尺是1：
8000000的“中国政区”地图上，量
得福州与上海之间的距离时7.5cm,那么福州与上海之间的实际距离是多少？
5・AB两地的实际距离为2500m,在一张平面图上的距离是5cm,那么这张平面地图的比例尺是多少？
课题27.1图形的相似
（二）
一、教学目标
1.知道相似多边形的主要特征，即：
相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.
2.会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会使用其性质实行相关的计算.
、重点、点
1.重占；
相板毎边形的主要特征与识别.
2•难点：
使用相似多边形的特征实行相关的计算.
3.探索新知
1＞观察图片，体会相似图形性质（教材P36页）
（1）图27.1-4
（1）中的△扎BC是由正AABC放大后得到的，观察这两个图形,它们的对应角有什么关系？
对应边又有什么关系呢？
2、如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画岀一个与该四边形相似的图形.
问题：
对于
图中两个相似
的四边形，它们的对应角.对应边的比是否相等・
3.【结论L
（1）相似多边形的特征：
相似多边形的对应角•对应边的比・
反之，如果两个多边形的对应角•对应边的比，那么这两个多边形・几何语言：
在
ZJABC和NAbC冲
若ZA=ZA1;
ZB=ZBI;
ZC=ZC,・
AB_BC_ACA}B}B]CiAlCl
则NABC和zdAxBXi相似
（2）相似比：
相似多边形的比称为相似比.
相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？
结论：
相似比为1时.相似的两个图形，所以形是一种特殊的相似形.
四、例题讲解
例1（补充）（选择题）下列说法准确的是（）
A.所有的平行四边形都相似B.所有的矩形都相似
C.所有的菱形都相似D.所有的正方形都相似
分析：
A中平行四边形各角不一泄对应相等，所以所有的平行四边形不一泄都相似，故A错：
B中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比不一泄相等，所以所有的矩形不一立都相似，故B错；
C中菱形虽然各对应边的比相等，但是各角不一左对应相等，所以所有的菱形不一左都相似，故C也错：
D中任两个正方形的各角都相等，且
各边都对应成比例，所以所有的正方形都相似，故D说法准确，所以此题应选D.例2、例（教材P37页）
如图27.1-6,四边形個⑦和叭¥
相似，求角Q和0的大小和刃的长度兀・
例3（补充）
已知四边形ABCD与四边形AiBiQDi相似,且Ab：
BiCi：
CD：
DiAi=7：
8：
11：
14,若四边形ABCD的周长为40,求四边形ABCD的各边的长.
因为两个四边形相似，所以可根据相似多边形的对应边的比相等来解题.
解：
5.课堂练习
1.在比例尺为1:
10000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm,求两地的实际距离.
2.
如图所示的两个直角三角形相似吗？
为什么？
3.如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、c、〃的长度.
4.
2・（选择题）下列所给的条件中，能确左相似的有（）
（1）两个半径不相等的圆：
（2）所有的正方形：
（3）所有的等腰三角形；
（4）所有的等边三角形；
（5）所有的等腰梯形:
（6）所有的正六边形.
A.3个B.4个C.5个D.6个
3.已知四边形ABCD和四边形AxBxCtDt相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm和4cm,如果四边形九BCD,的最短边的长是6cm,那么四边形扎B：
CD中最长的边长是多少？
5.如图，AB〃EF〃CD,CD=4,AB二9,若梯形CDEF与梯形EFAB相似，求EF的长.
5・
如图，一个矩形ABCD的长AD二acm,宽AB二bcm,E、F分别是AD.BC的中点，连接E.F,所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似，求a：
b的值.（迈：
1）
A.ED
课题27.2.1相似三角形
教学目的：
⑴会用符号“s”表示相似三角形如AABCsAAfB9C;
⑵知道当ZkABC与△48（7的相似比为&
时，△40'
C'
与ZkABC的相似比为1/k.
一、知识链接
1>
相似多边形的主要特征是什么？
2、相似三角形有什么性质？
二合作探究
1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形.
在AABC与B‘C，中，ARRCCA
如果ZA=ZAZ,ZB=ZBr,ZC=ZCJ,=—=——=k・
abbcca
我们就说AABC与ZkA'
BfC‘相似,记作△ABCsMB‘Cf,k就是它们的相似比.反之如果厶ABC^AA^BfCr,
则有ZA二—‘存4_,且黑=骼=鈴.
