精品五年级下册数学试题培优专题讲练第6讲 巧用容斥原则 人教版Word格式.docx

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解因100÷

5=20，故1到100之中有20个数是5的倍数；

因100÷

7=14余2，故1到100之中有14个数是7的倍数；

又因100÷

35=2余30，故1到100之间有两个数是35的倍数。

注意到一个数是35的倍数时，它既是5的倍数，又是7的倍数，由包含排除法得20+14－2=32，故在1到100之中共有32个数是5的倍数或是7的倍数。

做一做2在1到500这500个数中，既不是完全平方米，又不是立方数的数共有多少个？

【例3】线段a长120毫米，小明把它平均分成8份后，小娟再把它平均分成12份。

这时，线段a上一共有多少分点？

解把a平均分成8份时，每份长120÷

8=150（毫米），a上有8－1=7（个）分点；

因15×

2=30（毫米），15×

4＝60（毫米），15×

6＝90（毫米），所以，两次平均分线段a时，共有3个分点是重复的。

根据包含排除法，a上的分点数一共有

7＋11－3＝15（个）

做一做3线段AB长18厘米，丁丁把它平均分为9份之后，英英又把它平均分布6份。

这时，线段AB内一共有多少个分点？

【例4】延秀小学的318名学生到“儿童乐园”活动。

其中参加划船的有156人，乘电动飞机的有196人，坐碰碰车的130人；

既参加划船又坐碰碰车的人74人，既参加划船又乘电动飞机的有80人，既乘电动飞机又坐碰碰车的有40人。

问：

三种活动都参加的有多少人？

分析与解图1中集合A，B，C两两合成一个集合N，集合N中元素的个数是：

集合A，B，C的元素个数之和减去集合A，B，C两两合成的公共部分的元素个数，再加上集合A，B，C的公共部分元素的个数，即

N=A+B+C―AB―BC―AC+ABC

根据题意，图2中阴影部分表示三种活动都参加的人数，三种活动都参加的人数有

318―（156+196+130―80―40―74）=318―288=30（人）

三种活动都参加的人有30人。

做一做4某班50名学生手中分别拿红、黄、蓝三种旗做游戏。

已知34人手中有红旗，26人手中有黄旗，18人手中有蓝旗，15人手中有红、黄两种旗，10人手中有黄、蓝两种旗，9人手中有红、蓝两种旗。

求手中有红、黄、蓝三种旗的有多少人？

B级培优竞赛更上层楼

【例5】某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀。

这部分学生达到优秀的项目、人数如下表，求这个班的学生人数。

短跑

游泳

篮球

短跑、游泳

游泳、篮球

篮球、短跑

短跑、游泳、篮球

17

18

15

6

5

2

分析与解先求至少有一个项目达到优秀的学生人数。

右图中3个圆圈分别代表短跑、游泳、篮球达到优秀的学生人数。

其中

A表示三个项目都达到优秀的人数是

A=2（人）

B表示篮球、游泳达到优秀，但短跑没有达到优秀的人数是

B=6－2=4（人）

C表示篮球、短跑达到优秀，但游泳没有达到优秀的人数是

C=5－2=3（人）

D表示游泳、短跑达到优秀，但篮球没能达到优秀的人数是

D=62=4（人）

E表示只有短跑一项达到优秀的人数是

E=17（2+3+4）=8（人）

F表示只有游泳一项达到优秀的人数是

F=18（（2+4+4）=8（人）

G表示只有篮球一项达到优秀的人数是

G=15－（2+4+3）=6（人）

所以，至少有一个项目达到优秀的人数是

2+4+3+4+8+8+6=35（人）

还有4个人在三个项目上都没有达到优秀，所以全班人数是

35+4=39（人）

这个班共有学生39人。

做一做5某班在一次达标测试中，测得26人短跑达标，30人铅球达标。

其中短跑和铅球都达标的有12人，另外有8人这两项都没有达标。

这个班一共有多少名学生？

【例6】50名学生面向老师站成一排，按从左到右的顺序报数：

1，2，…，50。

报完后，老师让所有报数是4的倍数的学生向后转，接着又让所有报数是6的倍数的学生向后转。

此时还有多少名学生面向老师？

分析与解面向老师的学生有两种情况：

一是两次都没有向后转的学生，二是两次都向后转的学生，所以本题可求出向后转一次的学生数，用学生总数减去这个数就可得出结果。

因为50÷

4=12.5，所以1至50这50个数中有12个数是4的倍数。

同样，50÷

6=8余2，即这些数中有8个数是6的倍数。

但50÷

12=4余2，即这些数中有4个既是4的倍数又是6的倍数。

所以，只向后转一次的学生有（12―4）+（8―4）=12（名），而最后仍然面向老师的学生有50―12=38（名）

还有38名学生面向老师。

做一做6100名学生面向老师站成一排，按从左到右的顺序报数：

1，2，3，…，100。

老师让所有报数是3的倍数的学生向后转，接着又让所有报数是7的倍数的学生向后转。

此时背对老师的学生有多少名？

C级（选学）决胜总决赛·

勇夺冠军

【例7】100名学生面向老师站成一排（或几排），老师先让大家从左到右按1，2，3，…依次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。

（1）此时还有多少同学面向老师?

