成都市初中名校数学竞赛班选拔考试模拟试题含答案Word文件下载.docx

成都市初中名校数学竞赛班选拔考试模拟试题含答案Word文件下载.docx

《成都市初中名校数学竞赛班选拔考试模拟试题含答案Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《成都市初中名校数学竞赛班选拔考试模拟试题含答案Word文件下载.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

19、已知三角形的每条边长的数值都是2001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（　　）

A．6B．7C．5D．9

20、使方程3x+2y=200成立的正整数对（x，y）有（　　）

A．66个B．33个C．30个D．18个

21，三元一次方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有（　　）。

A．20001999个B．19992000个C．2001000个D．2001999个

22,如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（）.

A．4B．6C．8D．10

三、应用题（每题8分，共32分）

23、从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．（详细过程才给分）

24、以[x]表示不超过x的最大整数。

记A=[x]+[2x]+[3x]+[4x]．在所有的正整数中，有些数是A取不到的，把所有A取不到的正整数从小到大排起来，第30个数是多少？

25、完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的q倍；

丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的x倍，求证：

x=（p+q+2）/（pq－1）

26、如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2．连接AD和BE，它们相交于点P，过点P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q、R，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为多少？

参考答案

一、填空题

1,5

2,18,

解：

∵任意三个相邻数之和都是35，

∴a1+a2+a3=a2+a3+a4=35，a2+a3+a4=a3+a4+a5=35，a3+a4+a5=a4+a5+a6=35，

∴a1=a4，a2=a5，a3=a6，∴a1=a3n+1，a2=a3n+2，a3=a3n，∵20=3×

6+2，a20=15，

∴a20=a2=15；

∵99=3×

33

∴a99=a3，

∵a3=2x，a99=3－x，

∴3－x=2x，

∴x=1，

∴a3=2，∵a1+a2+a3=35，

∴a1=35－15－2=18，

∵2011=670×

3+1，

∴a2011=a1=18．

故答案为18．

3,解：

∵站内原有的6辆车全部开出用时为4×

（6－1）=20分钟．

此时站内又有出租车（20－2）÷

6+1=4（辆）

设再经过x分钟站内无车．

x/6+4=x/4x=48

48+20=68（分钟）

答：

经过至少68分钟站内无车．就不能正点发车．

4,解：

由题意声音走的路程为4×

340=1360（米），车的速度为72000/3600=20米/秒，

∴车走路程为72000/3600×

4=80（米），

则2（听到回响时汽车离山谷听距离）=声音走的路程－车行路程=1360－80=1280（米），

因为声音是来回所以单程为1280÷

2=640（米），

故答案填：

640．

5，解：

由图可得，小正方体从图1的位置依次翻到第12格时，“A”在下面，

∵A，B，C的对面分别是x，y，z三个字母，

则这时小正方体朝上面的字母是“x”．

故答案为：

x．

6，解：

∵204－79=125，

若两整数分别为a，a+1，则（a+1）2－a2=125，2a+1=125，a=62，

若两整数分别为a，a+2，则（a+2）2－a2=125，4a+4=125，a不是整数，舍去，

若两整数分别为a，a+3，则（a+3）2－a2=125，6a+9=125，a=19，a2＜1000，

对于a，a+n（n＞3），得到的a更小，更不符合大于1000，

∴a=62，a2=3844，

3844－79=3765．

这个数是3765．

3765．

7，解：

根据题意可得：

AC+AD+AB+CD+CB+DB=29，

即（AC+CB）+（AD+DB）+（AB+CD）=29，