2）问题：
如果21,这两个三角形有怎样的关系？
明确
（1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。
（2）用符号“s”表示相似三角形如AABCsMBC;
（3）当AABC与AA!
BfC的相似比为用时,AA!
B9C与AABC的相似比为1/匕
4.小结巩固
（1）谈谈本节课你有哪些收获.
（2）相似比是带有顺序性和对应性的：
ARR「pA
如厶ABCsAA'
BrCz的相似比上昌=善二=#=k,那么AA'
B‘Cf<
-AABC的相似比就是ABBCCA
件=£
£
=£
=丄，它们的关系是互为倒数.
ABBCCAk
5.当堂检测
1.如图，△ABCsAAED,其中DE〃BC,找出对应角并写出对应边的比例式.
1题图
2.如图，△ABCs^AED,其中ZADE=ZB,找出对应角并写出对应边的比例式.
4
2题图
课题27.2.1相似三角形的判定
（二）
一.学习目标
1.经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程.
2.会使用“两个三角形相似的判左条件”和“三角形相似的预备怎理”解决简单的问题.、重点、点
1.重石;
相疵三角形的左义与三角形相似的预备泄理.
三角形相似的预备泄理的应用.
三知识链接
（1）相似多边形的主要特征是什么？
（2）平行线分线段成比例左理及英推论的内容是什么？
（3）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形.
在AABC与B*Cz中，ARR「CA
如果ZA=ZAZ,ZB二ZB'
ZC=ZCX,K-^=—=-^—=k・
我们就说AABC与AA'
B‘C‘相似，记作△ABC->
AAfB，C‘，k就是它们的相似比.反之如果厶ABC^AAZBrC‘，
（4）问题：
四、探索新知.
1问题：
如果△ABCs^ADE,那么你能找出哪些角的关系？
边呢?
.思考
如图27.2-3,在ZkABC中，DE〃BC,DE分别交AB,AC于点D,E。
问题：
（1）AADE与AABC满足“对应角相等”吗？
（2）AADE与AABC满足对应边成比例吗？
由“DE〃BC"
的条件可得到哪些线段的比相等?
（3）根据以前学习的知识如何把DE移到BC上去？
（作辅助线EF〃AB）你能ilE明AE：
AC=DE：
BC吗？
A
图27.23
（4）写岀△ABC^AADE的证明过程。
（5）、归纳总结：
判左三角形相似的（预备）立理:
平行于三角形一边的直线和英他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。
五.例题讲解
例1（补充）如图△ABCs/J）CA,AD〃BC,ZB二ZDCA.
（1）写出对应边的比例式：
（2）写出所有相等的角；
（3）若AB=10,BC=12,CA=6.求AD、DC的长.
可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素.对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD与DC的长.
解:
AE=4cm,BC=5cm,求DE的长.
例2（补充）如图，在ZXABC中，DE〃BC,AD二EC,DB=lcm,
由DE//BC,可得△ADE^AABC,再由相似三角
ADAF
形的性质，有—,又由AD二EC可求出AD的长，再ABAC
根据竽二瞑求出DE的长.
BCAB
六、课堂练习
1.（选择）下列各组三角形一泄相似的是（）
A.两个直角三角形B・两个钝角三角形
C.两个等腰三角形D.两个等边三角形
2.（选择）如图，DE〃BC,EF〃AB,则图中相似三角形一共有（）
A・1对B.2对C.3对D.4）（寸
图中共有对相似三角形，写岀来并说明理由:
F
七、当堂检测
1.如图，△ABCsAAED,其中DE〃BC,写出对应边的比例式.
2.如图，△ABCs^AED,其中ZADE=ZB,写出对应边的比例式・
3.如图，DE〃BC,
（1）如果AD二2,DB二3,求DE：
BC的值:
（2）如果AD二8,DB二12,AC二15,DE=7,求AE和BC的长.
3题图
4、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置±
求球拍击球的高度h・（设网球是直线运动）
学习目标:
（1）初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判左方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似"
的判泄方法.