（2）其中面向老师的第50个（自左向右）同学报的数是几？

分析与解要注意先让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转，于是报数是12的同学连续两次向后转，仍面向老师，所以面向老师的同学个数=总数100－（报数为4的倍数同学的个数+报数为6的倍数同学的个数）+2×

（报数为12的倍数同学的个数）。

（1）100―[

]―[

]+2×

[

]=100―25―16+2×

8=75

（2）列表：

123456789101112

131415161718192021222324

252627282930313233343536

……

858687888990919293949596

979899100

由图可得，自左向右起每12个同学中有9个面向老师。

50÷

9=5余5，则面向老师的第50个同学报数为5×

12+7=67。

做一做7200名学生面向老师站成一排（或几排），老师先让大家从左到右按1，2，3，…依次报数，再让报数是5的倍数的同学向后转，接着又让报数是8的倍数的同学向后转。

（1）此时还有多少个同学面向老师？

（2）其中面向老师的第80个（自左向右）同学的报数是几？

巧练习——温故知新（六）

A级冲刺名校基础点睛

1．某班有学生46人，其中会骑自行车的有17人，会游泳的有14人，既会骑自行车又会游泳的有5人，问：

两样都不会的有几人？

2．一个班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的有25人，并且每个人都至少参加了一个队。

这个班两队都参加的有几个人？

3．李老师出了两道题，全班40个人，第1题有30个人做对，第2题有12个人未做对，两题都做对的有20个人。

（1）第2题做对但第1题未做对的有几个人？

（2）两题都未做对的有几个人？

4．如右图，在长方形ABCD中，AD为15厘米，AB为8厘米，四边形OEFG的面积是9平方厘米。

求阴影部分的总面积。

5．在1至100的自然数中，能被2整除，或能被3整除，或能被5整除的数共有多少个？

6．如下图所示，A，B，C分别表示面积为12，28，16的三张不同的形状纸片，它们放在一起盖住的面积为38，并且A与B，B与C，A与C公共部分的面积分别为8，7，6，求A，B，C三个图形公共部分（阴影部分）的面积。

7．暑假期间，有12个同学去冷饮站，他们需要的冷饮统计数字如下：

有6个人要可可，有5个人要咖啡，有5个人要果汁，有3个人既要可可又要咖啡，有2个人既要咖啡又要果汁，有3个人既要可可又要果汁，有1个人可可、咖啡、果汁都要。

有没有人什么冷饮都没要？

如果有的话，有几个人？

8．如右图，四个圆两两相交，它们把四个圆分成13个区域。

如果在这些区域中分别填上1~13这13个数，然后把各圆中的数各自相加，最后把这四个圆的和相加得总和，那么总和最小可能是多少？

9．某校参加数学竞赛的有120名男生和80名女生，参加语文竞赛的有120名女生和80名男生。

已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中有75名男生两科竞赛都参加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人？

10．200盏变色灯，编为1至200号，每个都由一个开关控制，扳动开关一次灯变黄色，再扳动开关一次，灯变绿色，再扳动开关灯又变红色。

现把所有编号为2的倍数的灯的开关扳动一次，再把编号为3的倍数的开关扳动一次，再把编号为5的倍数的开关扳动一次，求此时共有多少盏灯为黄色？

C级（选学）决胜总决赛勇夺冠军

11．60名同学参加乒乓球的有40人，参加足球赛的有45人，参加篮球赛的有48人，已知三项都参加的有22人，问：

最多有几个人三项比赛都未参加？

12．参加大型团体操表演的同学共有240名，他们面对教练站成一排，自左至右按1，2，3，4，…依次报数，教练让每个同学记住自己报的数并做以下动作：

先让报数是3的倍数的学生向后转，接着又让报数是5的倍数的学生向后转，最后让报数是7的倍数的学生向后转，问：

此时还有多少名学生面对教练？

13．求出分母是111的最简真分数的和。

14．将

化成小数等于0.5，是个有限小数，将

化成小数等于0.0909…，简记为0.09，是纯循环小数；

将

化成小数是0.1666…，简记为0.16，是混循环小数。

现在将2004个分数

，

，…

化成小数，问：

其中纯循环小数有多少个？

巧总结

本节我的收获是：

不足之处有：