等差数列的概念及性质.docx
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等差数列的概念及性质
等差数列的概念及性质
一.选择题(共
12小题)
1.等差数列{an}中,a2=7,a6=23,则a4=(
)
A.11
B.13
C.15
D.17
2.在等差数列{an}中,a4=6,a3+a5=a10,则公差d=(
)
A.﹣1
B.0
C.1
D.2
3.等差数列{an}的前n项和为
Sn,且a8﹣a5=9,S8﹣S5=66,则a33=(
)
A.82
B.97
C.100
D.115
4.在等差数列{an}中,已知a2+a5+a12+a15=36,则S16=(
)
A.288
B.144
C.572
D.72
5.已知{an}为递增的等差数列,
a4+a7=2,a5?
a6=﹣8,则公差d=(
)
A.6
B.﹣6
C.﹣2
D.4
n
1
与a11的等差中项是15,a1
2
3=9,则a9=(
)
6.在等差数列{a}中,已知
a
+a+a
A.24
B.18
C.12
D.6
7.已知等差数列
n
n,且a1
812=12,则S13=(
)
{a}的前n项和为S
+a+a
A.104
B.78
C.52
D.39
8.等差数列{an}的前n项和为
Sn,若a1=3,S5=35,则数列{an}的公差为(
)
A.﹣2
B.2
C.4
D.7
9.在等差数列{an}中,若a3+a5+2a10=4,则S13=(
)
A.13
B.14
C.15
D.16
10.在等差数列{an}中,若
2a8=6+a11,则a4+a6=(
)
A.6
B.9
C.12
D.18
11.等差数列{an}中,a2与a4是方程x2﹣4x+3=0的两根,则
a1+a2+a3+a4+a5=(
)
A.6
B.8
C.10
D.12
12.等差数列{an}满足4a3+a11﹣3a5=10,则a4=(
)
A.﹣5
B.0
C.5
D.10
二.填空题(共
5小题)
13.数列{an}中,若an+1=an+3,a2+a8=26,则a12=
.
14.在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则3a9﹣a11的值为
.
第1页(共11页)
15.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若=,则
=.
16.等差数列{an}中,前n项和为Sn,a1<0,S17<0,S18>0,则当n=时,Sn取
得最小值.
17.等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,若,则=
三.解答题(共5小题)
18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=7,a5+a7=26.
(Ⅰ)求an及Sn;
(Ⅱ)令bn=(n∈N+),求证:
数列{bn}为等差数列.
19.已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a5﹣a3=4.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设等比数列
{bn}满足b2=a3,b3=a7,问:
b6是数列{an}中的第几项?
20.在等差数列
n
n为其前n项的和,已知
a13=22,S5=45.
{a}中,S
+a
(1)求an,Sn;
(2)设数列{Sn}中最大项为Sk,求k及Sk.
21.观察如图数表,问:
(1)此表第n行的第一个数与最后一个数分别是多少?
(2)此表第n行的各个数之和是多少?
(3)2012是第几行的第几个数?
22.(理)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且角B,A,C成等差数列.
(1)若a2﹣c2=b2﹣mbc,求实数m的值;
(2)若a=,求△ABC面积的最大值.
第2页(共11页)
等差数列的概念及性质
参考答案与试题解析
一.选择题(共
12小题)
1.等差数列{an}中,a2=7,a6=23,则a4=(
)
A.11
B.13
C.15
D.17
【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出结果.
【解答】解:
∵等差数列{an}中,a2=7,a6=23,
∴,解得a1=3,d=4.
∴a4=a1+3d=3+12=15.
故选:
C.
【点评】本题考查等差数列的第4项的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
2.在等差数列{an}中,a4=6,a3+a5=a10,则公差d=(
)
A.﹣1
B.0
C.1
D.2
【分析】根据等差数列的性质和通项公式即可求出
【解答】解:
∵a4=6,a3+a5=a10,
∴2a4=a4+6d,
∴d=a4=1,
故选:
C.
