高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数32对数函数321对数自我小测苏教版必修Word文件下载.docx
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∴
2.③⑤ 解析:
由对数的运算性质知①②错;
由对数恒等式知③正确;
当loga(M+N)=b时,有M+N=ab,∴④错;
由log2M+log3N=log2N+log3M,得log2M-log2N=log3M-log3N,即,上式只有当,即M=N时成立,∴⑤正确.
3.
(1)
(2)3 (3)100 解析:
(1)∵loga2=m,loga3=n,∴am=2,an=3.
(2)法一:
∵a>0,,∴
∴,即,∴
法二:
∵a>0,∴,∴ ∴
(3)∵5lgx=25=52.∴lgx=2,x=102=100.
4.-3 解析:
∵lg(log2x)=0,∴log2x=1,∴x=2,
又∵,
∴,∴,∴.
.
5.1 56 解析:
由换底公式得.
,
∴a+b=log567+log568=log5656=1.
∵log567=a,∴.
∴.
6.
(1)1
(2)1 解析:
(1)法一:
用指数解:
由已知得.
,两式相除得:
用对数解.由题意,得a×
lg11.2=3,
b×
lg0.0112=3,∴
法三:
综合法解.∵11.2a=1000,0.0112b=1000,∴a=log11.21000,b=log0.01121000.∴
由2a=5b=10,得a=log210,b=log510,
对已知条件的各边取常用对数,得alg2=blg5=1,∴,,
7.解:
(1)原式=2log552+log226-xx×
0=4+6-0=10.
(2)原式=log155(1+log153)+(log153)2=log155+log153(log155+log153)=log155+log153=log1515=1.[或原式=(1-log153)(1+log153)+(log153)2=1-(log153)2+(log153)2=1]
(3)原式
=(-2)×
(-4)×
(-2)=-16.
(4)设,则
=(1+lg2)lg7+(lg7-1)(-lg2)=lg7+lg2=lg14.∴x=14,即.
(5)原式=(1-lg2)(3+3lg2)+3lg22+lg6-2-lg6=3(1-lg2)(1+lg2)+3lg22-2=3(1-lg22)+3lg22-2=3-2=1.
(6)原式
8.解:
设经过x年后国民生产总值是xx年的2倍.经过1年,总产值为a(1+8%),经过2年,总产值为a(1+8%)2,……经过x年,总产值为a(1+8%)x.
由题意得a(1+8%)x=2a,即1.08x=2.
方法一:
两边取常用对数,得lg1.08x=lg2,即
方法二:
用换底公式.∵1.08x=2,∴
答:
约经过9年,国民生产总值是xx的两倍.
百尺竿头
解:
(1)∵18b=5,∴log185=b,又∵log189=a,∴log182=1-log189=1-a.
2)∵loga8+log2a=4,∴3loga2+log2a=4,∴,
∴(log2a-1)(log2a-3)=0,即log2a=1或log2a=3,∴a=2或a=8.
①当a=2时,f(x)=x2+3是偶函数;
当a=8时,f(x)=x8+3也是偶函数.
∴f(x)是偶函数.
②当a=2时,原式
当a=8时,原式
③∵g(x)=2x或g(x)=8x,且2与8都大于1,∴g(x)=ax在R上是单调增函数.
2019-2020年高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.2对数函数优化训练苏教版必修
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.函数f(x)=|log2x|的图象是()
思路解析:
考查对数函数的图象及图象变换.注意到y=|log2x|的图象应是将y=log2x的图象位于x轴下方的部分翻折到x轴的上方,故选A.
答案:
A
2.函数y=loga(x-2)+1(a>0且a≠1)恒过定点____________.
若x-2=1,则不论a为何值,只要a>0且a=1,都有y=1.
(3,1)
3.函数f(x)=log(a-1)x是减函数,则a的取值范围是__________.
考查对数函数的概念、性质.注意到a-1既受a-1>0且a-1≠1的制约,又受减函数的约束,由此可列关于a的不等式求a.
由题意知0<a-1<1,∴1<a<2.
1<a<2
10分钟训练(强化类训练,可用于课中)
1.下图是对数函数y=logax当底数a的值分别取,,,时所对应的图象,则相应于C1,C2,C3,C4的a的值依次是()
A.,,,B.,,,
C.,,,D.,,,
因为底数a大于1时,对数函数的图象自左向右呈上升趋势,且a越大,图象就越靠近x轴;
底数a大于0且小于1时,对数函数的图象自左向右呈下降趋势,且a越小,图象就越靠近x轴.
2.若定义在(-1,0)上的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>
0,则a的取值范围是()
A.(0,)B.(0,)C.(,+∞)D.(0,+∞)
本题考查对数函数的基本性质.
当x∈(-1,0)时,有x+1∈(0,1),此时要满足f(x)>
0,只要0<
2a<
1即可.
