(2)若a=
,则f(x)=
x3-
x+
,
∴f(-1)=
>0,f(0)=
>0,f
(1)=-
<0.
∴函数零点在(0,1)上,又f
=0,
∴方程f(x)=0在区间(-1,1)上的根为
.
12.如图所示,有一块边长为15cm的正方形铁皮,将其四角各截去一个边长为xcm的正方形,然后折成一个无盖的盒子.
(1)求盒子的容积y(以x为自变量)的函数解析式,并写出这个函数的定义域;
(2)如果要做一个容积为150cm3的无盖盒子,那么截去的小正方形的边长x是多少?
(结果精确到0.1cm)
解:
(1)盒子的容积y是以x为自变量的函数,
解析式为y=x(15-2x)2,x∈(0,7.5),
(2)如果要做成一个容积是150cm3的盒子,
则(15-2x)2·x=150.
令f(x)=(15-2x)2·x-150,
由f(0)·f
(1)<0,f(4)·f(5)<0,
可以确定f(x)在(0,1)和(4,5)内各有一个零点,即方程(15-2x)2·x=150在区间(0,1)和(4,5)内各有一个解.
取区间(0,1)的中点x1=0.5,
∵f(0.5)=-52,
∴零点x0∈(0.5,1).
再取中点x2=0.75,
∵f(0.75)≈-13.31,
∴零点x0∈(0.75,1).
继续有x0∈(0.75,0.875),x0∈(0.8125,0.875),x0∈(0.84375,0.875),x0∈(0.84375,0.859375),x0∈(0.84375,0.8515625),x0∈(0.84375,0.84765625).
∵区间(0.84375,0.84765625)内的所有值,若精确到0.1都是0.8,
∴方程在区间(0,1)内精确到0.1的近似解为0.8.
同理,可得方程在区间(4,5)内精确到0.1的近似解为4.7.所以要做成一个容积为150cm3的无盖盒子,截去小正方形的边长约是0.8cm或4.7cm.
1.判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是:
其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合,对函数的不变号零点不适用.
2.利用二分法求方程近似解的步骤是:
(1)构造函数,利用图象确定方程的解所在的大致区间,通常限制在区间(n,n+1),n∈Z;
(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M;
(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间M的一个端点.
2019-2020年高中数学3.1.2用二分法求方程的近似解课时作业(含解析)新人教A版必修1
一、选择题
1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
【解析】 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.在B中,不满足f(a)·f(b)<0,不能用二分法求零点,由于A、C、D中零点两侧函数值异号,故可采用二分法求零点.故选B.
【答案】 B
2.(xx·河南中原名校联考)设f(x)=lgx+x-3,用二分法求方程lgx+x-3=0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)<0,f(2.75)>0,f(2.5)<0,f(3)>0,则方程的根落在区间( )
A.(2,2.25) B.(2.25,2.5)
C.(2.5,2.75)D.(2.75,3)
【解析】 因为f(2.25)<0,f(2.75)>0,由零点存在性定理知,在区间(2.25,2.75)内必有根,利用二分法得f(2.5)<0,由零点存在性定理知,方程的根在区间(2.5,2.75),选C.
【答案】 C
3.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算得f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈________,第二次应计算________.以上横线上应填的内容分别为( )
A.(0,0.5),f(0.25)B.(0,1),f(0.25)
C.(0.5,1),f(0.25)D.(0,0.5),f(0.125)
【解析】 ∵f(0)<0,f(0.5)>0,∴f(0)·f(0.5)<0,故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5),利用二分法,则第二次应计算f
=f(0.25).
【答案】 A
4.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算,f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
A.0.68 B.0.72C.0.7 D.0.6
【解析】 已知f(0.64)<0,f(0.72)>0,则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72],又0.68=
(0.64+0.72),且f(0.68)<0,所以零点在区间[0.68,0.72],且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此,0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值.
【答案】 C
二、填空题
5.用二分法求方程lnx-2+x=0在区间[1,2]上零点的近似值,先取区间中点c=
,则下一个含根的区间是________.
【解析】 令f(x)=lnx-2+x,∵f
(1)=-1<0,f
(2)=ln2>0,f
=ln
-
<0,∴下一个含根的区间是
.
