《图形认识初步》知识点串讲及考点透视Word格式文档下载.docx
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不能误认为角的大小也放大或缩小若干倍.另外对角的表示方法中，当用三个大写字母来表示时，顶点的字母必须写在中间，在角的两边上各取一点，将表示这两个点的字母分别写在顶点字母的两旁，两旁的字母不分前后.
6，在研究互为余角和互为补角时，容易混淆这两个概念.常常误认为互为余角的两个角的和等于180°
，互为补角的两个角的和等于90°
.
6、基础知识讲解
§
一【多姿多彩的图形】★☆▲
1、把的各种图形统称为几何图形。
几何图形包括立体图形和平面图形。
各部分不都在同一平面内的图形是图形；
如
各部分都在同一平面内的图形是图形。
▲会画出同一个物体从不同方向（正面、上面、侧面）看得的平面图形（视图）[1].
▲知道并会画出常见几何体的表面展开图.
2、点、线、面、体组成几何图形，点是构成图形的
基本元素。
点、线、面、体之间有如图所示的联系：
[1]画出下列几何体的三视图
正面看
上面看
左面看
▲知道由常见平面图形经过旋转所得的几何体的形状。
二【直线、射线、线段】
1、直线公理：
经过两点有一条直线，一条直线。
简述为：
.
·
两条不同的直线有一个时，就称两条直
线相交，这个公共点叫它们的。
射线和线段都是直线的一部分。
2、直线、射线、线段的记法【如下表示】
直线
射线
[2]写出图中所有线段的大小关系，“和”及“差”。
线段
端点个数
无
一个
两个
表示法
直线a
直线AB（BA）
（字母无序）
射线AB（字母有序）
线段a
线段AB（BA）
作法叙述
作直线AB；
作直线a
以A为端点作作射线AB
作线段a；
作线段AB；
连接AB
延长叙述
不能延长
反向延长射线AB
延长线段AB；
反向延长线段BA
[3]根据下列语句画图
①延长线段AB与直线L交于点C.
②连接MP.
③反向延长PM.
④在PC的方向上
截取PD=PM.
3、线段的中点
把一条线段分成相等的两条线段的点，叫做线段的中点。
·
如图，点M是线段AB的中点，则有AM=MB=
AB或
2AM=2MB=AB用符号语言表示就是：
∵点M是线段AB的中点
∴AM=MB=
（或AM=2=AB）
类似的，把线段分成相等的三条线段的点，叫线段的三等分点。
把线段分成相等的n条线段的点，叫线段的n等分点。
4、线段公理：
两点的所有连线中，线段最短。
之间，最短。
两点之间的距离的定义：
连接两点之间的，叫做这两点的距离。
▲会结合图形比较线段的大小；
会画线段的“和”“差”图[2]。
▲会根据几何作图语句画出符合条件的图形[3]，会用几何语句描述一个图形。
三【角】的定义
（从构成上看）Ⅰ:
有的两条组成的图形叫做角。
（从形成上看）Ⅱ:
由一条射线而形成的图形叫做角。
[4]用你认为恰当的方法表示出下图中的所有小于平角的角。
1、角的表示方法[4]
（1）用三个大写英文字母表示任意一个角；
（2）用一个大写英文字母表示一个独立的角（在一顶点处只有一个角）；
（3）加弧线、标数字表示一个角（在一个顶点处有两个以上角时，建议使用此法）；
（4）加弧线、标小写希腊字母表示一个角。
2、角的度量●1个周角=2个平角=4个直角=360°
●1°
=60′=3600″●用一副三角尺能画的角都是15°
的整数倍。
3、角的平分线
从一个角的出发，把这个角分成的两个角的，
叫做这个角的平分线。
[5]写出图中所有角的大小关系，“和”及“差”。
如图，射线OB是∠AOC的平分线，则有
∠AOB=∠BOC=
∠AOC或2∠AOB=2∠COB=∠AOC
用符号语言表示就是：
∵OB平分
∴∠AOB=∠BOC=
∠AOC
（或2∠AOB=2∠COB=∠AOC）
类似的，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的n个角的射线，叫这个角n等分线。
的n条线段的点，叫线段的n等分点。
[6]·
填空·
计算。
①用度、分、秒表示37.26°
=.