【点评】本题考查了等差数列的性质和通项公式,属于基础题
3.等差数列{an}的前n项和为Sn,且a8﹣a5=9,S8﹣S5=66,则a33=(
)
A.82
B.97
C.100
D.115
【分析】先求出公差d,再根据求和公式求出
a1=4,即可求出a33.
【解答】解:
∵等差数列{an
n,且a8﹣a5=9,
}的前n项和为
S
∴3d=9,
∴d=3,
∵S8﹣S5=66,
第3页(共11页)
∴8a1+×3﹣5a1﹣×3=66,
∴a1=4,
∴a33=a1+32d=4+32×3=100,
故选:
C.
【点评】本题考查等差数列的求和公式,考查了运算求解能力,属于基础题.
4.在等差数列
n
25
1215=36,则S16=(
)
{a}中,已知
a+a+a
+a
A.288
B.144
C.572
D.72
【分析】根据等差数列的性质和求和公式计算即可.
【解答】解:
a2+a5+a12+a15=2(a2+a15)=36,
∴a1+a16=a2+a15=18,
∴S16==8×18=144,
故选:
B.
【点评】本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质,属于基础题
5.已知{an}为递增的等差数列,a4+a7=2,a5?
a6=﹣8,则公差d=(
)
A.6
B.﹣6
C.﹣2
D.4
【分析】a5,a6
是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根,且a5<a6,求解方程得答案.
【解答】解:
∵{an}为递增的等差数列,且
a4+a7=2,a5?
a6=﹣8,
∴a5+a6=2,
∴a5,a6是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根,且a5<a6,
∴a5=﹣2,a6=4,
∴d=a6﹣a5=6,
故选:
A.
【点评】本题考查等差数列的通项公式,考查方程的解法,是基础的计算题.
6.在等差数列
n
1与a11的等差中项是15,a1
23=9,则a9=(
)
{a}中,已知
a
+a+a
A.24
B.18
C.12
D.6
【分析】利用等差数列通项公式列方程组,求出首项和公差,由此能求出
a9的值.
【解答】解:
∵在等差数列
{an}中,a1
与a11的等差中项是
15,
∴
=a1+5d=15,①
∵a1+a2+a3=9,
第4页(共11页)
∴a1+d=3,②
联立①②,得a1=0,d=3,
∴a9=a1+8d=0+24=24.
故选:
A.
【点评】本题考查等差数列的第9项的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a8+a12=12,则S13=(
)
A.104
B.78
C.52
D.39
【分析】数列{an
18
12可以用首项和公差表示,进而得到
a7,求出
}为等差数列,故
a+a+a
13.
S
【解答】解:
因为已知等差数列{an
n,且a1
812=3a1
7=12,
}的前n项和为S
+a+a
+18d=3a
故a7=4,所以S13=
=13a7=13×4=52.
故选:
C.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式,等差中项,前
n项和公式,属于基础题.
n
n,若a1=3,S5=35,则数列{an
}的公差为(
)
8.等差数列{a}的前n
项和为S
A.﹣2
B.2
C.4
D.7
【分析】利用等差数列的求和公式即可得出.
【解答】解:
∵a1=3,S5=35,∴5×3+
=35,解得d=2.
故选:
B.
【点评】本题考查了等差数列的求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
9.在等差数列{an}中,若a3+a5+2a10=4,则S13=(
)
A.13
B.14
C.15
D.16
【分析】由a3+a5+2a10=4,可得4a7=4,解得a7,利用S13=13a7即可得出.
【解答】解:
∵a3+a5+2a10=4,
∴4a7=4,解得a7=1,
则S13=13a7=13.
故选:
A.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
第5页(共11页)
10.在等差数列{an}中,若2a8=6+a11,则a4+a6=(
)
A.6
B.9
C.12
D.18
【分析】由等差数列{an}中,2a8=6+a11,可得a5=2a8﹣a11,利用a4+a6=2a5,即可得出.
