计数方法与技巧插板法.docx
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计数方法与技巧插板法
计数方法与技巧（插板法概念）
计数方法与技巧（插板法例题1）
计数方法与技巧（插板法例题2）
计数之插板法习题1
插板法就是插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。
应用插板法必须满足三个条件：
（1）这n个元素必须互不相异
（2）所分成的每一组至少分得一个元素
（3） 分成的组别彼此相异
举个很普通的例子来说明
把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？
问题的题干满足条件
（1）
（2），适用插板法，c92=36
下面通过几道题目介绍下插板法的应用
a 凑元素插板法（有些题目满足条件
（1），不满足条件
（2），此时可适用此方法）
1：
把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
2：
把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？
b添板插板法
3：
把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
4：
有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？
5：
有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不能再写为止，如2349，1427等等，这类数共有几个？
点击下页查看答案：
答案：
1、3个箱子都可能取到空球，条件
（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？
显然就是c122=66
2、我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？
c82=28
3、 -o-o-o-o-o-o-o-o-o-o- o表示10个小球，-表示空位
11个空位中取2个加入2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第2组始终不能取空
此时若在第11个空位后加入第12块板，设取到该板时，第二组取球为空
则每一组都可能取球为空 c122=66
4、因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为ab
显然a+b<=9,且a不为0
1-1-1-1-1-1-1-1-1- - 1代表9个1，-代表10个空位
我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a个1，第二组取到b个1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0，所以一共有c102=45
5、类似的，某数的前三位为abc，a+b+c<=9,a不为0
1-1-1-1-1-1-1-1-1- - -
在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a个1，第二组取b个1，第三组取c个1，由于第二，第三组都不能取到空，所以添加2块板
设取到第10个板时，第二组取空，即b=0；取到第11个板时，第三组取空，即c=0。
所以一共有c113=165
计数之插板法习题2
c选板法
6：
有10粒糖，如果每天至少吃一粒（多不限），吃完为止，求有多少种不同吃法？
d分类插板
7：
小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
e二次插板法
8：
在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加3个节目，共有几种情况？
答案：
6、o-o-o-o-o-o-o-o-o-o o代表10个糖，-代表9块板
10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一天吃掉
这样一共就是2^9=512啦
7、此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论
最多吃5天，最少吃1天
1：
吃1天或是5天，各一种吃法 一共2种情况
2：
吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况？
c101=10
3：
吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天?
c82=28
4：
吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天？
c63=20
所以一共是2+10+28+20=60种
8、 -o-o-o-o-o-o- 三个节目abc
可以用一个节目去插7个空位，再用第二个节目去插8个空位，用最后个节目去插9个空位
所以一共是c71×c81×c9 1=504种
1、将9台型号相同的电脑送给三所希望小学，每个学校至少分1台，共有多少种分法？
2、将13台型号相同的电脑送给三所希望小学，每个学校至少分2台，共有多少种分法？
3、将9台型号相同的电脑送给三所希望小学，每个学校至少分0台，共有多少种分法？
（C82C92C112）
计数之插板法习题4
1、将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？
2、有9颗相同的糖，每天至少吃1颗，要4天吃完，有多少种吃法？
3、现有10个完全相同的篮球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法?
4、将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，一共有多少种方法？
计数之插板法习题4
（2）
1、解析：
解决这道问题只需要将8个球分成三组，然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。
因此问题只需要把8个球分成三组即可，于是可以讲8个球排成一排，然后用两个板查到8个球所形成的空里，即可顺利的把8个球分成三组。
其中第一个板前面的球放到第一个盒子中，第一个板和第二个板之间的球放到第二个盒子中，第二个板后面的球放到第三个盒子中去。
因为每个盒子至少放一个球，因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端，于是其放板的方法数是
。
（板也是无区别的）
2、解析：
原理同上，只需要用3个板插入到9颗糖形成的8个内部空隙，将9颗糖分成4组且每组数目不少于1即可。
因而3个板互不相邻，其方法数为
。
3、注释：
每组允许有零个元素时也可以用插板法，其原理不同，注意下题解法的区别。
4、解析：
此题中没有要求每个盒子中至少放一个球，因此其解法不同于上面的插板法，但仍旧是插入2个板，分成三组。
但在分组的过程中，允许两块板之间没有球。
其考虑思维为插入两块板后，与原来的8个球一共10个元素。
所有方法数实际是这10个元素的一个队列，但因为球之间无差别，板之间无差别，所以方法数实际为从10个元素所占的10个位置中挑2个位置放上2个板，其余位置全部放球即可。
因此方法数为
。
计数之插板法习题5
1、一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，现为了节约用电，要将其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？
2、一条马路的两边各立着10盏电灯，现在为了节省用电，决定每边关掉3盏，但为了安全，道路起点和终点两边的灯必须是亮的，而且任意一边不能连续关掉两盏。
问总共可以有多少总方案？
答案
1、解析：
要关掉9盏灯中的3盏，但要求相邻的灯不能关闭，因此可以先将要关掉的3盏灯拿出来，这样还剩6盏灯，现在只需把准备关闭的3盏灯插入到亮着的6盏灯所形成的空隙之间即可。
6盏灯的内部及两端共有7个空，故方法数为
。
A、120B、320C、400D、420
2、解析：
考虑一侧的关灯方法，10盏灯关掉3盏，还剩7盏，因为两端的灯不能关，表示3盏关掉的灯只能插在7盏灯形成的6个内部空隙中，而不能放在两端，故方法数为
，总方法数为
。
注释：
因为两边关掉的种数肯定是一样的（因为两边是同等地位），而且总的种数是一边的种数乘以另一边的种数，因此关的方案数一定是个平方数，只有C符合。
计数之插板法习题6
7名学生站成一排,甲乙互不相邻有多少不同排法？
解:
甲,乙二人不相邻的排法一般应用"插空"法,所以甲,乙二人不相邻的排法总数应为:
种.