由此解得0<
a<
3.若函数f(x)=logax(0<
1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a等于()
A.B.C.D.
思路解析:
本题关键是利用f(x)的单调性确定f(x)在[a,2a]上的最大值与最小值.
f(x)=logax(0<
1)在(0,+∞)上是减函数,
当x∈[a,2a]时,f(x)max=f(a)=1,f(x)min=f(2a)=loga2a.
根据题意,3loga2a=1,即loga2a=,
所以loga2+1=,即loga2=-.
故由=2得a=.
答案:
4.比较大小:
(1)log0.27和log0.29;
(2)log35和log65;
(3)(lgm)1.9和(lgm)2.1(m>1);
(4)log85和lg4.
(1)直接利用对数函数的单调性;
(2)是对数函数底数变化规律的应用;
(3)是指数函数单调性及对数函数性质的综合运用;
(4)是中间量的运用.当两个对数的底数和真数都不相同时,需要找出中间量来“搭桥”,再利用对数函数的增减性.常用的中间量有0、1、2等,可通过估算加以选择.
解:
(1)log0.27和log0.29可看作是函数y=log0.2x当x=7和x=9时对应的两函数值,由y=log0.2x在(0,+∞)上单调递减,得log0.27>log0.29.
(2)考察函数y=logax底数a>1的底数变化规律,函数y=log3x(x>1)的图象在函数y=log6x(x>1)的上方,故log35>log65.
(3)把lgm看作指数函数的底数,要比较两数的大小,关键是比较底数lgm与1的关系.若lgm>1即m>10,则(lgm)x在R上单调递增,
故(lgm)1.9<(lgm)2.1.若0<lgm<1即1<m<10,则(lgm)x在R上单调递减,
故(lgm)1.9>(lgm)2.1.
若lgm=1即m=10,则(lgm)1.9=(lgm)2.1.
(4)因为底数8、10均大于1,且10>8,
所以log85>lg5>lg4,即log85>lg4.
5.已知函数y=lg(-x),求其定义域,并判断其奇偶性、单调性.
注意到+x=,即有lg(-x)=-lg(+x),
从而f(-x)=lg(+x)
=-lg(-x)=-f(x),
可知其为奇函数.
又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,所以我们只需研究(0,+∞)上的单调性.
由题意-x>0,解得x∈R,即定义域为R.
又f(-x)=lg[-(-x)]=lg(+x)=lg=lg(-x)-1=-lg(-x)=-f(x),
∴y=lg(-x)是奇函数.
任取x1、x2∈(0,+∞)且x1<x2,则<+x1<+x2>
即有-x1>-x2>0,
∴lg(-x1)>lg(-x2),即f(x1)>f(x2)成立.
∴f(x)在(0,+∞)上为减函数.又f(x)是定义在R上的奇函数,故f(x)在(-∞,0)上也为减函数.
6.作出下列函数的图象:
(1)y=|log4x|-1;
(2)y=|x+1|.
(1)y=|log4x|-1的图象可以看成由y=log4x的图象经过变换而得到:
将函数y=log4x的图象在x轴下方部分以x轴为对称轴翻折上去,得到y=|log4x|的图象,再将y=|log4x|的图象向下平移1个单位,横坐标不变,就得到了y=|log4x|-1的图象.
(2)y=|x+1|的图象可以看成由y=x的图象经过变换而得到:
将函数y=x的图象作出右边部分关于y轴的对称图象,即得到函数y=|x|的图象,再将所得图象向左平移一个单位,就得到所求的函数y=|x+1|的图象.
函数
(1)的图象作法如图①—③所示.函数
(2)的图象作法如图④—⑥所示.
快乐时光
七个男人和一个女人
朋友闲来无事,到街上遛达,看到有一录像点高挂着牌子,写着:
今晚精彩录像——《七个男人与一个女人的故事》莫失良机.朋友好奇心发作,买票进场.待人坐齐以后,开始放映.一开场屏幕上出现了真实片名《八仙过海》.
30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)
1.如下图,当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图象是()
首先把y=a-x化为y=()x,
∵a>1,∴0<<1.
因此y=()x,即y=a-x的图象是下降的,y=logax的图象是上升的.
2.y=(x2-3x+2)的递增区间是()
A.(-∞,1)B.(2,+∞)C.(-∞,)D.(,+∞)
首先考虑对数函数的定义域,再利用对数函数的性质.
3.已知函数f(x)=lg(x2-3x+2)的定义域为F,函数g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为G,那么()
A.GFB.G=FC.FGD.F∩G=
F={x|x2-3x+2>
0}={x|x>
2或x<
1},G={x|x>
2}.
∴GF.
4.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在[2,+∞]上是增函数,则实数a的取值范围是()
A.(-∞,4)B.(-4,4)
C.(-∞,-4)∪[2,+∞D.[-4,4]
解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数.