3AB+CD=29，

∵图中所有线段的长度都是正整数，

∴当CD=1时，AB不是整数，

当CD=2时，AB=9，

当CD=3时，AB不是整数，

当CD=4时，AB不是整数，

当CD=5时，AB=8，

…

当CD=8时，AB=7，

又∵AB＞CD，

∴AB只有为9或8．

9或8．

8，解：

设a1，a2，a3，a4为1，2，3，4，

∴a5+a6+a7…+a10=2000－（1+2+3+4）=1990，

∵a6≥a5+1；

a7≥a5+2；

a8≥a5+3；

a9≥a5+4；

a10≥a5+5；

∴a5+a6+a7…+a10≥6a5+15，

∴6a5+15≤1990，

解得a5≤32916，

∴a5最大能取329，那么可得a5，a6，a7，a8，a9，只能分别取330，331，332，333，那么a10只能取335．

故答案为329；

335．

9，解：

每行驶1km前后胎的损耗度分别为1/5000，1/3000，行驶xkm后交换，继续行驶ykm报废．

x/5000+y/3000=1

x/3000+y/5000=1，

解得x=1875y=1875，

∴最多可行驶1875+1875=3750km，

故答案为3750．

10，解：

设儿子的速度是x，父亲的速度是kx，即父亲速度是儿子速度的k倍，设圆形溜冰场一圈的长是s．

根据题意得：

s/kx－x×

5=s/kx+x解得：

k=3/2．

故答案是：

3/2．

11，解：

由题意可知首先考虑大数至少是另一个小数的3倍时，小数都不可取，

因为65×

3＜199＜67×

3，

所以在67前面的数都可以找到它的整数倍，在67～199后面中的某一个数；

1、3、5、7、…、65共33个数，

因此所取出的数中，任何一个数都不是另一个数的整数倍，这样的数最多能取出100－33=67个．

故答案为67．

12，解：

∵AB=AC，BG=BH，AK=KG，

∴∠ABC=∠ACB，∠G=∠H，∠A=∠G，

∴∠A=∠H，

∵∠ABC=∠G+∠H=2∠A=∠ACB，∠ACB=∠KCH，∠CKH=∠A+∠G=2∠A，

∴∠CKH+∠KCH+∠H=180°

，

即5∠A=180°

∴∠A=36°

．

36°

13，解：

如图，连接BC，

∵AM=CN=2，∠AMC=∠CNB=90°

，MC=BN=1，

∴△AMC≌△CNB（SAS），

∴AC=BC，∠1=∠BCN，

又∠1+∠ACM=90°

，∴∠BCN+∠ACM=90°

即∠ACB=180°

－（∠BCN+∠ACM）=90°

△ABC为等腰直角三角形，

∠BAC=45°

∴∠1+∠2=90°

－∠BAC=45°

45°

14，解：

若三边能构成三角形则必有两小边之和大于第三边，即a+b＞c．

∵b＜c，

∴b＜c＜a+b，

又∵c－b＜a≤b，三角形的三边a，b，c的长都是整数，

∴1＜a≤5，

∴a=2，3，4，5．

当a=2时，5＜c＜7，此时，c=6；

当a=3时，5＜c＜8，此时，c=6，7；

当a=4时，5＜c＜9，此时，c=6，7，8；

当a=5时，5＜c＜10，此时，c=6，7，8，9；

∴一共有1+2+3+4=10个．

10．

15，解：

设3n+1=m2，则3n=m2－1=（m+1）（m－1），

故m+1，m－1中必有一个是3的倍数，

不妨设m－1=3a，

则3n=m2－1=（m+1）（m－1）=（3a+2）•3a，

即n=a（3a+2），

则n+1=a（3a+2）+1=3a2+2a+1=a2+a2+（a+1）2，

故其最小值为3．

3．

16，解：

1680，1692，1694，1695，1696为满足条件的5个数（答案不唯一）．

以上5个数可用以下步骤找出：

第一步：

2，3，4为满足要求的三个数；

第二步：

设a，a+2，a+3，a+4为满足条件的四个数，则a可被2，3，4整除，

取a=12，得满足条件的四个数为12，14，15，16；

第三步：

设b，b+12，b+14，b+15，b+16为满足条件的五个数，

取12，14，15，16的最小公倍数为b，即b=1680，

得满足条件的五个数1680，1692，1694，1695，1696．

二、选择题

17，解：

根据父亲离家的距离在这个过程中分为3段，先远后不变最后到家，儿子离家的路程也分为3段．

故选C．

18，解：

设两码头之间距离为s，船在静水中速度为a，水速为v0，则往返一次所用时间为t0=sa+v0+sa－v0，

设河水速度增大后为v，（v＞v0）则往返一次所用时间为t=sa+v+sa－v．

∴t0－t=sa+v0+sa－v0－sa+v－sa－v=s[（1a+v0－1a+v）+（1a－v0－1a－v）]

=s[v－v0（a+v0）（a+v）+v0－（a－v0）（a－v）]

=s（v－v0）[1（a+v0）（a+v）－1（a－v0）（a－v）]