【解答】解:
由等差数列{an}中,2a8=6+a11,∴a5=2a8﹣a11=6,
则a4+a6=2a5=12.
故选:
C.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
11.等差数列{an}中,a2与a4是方程x2﹣4x+3=0的两根,则
a1+a2+a3+a4+a5=(
)
A.6
B.8
C.10
D.12
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质即可得出.
【解答】解:
∵a2与a4是方程x2﹣4x+3=0的两根,∴a2+a4=4=2a3,解得a3=2,
则a1+a2+a3+a4+a5=5a3=10.
故选:
C.
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
12.等差数列{an}满足4a3+a11﹣3a5=10,则a4=(
)
A.﹣5
B.0
C.5
D.10
【分析】利用通项公式即可得出.
【解答】解:
设等差数列{an}的公差为d,∵4a3+a11﹣3a5=10,
∴4(a1+2d)+(a1+10d)﹣3(a1+4d)=10,
化为:
a1+3d=5.则a4=5.
故选:
C.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
二.填空题(共5小题)
13.数列{an}中,若an+1=an+3,a2+a8=26,则a12=34.
【分析】先判断数列的等差数列,再求出首项,即可求出答案.
【解答】解:
∵an+1=an+3,
第6页(共11页)
∴数列{an}为等差数列,其公差d=3,
∵a2+a8=26,
∴2a1+8d=26,
∴a1=1,
∴a12=1+11×3=34,
故答案为:
34
【点评】本题考查饿了等差数列的定义和通项公式,属于基础题.
14.在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则3a9﹣a11的值为
48.
【分析】{an
18
15=120?
5a1
8=24,然后将3a9
}为等差数列,所以
a+3a+a
+35d=120?
a
﹣a11也表示为用a8表示即可.
【解答】解:
因为数列{an}为等差数列,所以a1+3a8+a15=120可化为5a1+35d=120可
化为a8=24,又因为3a9﹣a11=2a1+14d=2a8=48,
故填:
48.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式,属于基础题.
15.已知等差数列
nn
n,Tn,若
=
,则
{a},{b}的前n项和分别为
S
=.
【分析】由等差数列的性质得===,由此能求出结果.
【解答】解:
∵等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,=,
∴=====.
故答案为:
.
【点评】本题考查等差数列的比值的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
16.等差数列{an}中,前n项和为Sn,a1<0,S17<0,S18>0,则当n=9时,Sn取得
最小值.
【分析】推导出a8+a9<0,a9>0,a8<0,由此能求出当n=8时,Sn取得最小值.
第7页(共11页)
【解答】解:
∵等差数列{an}中,前n项和为Sn,a1<0,S17<0,S18>0,
∴a9<0,a9+a10>0,
∴a9<0,a10>0,
∵a1<0,
∴当n=9时,Sn取得最小值.故答案为:
9.
【点评】本题考查等差数列的前n项和最小时n的值的求法,考查等差数列等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
17.等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,若
,则
=
【分析】由题意可设Sn=kn(n+1),Tn=kn(2n﹣1),(k≠0).由此求得
a8,b9,则答
案可求.
【解答】解,依题意,设Sn=kn(n+1),Tn=kn(2n﹣1),(k≠0).
则a8=S8﹣S7=72k﹣56k=16k,b9=T9﹣T8=33k,
所以=,
故填:
.
【点评】本题考查等差数列的性质,考查等差数列前n项和的应用,是中档题.
三.解答题(共5小题)
18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=7,a5+a7=26.
(Ⅰ)求an及Sn;
(Ⅱ)令bn=(n∈N+),求证:
数列{bn}为等差数列.
【分析】(Ⅰ)设等差数列的首项为a1,公差为d,利用等差数列通项公式列出方程组,
求出a1=3,d=2,由此能求出an,Sn.