插入法:
对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.若个人站成一排,其中个人不相邻,可用"插空"法解决,共有种排法.
计数之插板法习题7
学校组织老师学生一起看电影,同一排电影票12张.8个学生,4个老师,要求老师在学生中间,且老师互不相邻,共有多少种不同的坐法
分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.
解先排学生共有种排法,然后把老师插入学生之间的空档,共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为种.
计数之插板法经典例题一
“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
例．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？
【解析】：
题目要求A和B两个人必须隔开。
首先将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成DCE，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：
DCE，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。
由乘法原理，共有排队方法：
计数之插板法经典例题二
在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？
【解析】：
直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有方法，由乘法原理得：
所有不同的添加方法为=504种。
“不邻问题”插板法解题要点
“不邻问题”插板法——先排列，再插空
“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
例．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？
【解析】题目要求A和B两个人必须隔开。
首先将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成DCE，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：
︺D︺C︺E︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。
由乘法原理，共有排队方法：
。
例．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？
【解析】直接解答较为麻烦，可利用插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有种方法，由乘法原理得：
所有不同的添加方法为=504种。
例．一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？
【解析】若直接解答须分类讨论，情况较复杂。
故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有种方法（请您想想为什么不是），因此所有不同的关灯方法有种。
【提示】运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。
解题过程是“先排列，再插空”。
计数之插板法经经典例题三
计数之插板法经经典例题四
计数之插板法经经典练习题
计数之插板法经经典例题五
计数之插板法经经典例题六
例．现有10个完全相同的球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法?
【解析】：
题目中球的分法共三类：
第一类：
有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。
其分法种数为。
第二类：
有1个班分到3个球，1个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球。
其分法种数。
第三类：
有1个班分到4个球，其余的6个班每班分到1个球。
其分法种数。
所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为：
。
由上面解题过程可以明显感到对这类问题进行分类计算，比较繁锁，若是上题中球的数目较多处理起来将更加困难，因此我们需要寻求一种新的模式解决问题，我们创设这样一种虚拟的情境——插板。
将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档，现在我们用“档板”把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），借助于这样的虚拟“档板”分配物品的方法称之为插板法。
由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插法：
即是在9个空档之中插入6个“档板”（6个档板可把球分为7组），其方法种数为。
由上述问题的分析解决看到，这种插板法解决起来非常简单，但同时也提醒各位考友，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以下3个条件：
①所要分的元素必须完全相同；
②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余；
③参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。
应用插板法需要满足的条件
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。
应用插板法必须满足三个条件：
（1）这n个元素必须互不相异
（2）所分成的每一组至少分得一个元素
（3）分成的组别彼此相异
举个很普通的例子来说明
把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？
问题的题干满足条件
（1）
（2），适用插板法，c92=36
计数插板法之凑元素插板法例题介绍
凑元素插板法（有些题目满足条件
（1），不满足条件
（2），此时可适用此方法）
例1：
把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
3个箱子都可能取到空球，条件
（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入
1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？
显然就是c122=66
例2：
把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？
我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？
c82=28
计数插板法之添板插板法例题介绍
添板插板法
例3：
把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o- o表示10个小球，-表示空位
11个空位中取2个加入2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第2组始终不能取空
此时若在第11个空位后加入第12块板，设取到该板时，第二组取球为空
则每一组都可能取球为空 c122=66
例4：
有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？
因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为ab
显然a+b<=9,且a不为0
1-1-1-1-1-1-1-1-1- - 1代表9个1，-代表10个空位
我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a个1，第二组取到b个1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0，所以一共有c102=45
例5：
有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不能再写为止，如2349，1427等等，这类数共有几个？
类似的，某数的前三位为abc，a+b+c<=9,a不为0
1-1-1-1-1-1-1-1-1- - -
在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a个1，第二组取b个1，第三组取c个1，由于第二，第三组都不能取到空，所以添加2块板
设取到第10个板时，第二组取空，即b=0；取到第11个板时，第三组取空，即c=0。
所以一共有c113=165
计数插板法之凑元素选板法例题介绍
选板法
例6：
有10粒糖，如果每天至少吃一粒（多不限），吃完为止，求有多少种不同吃法？
o-o-o-o-o-o-o-o-o-o o代表10个糖，-代表9块板
10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一天吃掉
这样一共就是2^9=512啦
d分类插板
例7：
小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论最多吃5天，最少吃1天
1：
吃1天或是5天，各一种吃法 一共2种情况
2：
吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况？
c101=10
3：
吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天?
c82=28
4：
吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天？
c63=20
所以一共是2+10+28+20=60种
e二次插板法
例8：
在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加3个节目，共有几种情况？
-o-o-o-o-o-o- 三个节目abc
可以用一个节目去插7个空位，再用第二个节目去插8个空位，用最后个节目去插9个空位
所以一共是c71×c81×c9 1=504种
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