（2）能够使用三角形相似的条件解决简单的问题.
重点、难点
学习重点：
掌握两种判左方法，会使用两种判上方法判泄两个三角形相似。
学习难点：
（1）三角形相似的条件归纳.证明；
（2）会准确的使用两个三角形相似的条件来判左三角形是否相似.
一.知识链接
（1）两个三角形全等有哪些判疋方法?
（2）我们学习过哪些判泄三角形相似的方法?
（3）相似三角形与全等三角形有怎样的关系？
二、探索新知
探讨问题：
1、如图，如果要判）^AABC与ZkA'
B'
C'
相似，是不是一左需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？
2、可否用类似于判泄三角形全等的SSS方法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？
3、探究2
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的1＜倍・度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？
这两个三角形相似吗？
与同学交流一下，看看是否有同样的结论。
（1）问题：
怎样证明这个命题是准确的呢?
4【归纳】
三角形相似的判泄方法1
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
5、探讨问题：
可否用类似于判左三角形全等的SAS方法，能否通过两个三角形的两组对应边的比相等和它们对应的夹角相等，来判定两个三角形相似呢？
（画图，自主展开探究活动）
6【归纳】
三角形相似的判定方法2
两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似.
三、例题讲解
例丨根据下列务件・判斷△/MC与是否'
相似，并说明理由;
（1）4=呦，AB—7cm,AC-14cm,
Z/l=20°
A'
B'
=3mcm；
（2）/IB二4cm,jBC=6cm,/1C=8cm,
A®
=12m,£
U-18on,AC二21c仇
归纳分析：
判左两个三角形是否相似，能够根据已知条件，画草图，看是否符合相似三角形的左义或三角形相似的判立方法中，对于
（1）因为是已知一对对应角相等及四条边长，所以看是否符合三角形相似的判泄方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似S对于
（2）给的几个条件全是边，所以看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可，其方法是通过汁算成比例的线段得到对应边.
例2（补充）已知：
如图，在四边形ABCD中，ZB=ZACD,AB二6,BC=4,AC二5,CD二7丄，求AD的长.
2
由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明.计算得出
—»
结合ZB^ZACD,证明△ABC^ADCA,再利用相CDAC
似三角形的泄义得出关于AD的比例式务幕从而求出AD的长.解：
四、课堂练习
1.如果在AABC中ZB二30°
AB=5cm,AC二4cm,在ZkA'
C9中，ZB'
=30°
A9Bf二10cm.A'
C9=8cm,这两个三角形一左相似吗？
试着画一画、看一看？
2.如图，AABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：
AABC^ADEF.
五、回顾与反思.
（1）谈谈本节课你有哪些收获.六当堂检测
1.如图，AB・AC二AD・AE,且Z1=Z2>
求证：
AABC^AAED.
2.已知：
如图，P为ZkABC中线AD上的一点，且BD:
=PD-AD,求证：
AADC^ACDP.
课题27.2.1相似三角形的判世（四）
1.学习目标
1.掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判泄方法.
2•能够使用三角形相似的条件解决简单的问题.
点、点
1.重石:
'
三益形相似的判立方法3——“两角对应相等，两个三角形相似
三角形相似的判定方法3的使用.
三、知识链接
（1）我们已学习过哪些判泄三角形相似的方法？
（2）如图，AABC中，点D在AB上，如果AC±
AD・AB,那么AACD与AABC相似吗？
说说你的理由.
（3）如
（2）题图，AABC中，点D在AB上,如果ZACD二ZB,那么AACD与AABC相似吗?
（4）［归纳】
三角形相似的判定方法3
如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
例1（教材P48例2）.弦AB和CD相交于0。
内一点P,求证：
PAPB二PCPD
PAPC
要证PA-PB=PC-PD,需要证PO'
PB,则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似.因为所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等"
得到两组角对应相等，再由三角形相似的判左方法3,可得两三角形相似.
例2（补充）已知:
如图,矩形ABCD中,E为BC上一点,DF丄AE于F,若AB二4,AD二5,AE二6,求DF的长.
要求的是线段DF的长.观察图形，我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在AABE和△AFD中，所以只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质能够得到这四条线段对应成比例，从而求得DF的长.因为这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判左方法来证明这两个三角形相似.