(Ⅱ)由=,能证明数列{bn}为等差数列.
【解答】解:
(Ⅰ)设等差数列的首项为a1,公差为d,
∵a3=7,a3+a2=26.
∴由题意得,
第8页(共11页)
解得a1=3,d=2,
∴an=a1+(n﹣1)d=3+2(n﹣1)=2n+1.
==n(n+2).
证明:
(Ⅱ)∵=,
bn+1﹣bn=n+3﹣(n+2)=1,
∴数列{bn}为等差数列.
【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的求法,考查等差数列的证明,
考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
19.已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a5﹣a3=4.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7,问:
b6是数列{an}中的第几项?
【分析】(Ⅰ)设{an}公差为d,由已知列式求得首项与公差,则an可求;
(Ⅱ)由b2=a3=8,b3=a7=16,得公比q=2,进一步求得b6,代入等差数列的通项公式求得n值得答案.
【解答】解:
(Ⅰ)设{an}公差为d,由a5﹣a3=4=2d?
d=2,
由a1+a2=10=2a1+d?
a1=4,
∴an=2n+2;
(Ⅱ)由b2=a3=8,b3=a7=16,得公比q=2,
∴.
令an=2n+2=128,得n=63.
即b6为{an}中的第63项.
【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式,是基础的计算题.
20.在等差数列{an}中,Sn为其前n项的和,已知a1+a3=22,S5=45.
(1)求an,Sn;
(2)设数列{Sn}中最大项为Sk,求k及Sk.
【分析】
(1)利用已知条件列出方程组,求出数列的首项与公差,然后求解an,Sn;
(2)利用变号的项,求解最值即可.
【解答】(10分)解:
(1)由已知得,所以,
第9页(共11页)
所以an=a1+(n﹣1)d=﹣2n+15;
;
(2)由an≥0,即﹣2n+15≥0,可得n≤7,所以S7最大,k=7,S7=
=49.
【点评】本题考查等差数列的性质,数列求和以及通项公式的应用,考查计算能力.
21.观察如图数表,问:
(1)此表第n行的第一个数与最后一个数分别是多少?
(2)此表第n行的各个数之和是多少?
(3)2012是第几行的第几个数?
【分析】
(1)写出此表n行的第1个数,且第n行共有
求出第n行的最后一个数;
(2)由等差数列的求和公式求出第n行的各个数之和;
(3)设2012在第n行,列不等式求出n的值,再计算
2n﹣1个数,且成等差数列,由此
2012在第该行的第几个数.
n﹣1
,
【解答】解:
(1)此表n行的第1个数为2
n﹣1
个数,依次构成公差为
1的等差数列;(
4分)
第n行共有2
由等差数列的通项公式,此表第
n行的最后一个数是
n﹣1
n﹣1
﹣
1)×1=
n
﹣1;
2
+(2
2
(8分)
(2)由等差数列的求和公式,此表第
n行的各个数之和为
=22n﹣2+22n﹣3﹣2n﹣2,
或2
n﹣1
n﹣1
2n﹣22n﹣3n﹣2
;(
8分)
×2
+
×1=2+2
﹣2
(3)设2012在此数表的第n行.则2n﹣1≤2012≤2n﹣1,
可得n=11,
故2012在此数表的第
11
行;(10分)
设2012是此数表的第
11
行的第m个数,而第11行的第1个数为210,
第10页(共11页)
因此,2012是第11行的第989个数.(
12分)
【点评】本题考查了等差数列的应用问题,是中档题.
22.(理)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且角B,A,C成等差数列.
(1)若a2﹣c2=b2﹣mbc,求实数m的值;
(2)若a=,求△ABC面积的最大值.
【分析】
(1)由角B,A,C成等差数列以及三角形内角和公式知
A=60°,再由余弦定
理和条件可得
cosA=
=
,由此求得m的值.
(2)由cosA=
=
可得bc≤a2,故S△