令u(x)=x2-ax+3a,其对称轴x=.
由题意有
解得-4<
a≤4.
B
5.已知f(x)是周期为2的奇函数,当0<
x<
1时,f(x)=lgx.设a=f(),b=f(),c=f(),则()
A.a<
b<
cB.b<
cC.c<
aD.c<
b
由题意,a=f()=f(-)=-f()=-lg=lg,b=f()=f(-)=-f()=-lg=lg2,
c=f()=f()=lg,由于f(x)=lgx,在实数范围内为增函数,所以有c<
b.
D
6.函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是()
A.(-,+∞)B.(-,1)C.(-,)D.(-∞,-)
要使函数有意义,则解得-<
1.
7.已知f(x)=loga(a>
0且a≠1).
(1)求函数的定义域;
(2)讨论函数的单调性;
(3)求使f(x)>
0的x的取值范围.
(1)由>
0得-1<
∴函数的定义域为(-1,1).
(2)对任意-1<
x1<
x2<
1,-=<
0,∴<
当a>
1时,loga<
loga,即f(x1)<
f(x2);
当0<
1时,loga>
loga,即f(x1)>
f(x2).
∴当a>
1时,f(x)为(-1,1)上的增函数;
1时,f(x)为(-1,1)上的减函数.
(3)loga>
0=loga1.
1时,>
1,即-1=>
0.
∴2x(x-1)<
0.∴0<
1时,
解得-1<
0;
1时,f(x)>
0的解为(0,1);
0的解为(-1,0).
8.设函数f(x)=x2-x+b,且f(log2a)=b,log2[f(a)]=2(a≠1),求f(log2x)的最小值及对应的x的值.
关键是利用已知的两个条件求出a、b的值.
由已知得
即
由①得log2a=1,∴a=2.
代入②得b=2.∴f(x)=x2-x+2.
∴f(log2x)=log22x-log2x+2=(log2x-)2+.∴当log2x=时,f(log2x)取得最小值,此时x=.
9.已知f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2,试比较f(x)与g(x)的大小.
要比较两个代数式的大小,通常采取作差法或作商法,作差时,所得差同零比较,作商时,应先分清代数式的正负,再将商同“1”比较大小.因为本题中的f(x)与g(x)的正负不确定,所以采取作差比较法.
f(x)和g(x)的定义域都是(0,1)∪(1,+∞)
.f(x)-g(x)=1+logx3-2logx2=1+logx3-logx4=logxx.
(1)当0<x<1时,若0<x<1,即0<x<,此时logxx>0,即0<x<1时,f(x)>g(x);
(2)当x>1时,若x>1,即x>,此时logxx>0,即x>时,f(x)>g(x);
若x=1,即x=,此时logxx=0,即x=时,f(x)=g(x);
若0<x<1,即0<x<,此时logxx<0,即1<x<时,f(x)<g(x).
综上所述,当x∈(0,1)∪(,+∞)时,f(x)>g(x);
当x=时,f(x)=g(x);
当x∈(1,)时,f(x)<g(x).
10.已知f(x)=lg(ax-bx)(a>
1>
b>
0).
(1)求y=f(x)的定义域;
(2)在函数图象上是否存在不同两点,使过两点的直线平行于x轴?
(2)的思维难点是把问题化归为研究函数的单调性问题.
(1)由ax-bx>
0,得()x>
1=()0.
∵>
1,∴x>
∴函数的定义域为(0,+∞).
(2)先证明f(x)是增函数.对于任意x1>
x2>
0,∵a>
0,∴>
,<
∴->
-.
∴lg(-)>
lg(-).
∴f(x1)>
∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.
假设y=f(x)上存在不同的两点A(x1,y1)、B(x2,y2),使直线AB平行于x轴,则x1≠x2,y1=y2,这与f(x)是增函数矛盾.
∴y=f(x)的图象上不存在两点,使过这两点的直线平行于x轴.
11.xx年春节晚会的现场上无数次响起响亮的掌声,某报记者用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90.1分贝.分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小:
把一很小的声压P0=2×
10-5帕作为参考声压,把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区,60—110为过渡区,110以上为有害区.
(1)根据上述材料,列出分贝y与声压P的函数关系式.
(2)某地声压P=0.002帕,试问该地为以上所说的什么区?
声音环境是否优良?
由已知条件即可写出分贝y与声压P之间的函数关系式,然后由函数关系式求得当P=0.002帕时,分贝y的值.由此可判断所在区.
(1)由已知y=(lg)×
20=20·
lg(其中P0=2×
10-5).
(2)将P=0.002代入函数关系y=20lg,则y=20lg=20lg102=40(分贝).
由已知条件知40分贝小于60分贝,所以在噪音无害区,环境优良.