五、课堂练习
1・填一填
（1）如图3,点D在AB上，当Z=Z时，
AACD^AABC-
（2）如图4,已知点E在AC上，若点D在AB上,则满足
条件•就能够使ZUDE与原AABC相似。
已知：
如图，Z1=Z2=Z3,求证：
AABC^AADE.
3・如图，△個冲，DE//BC.EF//AB.试说明△宓s△砂
4.下列说法是否准确，并说明理由.
（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形;
（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形.
六、作业
1、图1中DE〃FG〃BC,找出图中所有的相似三角形。
2、图2中AB〃CD〃EF,找出图中所有的相似三角形。
ffi1«
2
3.在AABC和BFC'
中，如果ZA=80°
ZC=60°
ZAf=80°
ZB'
=40°
那么这两个三角形是否相似？
AF
4.已知：
如图，Z\ABC的髙AD、BE交于点F・求证：
BFFD.
5.已知：
如图,BE是AABC的外接圆0的直径,CD是AABC的高.
（1）求证:
AC*BC=BE<
D：
（2）若CD二6,AD二3,BD二8,求00的直径BE的长.
6•已知D、E分别是AABC的边AB,AC上的点，若ZA=35°
ZC=85°
ZAED=60°
AD•AB二AE•AC
7、如图：
在RtAABC中,ZABC二9（f,BD丄AC于D,若E是BC中点,ED的延长线交BA的延长线于F,求证:
AB:
BC=DF:
BF
课题27.2.2相似三角形应用举例
（一）（总第7课时）
1.进一步巩固相似三角形的知识.
2.能够使用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和髙度（如测量金字塔髙度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题.
3.通过把实际问题转化成相关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的水平・
1.重点：
使用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度.
灵活使用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.
1、判断两三角形相似有哪些方法？
二、•探索新知
1、问题1：
学校操场上的国旗旗杆的髙度是多少？
你有什么办法测呈?
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”•塔的4个斜而正对东南西北四个方向，塔基呈正方形.每边长约230多米.据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间・原高146.59米，但因为经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以髙度有所降低.
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天.希腊国王阿马西斯对他说：
“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的髙度吧！
S这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的髙度的吗？
3、例题讲解
据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯以前利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的髙度.
如图，如果木杆前长2m,它的影长刊为3m测得创为201m,求金字塔的髙度万O（思考如何测出创的长？
）
根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行,从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判怎和性质，根据已知条件，求出金字塔的髙度.
4、课堂练习
毎楼的髙度是多
在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影
少米？
（在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例•丿
估算河的宽度，你有什么好办法吗?
6.例4
如图，为了估算河的宽度，我们能够在河对岸选世一个目标只在近岸取点0和S,使点只Q、S共线且直线尸S与河垂直，接着在过点S且与尸S垂直的直线a上选择适当的点几确左刃与过点Q且垂直FS的直线b的交点R.如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.
设河宽PQ长为xm,因为此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形.所以有空=空，
PSST
vAf）
即一=一・再解X的方程可求出河宽.
x+4590
6、课堂练习
如图，测得BD二120m,DC二60m,EC=50m,求河宽AB。
C第2題》
7、结合此题写出测量河宽的方案。
三、回顾与反思.
（1）谈谈本巧课你有哪些收获.
4.当堂检测
•1如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个点）发出的光线照射桌而形成阴影的示意图，已知桌而的
直径为1・2米，桌而距离地而为1米，若灯泡距离地而3米，则地而上阴影部分的面积为多少？
2.为了测虽:
一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC丄AB,在AC上找到一点D,在BC上找到一点E,使DE丄AC,测出AD二35m,DC二35m,DE=30m,那么你能算出池塘的宽AB吗？
3、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆.小丽站在离南岸边15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米・
4、*小，一八”「亠-八“7,要求它的厚度x,需先求出内孔的直径AB,现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若0A：
0C=0B：
0D二3,且量得CD=7cm,求厚度x°
5、如肚■這兰抉锐角三角形余料,形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
°
QDM
课题:
27.2.2相似三角形应用举例
（二）（总第8课时）
学习目的：
3.通过把实际问题转化成相关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的水平.
重点.难点
二•探索新知
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