②用度表示52°
9′36″=。
③45°
19′28″＋26°
40′32″④98°
18′－56.5°
⑤36°
15′27″×
3⑥27°
47′×
3＋108°
30′÷
6
4、角的比较与运算
●会结合图形比较角的大小（
（1）度量法
（2）叠合法）。
●进行角度的四则运算
5、互余、互补
（1）如果两个角的和为90º
，那么这两个角互为余角。
锐角α的余角是
（2）如果两个角的和为180º
，那么这两个角互为补角。
角α的补角是。
（3）互余、互补的性质同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6、用角度表示方向：
一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向，
如图所示，OA方向可表示为北偏西60º
。
北偏东45º
简称东北方向，其余类似。
七、思想方法
复习《图形认识初步》这部分内容除了要注意基础知识的巩固和典型习题的训练，还要注意数学思想方法的训练与运用.具体地说：
一、分类思想.在过平面上若干点可以画多少条直线，应注意这些点的分情况讨论；
或在画其它的图形时，应注意图形的各种可能性.
例1 两条相交直线与另外一条直线在同一平面内，它们的交点个数是（ ）
A.1 B.2 C.3或2 D.1或2或3
分析 由于题设条件中并没有明确这三条直线的具体位置，所以应分情况讨论.
解 依题意可以画出如图4的三种情况.故应选D.
根据给定的条件进行分析，产生的结果有多种情形，将各种可能出现的结果进行分类解答，得出每种情形下的答案．
例2：
点C在直线AB上，且线段AB＝16，若AB∶BC＝8∶3，E是AC的中点，D是AB的中点，求线段DE的长．
思路分析：
1）题意分析：
此题为一道无图计算题，点C的位置不确定．
2）解题思路：
要对点C的位置进行分类讨论：
分为
（1）点C在线段AB的延长线上；
（2）点C在线段AB上两种情形．
解答过程：
情形一：
当点C在线段AB的延长线上时，如图所示，
因为AB∶BC＝8∶3，且线段AB＝16，所以BC＝6，AC＝22．
因为E是AC的中点，D是AB的中点，
情形二：
当点C在线段AB上时，如图所示，
因为AB∶BC＝8∶3，且线段AB＝16，
所以BC＝6，AC＝AB－BC＝16－6＝10．
解题后的思考：
在这两种情形下DE的长度都等于3，这是不是一种巧合呢？
不是的，这里有一个规律，无论点C在线段AB上，还是在线段AB的延长线上，总有
小结：
在图形认识初步问题中，方程思想和分类讨论思想是常用的两种重要的数学思想方法，学习思想方法是学习数学的一个方面．
例3：
在同一平面上，∠AOB=70°
，∠BOC=30°
，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。
（20°
或50°
）
2、方程思想.在处理有关角的大小，线段大小的计算时常需要通过列方程来解决.
几何问题中的方程思想是指根据角度或线段长度之间的数量关系构造方程，把几何问题转化为方程问题来求解．
1）题意分析：
处理有关互为余角、互为补角的问题，除了要弄清楚它们的概念外，通常情况下都要引进未知数，构造方程求解．
2）解题思路：
设此角为x°
，则它的余角为（90－x）°
，它的补角为（180－x）°
，根据题意列方程．
解答过程：
设这个角为x°
，则它的余角是（90－x）°
，它的补角是（180－x）°
．
解得x＝75．所以这个角为75°
解题后的思考：
利用方程思想解题的关键第一是找出问题中的等量关系，第二是根据题目特点选择恰当的未知数．
例7：
如图所示，在射线OF上，顺次取A、B、C、D四点，使AB∶BC∶CD＝2∶3∶4，又M、N分别是AB、CD的中点，已知AD＝90cm，求MN的长．
根据比例关系及线段中点的性质，巧设未知数，列方程求解．
根据比例关系及中点性质，若设AB＝2xcm，则BC＝3xcm，CD＝4xcm，观察图形，有：
MN＝MB＋BC＋CN，可转化成关于x的方程，从而求出x．
设线段AB、BC、CD的长分别是2xcm、3xcm、4xcm，
因为AB＋BC＋CD＝AD＝90cm，
所以2x＋3x＋4x＝90，解得x＝10．
所以AB＝20cm，BC＝30cm，CD＝40cm，
①有关比例的问题，可设每一份为x，再列出方程；
②利用中点的性质找出线段的和、差．
3、化归思想.在进行线段、射线、直线、角以及相关图形的计数时可化归到公式
的具体运用上来.
例8：
如图所示，A、B、C、D、E为平面内任意三点都不在同一条直线上的五点，那么过其中的两点，可画出几条直线？
思路分析：
本题中A、B、C、D、E为平面内任意三点都不在同一条直线上的五点，意思是说经过其中任意两点确定一条直线，这些直线均不相同．
根据两点确定一条直线来解此题．
由两点确定一条直线知A点与其他四点各确定一条直线，同理过B、C、D、E各有4条直线，这样直线共有5×
4＝20（条），而由A到C的直线和由C到A的直线是同一条直线，故每条直线都重复一次，所以可画出直线
条.
