学年最新高中数学北师大版必修一25《第2课时函数的奇偶性》同步测试Word格式.docx
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[答案] C
[解析] 本题考查复合函数的奇偶性．函数f（x）是奇函数，则函数|f（x）|是偶函数，所以选项A得到的函数是奇函数；
选项B、D是偶函数；
所以选C，一个奇函数和一个偶函数的积在其公共的定义域内是奇函数．
5．函数f（x）＝
＋x－1，若f（a）＝2，则f（－a）＝（ ）
A．－2B．2
C．1D．－4
[答案] D
[解析] 令g（x）＝
＋x，则g（x）为奇函数．
∵f（a）＝g（a）－1＝2，∴g（a）＝3.
∴f（－a）＝g（－a）－1＝－g（a）－1＝－4，故选D.
6．设f（x）是奇函数，且在（0，＋∞）内是增加的，又f（－3）＝0，则f（x）<
0的解集是（ ）
A．{x|－3<
x<
0或x>
3}
B．{x|x<
－3或0<
C．{x|x<
－3或x>
D．{x|－3<
0或0<
[解析] x>
0时f（3）＝－f（－3）＝0，
又∵f（x）在（0，＋∞）内是增加的，
∴x∈（0,3）时f（x）<
0，
又∵f（x）为奇函数．当x<
0时，只有x∈（－∞，－3）时，f（x）<
0，故选B.
二、填空题
7．已知定义在R上的偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上是增加的，则f（－2）、f
（1）、f（－3）的大小关系是____________．
[答案] f
（1）<
f（－2）<
f（－3）
[解析] ∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（－2）＝f
（2），f（－3）＝f（3），
∵f（x）在[0，＋∞）上是增加的，且1<
2<
3，
∴f
（1）<
f
（2）<
f（3），即f
（1）<
f（－3）．
8．下列函数中是奇函数的序号是________．
①y＝－
；
②f（x）＝x2；
③y＝2x＋1；
④f（x）＝－3，x∈[－1,2]．
[答案] ①
[解析] y＝－
的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），f（－x）＝－f（x），所以是奇函数；
f（x）＝x2的定义域为R，且f（－x）＝f（x），所以是偶函数；
y＝2x＋1的定义域为R，图像既不关于原点对称，也不关于y轴对称是非奇非偶函数；
f（x）＝－3x，x∈[－1,2]，定义域不关于原点对称，不具备奇偶性．
三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x3＋x2；
（2）f（x）＝0；
（3）f（x）＝（1＋x）3－3（1＋x2）＋2；
（4）f（x）＝
（5）f（x）＝
.
[解析]
（1）函数的定义域为R，它关于原点对称，
但f（－x）＝－x3＋x2与－f（x）和f（x）都不相等，
所以f（x）＝x3＋x2为非奇非偶函数．
（2）函数的定义域为R，它关于原点对称，
因为f（－x）＝0，f（x）＝0，
即f（－x）＝f（x），f（－x）＝－f（x）同时成立．
所以f（x）＝0既是奇函数又是偶函数．
（3）函数的定义域为R，
f（x）＝（1＋x）3－3（1＋x2）＋2＝x3＋3x，
f（－x）＝－x3－3x＝－f（x）．故f（x）是奇函数．
（4）定义域为{x∈R，x≠0}，而当x>
0时，－x<
f（－x）＝－x（1－x）＝－f（x）；
当x<
0时，－x>
0，f（－x）＝－x（1＋x）＝－f（x）；
∴f（－x）＝－f（x）．故f（x）是奇函数．
（5）解法1：
函数的定义域为实数集R，且
f（－x）＋f（x）＝
＋
＝
＝0，
∴f（－x）＝－f（x），故f（x）在R上是奇函数．
解法2：
当x≠0时，f（x）≠0，此时
＝－1，
即f（－x）＝－f（x）．当x＝0时，f（－0）＝0＝－f（0）．
∴f（x）在R上为奇函数．
10．已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，且在（－∞，0]上是减少的，若f（a）≥f
（2），求实数a的取值范围．
[解析] 解法1：
因为y＝f（x）在R上为偶函数，且在（－∞，0]上是减少的，
所以y＝f（x）在[0，＋∞）上为增加的．
①当a≥0时，因为f（a）≥f
（2），所以a≥2.
②当a≤0时，因为f（x）为偶函数，
所以f
（2）＝f（－2）．
又因为f（a）≥f
（2），所以f（a）≥f（－2）．
而f（x）在（－∞，0]上为减少的，所以a≤－2.