由于v－v0＞0，a+v0＞a－v0，a+v＞a－v

所以（a+v0）（a+v）＞（a－v0）（a－v）

∴1（a+v0）（a+v）＜1（a－v0）（a－v），即1（a+v0）（a+v）－1（a－v0）（a－v）＜0，

∴t0－t＜0，即t0＜t，

因此河水速增大所用时间将增多．

故选A．可以假设具体数字尝试。

19，解：

2001=3×

23×

29，3、23、29都是质数，

能组成三角形的有3、3、3，23、23、23，29、29、29，

3、23、23，3、29、29，

23、23、29，23、29、29，

共能组成7个不同的三角形．

故选B．

20，解：

由题意得：

x=200－2y/3，

∵x和y的值取正整数，200是偶数

∴200－2y＞0，且是3的倍数，x只能取偶数，

根据以上条件可得0＜x＜2003，

∴x只能取2，4，6，…64，66，共33个数，

即方程成立的正整数对（x，y）有33个．

故答案选B．

21，解：

当x=0时，y+z=1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解；

当x=1时，y+z=1998，有1999个整数解；

当x=2时，y+z=1997，有1998个整数解；

当x=1999时，y+z=0，只有1组整数解，

故非负整数解的个数有2000+1999+1998+…+3+2+1=2001000（个），

22，解：

由图可知经过两次折叠后（最右边的图形中），

AB=AD－BD=AD－（10－AD）=2，

BD=EC=10－AD=4．

∵AD∥EC，

∴△AFB∽△EFC．

∴AB/EC=BF/FC．

∵AB=2，EC=4，

∴FC=2BF．

∵BC=BF+CF=6，

∴CF=4．

S△EFC=EC×

CF÷

2=8．

三、应用题

23，解：

当n=4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．（3分）

当n=5时，设a1，a2，a5是1，2，…，9中的5个不同的数．

若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则a1，a2，a5中不可能同时出现1和9；

2和8；

3和7；

4和6．

于是a1，a2，…，a5中必定有一个数是5．

若a1，a2，…，a5中含1，则不含9．于是不含4（4+1+5=10），故含6；

于是不含3（3+6+1=10），故含7；

于是不含2（2+1+7=10），故含8．但是5+7+8=20是10的倍数，矛盾．

若a1，a2，…，a5中含9，则不含1．于是不含6（6+9+5=20），故含4；

于是不含7（7+4+9=20），故含3；

于是不含8（8+9+3=10），故含2．但是5+3+2=10是10的倍数，矛盾．

综上所述，n的最小值为5．（8分）

24，解：

∵随着x增大，[x]，[2x]，[3x]，[4x]中有时候只有一个数会增加1，

如x=0.25时，在x＜0.25时，[x]，[2x]，[3x]都是0，[4x]是1，A=0+0+0+1=1；

当4x=1时，有时几个数同时增加1，使得中间数有跳过．

如当0.25＜x＜0.5，A=0+0+1+1=2，当x=0.5时，A=0+1+1+2，中间就跳过了3．

如当0.5＜x＜1，A=0+1+2+3，当x=1，A=1+2+3+4，中间跳过3，7，8，9．

再增加也是这个规律，每隔10会有一个循环．

∴从小到大排列，第30个数应该是，30除以4等于7余2，

∴第30个数是为77．

77．

25,解：

设甲、乙、丙三人完成同一件工作所需要的时间分别为a、b、c天，则

a=bc/b+c•p

b=ac/a+c•q

c=ab/a+b•x，

∴p=a（b+c）/bc

q=b（a+c）/ac

x=c（a+b）/ab，

∴p+q+2/（pq－1）=a（b+c）/bc+b（a+c）/ac+2除以a（b+c）/bc•b（a+c）/ac－1=c（a+b）/ab，

∴x=p+q+2/（pq－1）．

26.解：

如图：

过点E作EF∥AD，且交BC于点F，则CF/FD=CE/EA=25，

∴FD=5/5+2×

CD=5/7，

∵PQ∥CA，

∴PQ/EA=BP/BE=BD/BF=4/（4+5/7）=28/33，

于是PQ=140/33，

∵PQ∥CA，PR∥CB，

∴∠QPR=∠ACB，

∵△PQR∽△CAB，

∴S△PQRS△CAB=（PQ/CA）2=（20/33）2=400/1089．

400/1089