这类问题有一定的规律性，如果平面内有n个点，且每三个点都不在同一直线上，那么过其中任意两点可作直线
数几何图形的个数是指数直线的条数、数线段的条数、数角的个数，数几何图形的个数，解题时必须做到不重、不漏，可按一定顺序去数，也可总结规律、公式，运用规律、公式进行计算．
八、考点解密
考点1 从不同方向看立体图形
例1（河北省）图1中几何体的主视图是如图7所示中的（ ）
分析 主视图是从下面看的，由于图6中的图形是由两个部分组成的，上面是一个球，球的下面是一个长方体，这样问题就简单了.
解 因为要画出的是从正面看到的主视图，而已知的立体图形是由两个部分组成的，上面是一个球，球的下面是一个长方体，所以我们从正面看到的上面是一个圆，下面是一个长方形.又因为原立体图形中上面的球是放在中间的，所以正确的平面图形应该是C.故应选C.
例2下图是由7个完全相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体从左边看到的是（）
说明 要画出从不同方向看到的平面图形，通常画出分别从正面看、从左面看、从上面看一个立体图形的平面图形.
考点2 立体图形的侧面展开图
例3（嘉兴市）如图8所示的图形中，不能经过折叠围成正方体的是（ B ）
分析 观察这四个平面图形，A、C、D能围成一个正方体，只有B不能围成正方体.
说明 :
此类题常用排除法，凡由6个小正方形组成的平面图形，出现以下四种情形的必不是正方体展开图：
1.“一”字型。
2.“7”字型。
3.“田”字型。
4.“凹”字型
例4：
美术课上，老师要求同学们将右图所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是（）
本题综合考查立体图形的展开、折叠和从不同方向观察几何体．
解答本题应充分发挥空间想象能力，把右图中阴影正方形做模型的下底面进行折叠，但关键是确定白色缺口的指向．答案：
B
正确解答本题有两个关键点，一是正确理解题意，按照题目要求折叠和放置模型；
二是确定白色缺口的指向．
小结：
把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来，而从不同方向观察物体可从不同的侧面反映立体图形的特征．
考点3 确定平面图形的个数
例5（绍兴市）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则如图9中以BC为公共边的“共边三角形”有（ ）
A.2对 B.3对 C.4对 D.6对
分析 要知道有多少“共边三角形”，只要能依据图形写出所有满足题意的三角形即可.
解 结合图形，满足题意的三角形是：
△ABC与△DBC，△DBC与△EBC，△EBC与△ABC，共3对.故应选B.
说明 求解本题一定要注意抓住以BC为公共边的“共边三角形”，不能忽视关键字眼.
考点4 图形角度大小的计算
例6（大连市）如图10，∠PQR等于138°
，SQ⊥QR，QT⊥PQ.则∠SQT等于（）
A.42°
B.64°
C.48°
D.24°
分析 要求∠SQT的大小，由于SQ⊥QR，QT⊥PQ，可知∠PQS＝∠RQT，进而即可求得.
解 因为SQ⊥QR，QT⊥PQ，所以∠PQS+∠SQT＝∠SQT+∠RQT＝90°
，即∠PQS＝∠RQT，又∠PQS+∠SQT+∠RQT＝138°
，所以∠PQS＝∠RQT＝48°
，所以∠SQT＝138°
－2×
48°
＝42°
.故应选A.
说明 在进行图形的有关计算时，除了要能灵活运用所学的知识外，还要能从图形中捕捉求解的信息.