【答案】
6.若函数f(x)的图象是连续不间断的,根据下面的表格,可以断定f(x)的零点所在区间为________.(只填序号)
①(-∞,1];②[1,2];③[2,3];④[3,4];⑤[4,5];⑥[5,6];⑦[6,+∞)
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
-3.930
10.678
-50.667
-305.678
【解析】 ∵函数f(x)的图象是连续不断的,且f
(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,
∴函数零点分别在区间[2,3],[3,4],[4,5]内.
【答案】 ③④⑤
7.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:
f(1.6000)=0.200
f(1.5875)=0.133
f(1.5750)=0.067
f(1.5625)=0.003
f(1.5562)=-0.029
f(1.5500)=-0.060
据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解(精确度到0.01)为________.
【解析】 注意到f(1.5562)=-0.029和f(1.5625)=0.003,
显然f(1.5562)·f(1.5625)<0,区间的端点四舍五入都为1.56,故方程的一个近似解为1.56.
【答案】 1.56
三、解答题
8.求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个正零点(精确度为0.1).
【解】 f
(1)=-6<0,f
(2)=4>0,可取区间(1,2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下:
区间
中点
中点函数值
(1,2)
1.5
-2.625
(1.5,2)
1.75
0.2344
(1.5,1.75)
1.625
-1.3027
(1.625,1.75)
1.6875
-0.5618
(1.6875,1.75)
1.71875
-0.1707
由于|1.75-1.6875|=0.0625<0.1,
所以可将1.6875作为函数零点的近似值.
9.(xx·天津高一检测)借助计算机或计算器,用二分法求方程log2(x+4)=2x的一个正根的近似值.(精确度0.1)
【解】 令f(x)=log2(x+4)-2x,其零点为x0,
借助计算机作出函数f(x)的图象如图所示.
取正区间[1,2],f
(1)≈0.322,f
(2)≈-1.415.
取区间[1,2]的中点x1=1.5,
计算f(1.5)≈-0.369,
所以f
(1)·f(1.5)<0,
所以x0∈(1,1.5).
再取区间(1,1.5)的中点x2=1.25,
计算f(1.25)≈0.014,
所以x0∈(1.25,1.5).
同理可得x0∈(1.25,1.375),
x0∈(1.25,1.3125),
因为|1.3125-1.25|=0.0625<0.1,
故可取1.3125作为此函数的一个零点,
所以方程log2(x+4)=2x精确度到0.1的正根的近似值为1.3125.
1.(xx·合肥高一检测)函数f(x)=2x+m的零点落在(-1,0)内,则m的取值范围为( )
A.(-2,0) B.(0,2)
C.[-2,0]D.[0,2]
【解析】 由题意f(-1)·f(0)=(m-2)m<0,∴0【答案】 B
2.下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A.f(x)=x3-1B.f(x)=lnx+3
C.f(x)=x2+2
x+2D.f(x)=-x2+4x-1
【解析】 因为f(x)=x2+2
x+2=(x+
)2≥0,不存在小于0的函数值,所以不能用二分法求零点.
【答案】 C
3.(xx·广州高一检测)一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(如图312所示),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处的焊口脱落,则至多需要检测______次.
图312
【解析】 第1次取中点把焊点数减半为
=32(个),第2次取中点把焊点数减半为
=16(个),第3次取中点把焊点数减半为
=8(个),第4次取中点把焊点数减半为
=4(个),第5次取中点把焊点数减半为
=2(个),第6次取中点把焊点数减半为
=1(个),所以至多需要检测的次数是6.
【答案】 6
4.已知函数f(x)=lnx+2x-6.
(1)证明:
f(x)有且仅有一个零点.
(2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于
.
【解】
(1)因为函数y=lnx,y=2x-6在(0,+∞)上都是增函数,
所以f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数,
所以f(x)至多有一个零点,
由f
(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,
所以f
(2)·f(3)<0,
所以f(x)在(2,3)内至少有一个零点,
所以f(x)有且仅有一个零点.
(2)因为f
(2)<0,f(3)>0,
取x1=
=
,
f
=ln
+5-6=ln
-1<0,
所以f(3)·f
<0,
所以f(x)的零点x0∈
.
取x2=
=
,
f
=ln
+2×
-6
=ln
-
>0,
所以f
·f
<0,
所以x0∈
.
因为
=
≤
,
所以满足题意的区间为
.