由①②可得a≤－2或a≥2.
因为f（x）在R上为偶函数且在（－∞，0]上为减少的，
所以y＝f（x）在[0，＋∞）上是增加的．
因此由f（|a|）＝f（a）≥f
（2）得|a|≥2，解得a≤－2或a≥2.
即a的取值范围为a≤－2或a≥2.
1．（2014·
湖南高考）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f
（1）＋g
（1）＝（ ）
A．－3B．－1
C．1D．3
[解析] ∵f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，
∴f（－x）－g（－x）＝－x3＋x2＋1，①
又∵f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，
∴f（x）＋g（x）＝－x3＋x2＋1，②
由①②得f（x）＝x2＋1，g（x）＝－x3，
∴f
（1）＝2，g
（1）＝－1，∴f
（1）＋g
（1）＝1.
2．已知定义域为R的函数f（x）在（2，＋∞）上是增加的，且函数y＝f（x＋2）为偶函数，则下列结论不成立的是（ ）
A．f（0）>
f
（1）B．f（0）>
f
（2）
C．f
（1）>
f
（2）D．f
（1）>
f（3）
[解析] ∵函数y＝f（x＋2）为偶函数，
令g（x）＝f（x＋2），
∴g（－x）＝f（－x＋2）＝g（x）＝f（x＋2），
∴f（x＋2）＝f（2－x），
∴函数f（x）的图像关于直线x＝2对称，
又∵函数f（x）在（2，＋∞）上是增加的，
∴在（－∞，2）上为减函数，利用距对称轴x＝2的远近可知，
f（0）>
f
（1），f（0）>
f
（2），f
（1）>
f
（2），f
（1）＝f（3）．
3．已知f（x）是奇函数，且当x>
0时，f（x）＝2x2－1，那么f（－1）＝________.
[答案] －1
[解析] ∵f（x）是奇函数，∴f（－1）＝－f
（1）＝－（2×
12－1）＝－1.
4．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x＋2）＝－f（x），又知当0<
x≤1时，f（x）＝x，则f（7.5）的值为________．
[答案] －0.5
[解析] ∵f（x＋2）＝－f（x），
∴f（7.5）＝f（5.5＋2）＝－f（5.5）＝－f（3.5＋2）
＝f（3.5）＝f（1.5＋2）＝－f（1.5）
＝－f（－0.5＋2）＝f（－0.5），
又f（x）为奇函数，∴f（－0.5）＝－f（0.5）＝－0.5.
5．设定义在[－2,2]上的偶函数f（x）在区间[－2,0]上单调递减，若f（1－m）<
f（m），求实数m的取值范围．
[分析] 已知条件较多，充分利用已知条件：
f（1－m）<
f（m），则f（|1－m|）<
f（|m|）．
[解析] 因为f（x）在[－2,2]上为偶函数，f（1－m）<
f（m）．
所以
即
解得
<
m≤2.
6．
（1）函数y＝f（x）是偶函数，且在（－∞，0]上是增加的，试比较f（－
）与f
（1）的大小；
（2）已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋x－2，求f（x），g（x）的表达式．
[解析]
（1）∵－1<
－
，且函数y＝f（x）在（－∞，0]上是增加的，
∴f（－1）<
f（－
）．
又∵y＝f（x）是偶函数，
∴f（－1）＝f
（1）．∴f
（1）<
（2）由f（x）＋g（x）＝x2＋x－2，①
得f（－x）＋g（－x）＝x2－x－2.
∵f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，
∴f（x）－g（x）＝x2－x－2.②
①＋②得2f（x）＝2x2－4，∴f（x）＝x2－2.
①－②得2g（x）＝2x，∴g（x）＝x.
7．已知函数f（x）＝
（a、b、c∈Z）是奇函数，并且f
（1）＝2，f
（2）<
3，求a、b、c.
[分析] 根据定义，应使f（x）＋f（－x）＝0对定义域内的任意x恒成立的式子即为恒等式．
[解析] ∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），
＝－
，
∴
＝0.
∵ax2＋1不恒为0，∴c＝0.
又∵f
（1）＝2，
＝2.∴a＋1＝2b.
又∵f
（2）<
3，∴
3.
将2b＝a＋1代入上式
3，得
0.
∴－1<
a<
2，
∵a∈Z，∴a＝0，或a＝1.
而a＝0，b＝
与b∈Z矛盾，故舍之．
∴a＝1，b＝1，c＝0.
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