求8点15分时，时针与分针的夹角的度数．
8点15分时，时针指在8和9之间的某个位置上，分针正好指向3的位置．
本题关键是找出时针、分针在8点15分时转过的小格数，每个小格对应的度数是6°
8点15分时，时针转过的小格数
时针转过的度数是
8点15分时，分针转过的小格数为15．分针转过的度数为15×
6°
＝90°
所以8点15分时，时针与分针的夹角为247.5°
－90°
＝157.5°
时针与分针的夹角可用下面的公式计算：
m点n分时两针夹角的度数为
如果得到的角大于180°
，那么两针的夹角为360°
减去得到的角．
如图所示，直线AB、CD、EF相交于O点，且∠AOD＝90°
，∠1＝40°
，求∠2的度数．
要灵活运用同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．
由图可知∠AOD与∠AOC互补，∠AOD与∠BOD互补，∠1与∠FOC互补，∠DOF与∠FOC互补，∠2与∠DOF互余．
因为∠AOD＋∠AOC＝∠AOD＋∠BOD＝180°
，
所以∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°
又因为∠1＋∠FOC＝180°
，∠DOF＋∠FOC＝180°
所以∠DOF＝∠1＝40°
所以∠2＝∠BOD－∠DOF＝90°
－40°
＝50°
在角较多的情况下，寻找与所求角有关的量或已知条件，努力靠近所求，在几条直线相交于一点的情况下，需重点考虑“同角或等角的补角相等”．
和角有关的计算问题大致可分为三类：
一是角度之间的换算，注意度、分、秒是60进位制；
二是几何图形中求角的度数；
三是钟表中指针的夹角问题．其中第二类为重点，是几何问题的常见题型，第三类难度最大．
考点5 平面图形的操作问题
例9（旅顺口区）如图11，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是如图12所示的（ ）
分析 要想知道展开后得到的图案是什么，可以依据题意，结合正方形的图形特征，发挥想象即可求解.
解 因为将正方形沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，就是说这个正方形上共有6个小圆，其中分成3组关于正方形的对角线即折痕对称，且1对圆在两个直角的顶点上，2对圆位于对角线即折痕的两侧.故应选C.
说明 这种图形的操作问题的求解一定要在灵活运用基础知识的同时，充分发挥想象，并能大胆地归纳与推断.
考点6 平面图形的面积问题
例10（临安市）如图13，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）
A.2 B.4 C.8 D.10
分析 要求图中阴影部分的面积，由于由剪到拼可知阴影部分的面积应是原正方形面积的四分之一，于是即求.
解 根据题意“小别墅”的图中阴影部分的面积应等于正方形面积的四分之一，而正方形的面积是16，所以阴影部分的面积应等于4.故应选B.
说明 本题的图形在操作过程中，虽然形状发生了改变，但是图形的面积却没有变化，抓住这一点问题就可以简洁求解.
考点7 拼图问题
例11（烟台市）如图14，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张.用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为＿＿＿.
分析 16张卡片，拼成一个正方形，而边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张，由此可知正方形的每边上应有4张，而且这个正方形的边长应为a+3b.
解 因为边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张，而用这16张卡片拼成一个正方形，所以正方形的每边上应有4张，而且这个正方形的边长应为a+3b.但拼得的正方形的形式是不一样的，如图15就是其中的一种.
说明 这是一道结论开放型问题，只要符合题意且结论正确的都可以.
考点8 规律探索问题
例12（江西省）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成如图16一列图案：
（1）第4个图案中有白色纸片＿＿＿张；
（2）第n个图案中有白色纸片＿＿＿张.
分析 要解答这两个问题，只要能求出第n个图案中有白色纸片的张数即可，由于第1个图案中有白色纸片1张，第2个图案中有白色纸片7张，第3个图案中有白色纸片10张，…，由此可以得到第n个图案中有白色纸片3n+1张，从而求解.
解 因为第1个图案中有白色纸片1张，第2个图案中有白色纸片7张，第3个图案中有白色纸片10张，…，所以可以得到第n个图案中有白色纸片3n+1张.于是
（1）当n＝4时，3n+1＝13；
（2）3n+1.
说明 这种利用几何图形探索规律型问题是近年各地中考的热点，同学们在求解时一定要通过认真的观察、归纳、猜想、验证，才能正确地获解.
九【课堂同步练习】
1，（十堰市）观察如图17甲，从左侧正对长方体看到的结果是图乙中的（ ）
2，（衡阳市）如图18所示的图形中，不是正方体平面展开图的是（ ）
3，（江阴市）如图19，把一个边长为1的正方形经过三次对折后沿中位线（虚线）剪下，则右图展开得到的图形的面积为（）
A.
B.
C.
D.
4，（广东省）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图20是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个正方体的后面是（）
A.0 B.6 C.快 D.乐
5，（南通市）已知∠α＝35°
19′，则∠α的余角等于（ ）
A.144°
41′ B.144°
81′C.54°
41′D.54°
81
6，（枣庄市）如图21，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°
的角，在直线l上取一点P，使∠APB＝30°
，则满足条件的点P的个数是（ ）
A.3个B.2个 C.l个 D.不存在
7，（十堰市）如图22，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开.如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（ ）
A.22.5°
角B.30°
角 C.45°
角D.60°
角
8，（烟台市）一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教
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