九年级数学下册第二十八章锐角三角函数282解直角三角形及其应用2822应用举例第2课时坡度方Word格式.docx

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济宁如图28－2－33，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°

的方向上，从B站测得船C在北偏东30°

的方向上，则船C到海岸线l的距离是________km.

图28－2－33

5．2017·

乌鲁木齐如图28－2－34，一艘渔船位于港口A的北偏东60°

方向，距离港口A20海里的B处，它沿着北偏西37°

方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B，C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救援船的航行速度．（结果取整数．参考数据：

sin37°

≈0.6，cos37°

≈0.8，≈1.732）

图28－2－34

6.④如图28－2－35，我国某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向25海里的B处，该渔政船收到渔政搜救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°

方向以每小时40海里的速度航行半小时到达C处，再向南偏东53°

方向航行，同时捕鱼船向正北方向低速航行．若两船航速不变，并且在D处会合，求C，D两点间的距离和捕鱼船的速度．（结果保留整数．参考数据：

≈1.7，sin53°

≈，cos53°

≈，tan53°

≈）

图28－2－35

④通过作辅助线可以把四边形ABCD转化成两个直角三角形和一个矩形求解.

命题点2　方向角在陆地上的应用　[热度：

90%]

7．2017·

百色如图28－2－36，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°

方向上，10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这列动车的平均车速是________米/秒（　　）

图28－2－36

A．20（1＋）　　　　B．20（－1）　　　　C．200　　　　D．300

8．在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图28－2－37，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上的点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后他沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°

方向，此时，其他同学测得CD＝10米，根据这些数据可求出河的宽度为________米．（结果保留根号）

图28－2－37

9.⑤如图28－2－38，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，它们与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C.经测量，花卉世界D位于点A的北偏东45°

方向，点B的北偏东30°

方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°

.

（1）求B，D之间的距离；

（2）求C，D之间的距离．

图28－2－38

⑤利用方向角、平行线的性质及三角形外角的性质，可得△ABD是等腰三角形.

命题点3　坡度在实际问题中的应用　[热度：

10．2018·

重庆如图28－2－39，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°

，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7米，升旗台坡面CD的坡度i＝1∶0.75，坡长CD＝2米．若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1米，则旗杆AB的高度约为（参考数据：

sin58°

≈0.85，cos58°

≈0.53，tan58°

≈1.6）（　　）

图28－2－39

A．12.6米B．13.1米C．14.7米D．16.3米

11．2018·

重庆如图28－2－40，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i＝1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（点A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°

，则建筑物AB的高度约为（参考数据：

sin24°

≈0.41，cos24°

≈0.91，tan24°

≈0.45）（　　）

图28－2－40

A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米

12.⑥如图28－2－41，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长度是________cm.

图28－2－41

⑥利用平移可得斜坡BC的高.

13.⑦如图28－2－42，点A，B，C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB，BC表示连接缆车站的钢缆，已知A，B，C三点在同一铅直平面内，它们的海拔AA′，BB′，CC′分别为110米，310米，710米，钢缆AB的坡度i1＝1∶2，钢缆BC的坡度i2＝1∶1，景区因改造缆车线路，需要从A到C沿直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？

图28－2－42

⑦利用A，B，C三点的海拔，可以求出AB，BC的竖直高度，进而利用坡度求出其水平宽度，再利用勾股定理求出AC的长度.

14.⑧如图28－2－43，高36米的楼房AB正对着斜坡CD，点E在斜坡CD的中点处，已知斜坡的坡角（即∠DCG）为30°

，AB⊥BC.

（1）若点A，B，C，D，E，G在同一个平面内，从点E处测得楼顶A的仰角α为37°

，楼底B的俯角β为24°

，则点A，E之间的距离是多少米（结果精确到0.1米）?

（2）现计划在斜坡中点E处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线BC的平台EF和一条新的斜坡DF，使新斜坡DF的坡比为∶1.某施工队承接了这项任务，为尽快完成任务，增加了人手，实际工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前2天完成任务，施工队原计划平均每天修建多少米？

（参考数据：

cos37°

≈0.80，tan37°

≈0.75，tan24°

≈0.45，cos24°

≈0.91）

图28－2－43

⑧对于

（1）可先求出点E到AB的距离，从而求出AE的长度，对于

（2）可先求出EF，DF的长度，再列分式方程求解.

详解详析

1．A　2.B

3．D　[解析]∵∠CAB＝10°

＋20°

＝30°

，∠CBA＝80°

－20°

＝60°

，∴∠C＝90°

.∵AB＝20海里，

∴AC＝AB·

cos30°

＝10海里，∴救援船航行的速度为10÷

＝30（海里/时）．

4.　[解析]如图，过点C作CD⊥AB于点D，

根据题意得：

∠CAD＝90°

－60°

，∠CBD＝90°

－30°

，∴∠ACB＝∠CBD－∠CAD＝30°

，∴∠CAB＝∠ACB，∴BC＝AB＝2km.

在Rt△CBD中，CD＝BC·

sin60°

＝2×

＝（km）．

5．解：

如图，过点B作BD⊥AD，垂足为D，过点C作CE⊥BD于点E，反向延长EC交AF于点F.

由题意，知∠FAB＝60°

，∠CBE＝37°

，

∴∠BAD＝30°

∵AB＝20海里，∴BD＝10海里．

在Rt△ABD中，AD＝＝10≈17.32（海里）．

在Rt△BCE中，sin37°

＝，

∴CE＝BC·

≈10×

0.6＝6（海里）．

∵cos37°

∴EB＝BC·

0.8＝8（海里）．

∵EF＝AD≈17.32海里，

∴FC＝EF－CE≈11.32海里，AF＝ED＝EB＋BD≈18海里．

在Rt△AFC中，

AC＝≈≈21.26（海里）．

20分钟＝小时，21.26÷

＝21.26×

3≈64（海里/时）．

答：

救援船的航行速度约是64海里/时．

6．解：

如图，过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DF⊥CG于点F.

在Rt△CBG中，

由题意知∠CBG＝30°

，BC＝40×

＝20（海里），

∴CG＝BC＝10海里，BG＝BC·

＝10≈17（海里）．

∵∠DFG＝∠FGA＝∠DAG＝90°

∴四边形ADFG是矩形，

∴DF＝AG＝AB－BG≈25－17＝8（海里）．

在Rt△CDF中，∠CFD＝90°

，∠DCF＝53°

∴CD＝≈10海里，CF＝≈6海里，

∴AD＝FG＝CG－CF≈10－6＝4（海里）．

∵渔政船航行时间约为＋＝（时），

∴捕鱼船的速度约为4÷

≈5（海里/时）．

C，D两点间的距离约为10海里，捕鱼船的速度约为5海里/时．

7．A　[解析]过点B作BD⊥AC于点D，则BD＝200米，∠CBD＝45°

，∠ABD＝60°

.在Rt△BCD中，BD＝CD＝200米，在Rt△ABD中，AD＝BD·

tam60°

＝200米，∴AC＝CD＋AD＝（200＋200）米，∴动车的平均速度是（200＋200）÷

10＝20＋20＝20（1＋）米/秒．

8．（30＋10）　[解析]如图，过点B，C分别作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H，K，则四边形BHCK是矩形．

设CK＝HB＝x米．

∵∠CKA＝90°

，∠CAK＝45°

∴∠CAK＝∠ACK＝45°

∴AK＝CK＝x米，HC＝BK＝AK－AB＝（x－30）米，

∴HD＝x－30＋10＝（x－20）米．

在Rt△BHD中，∠BHD＝90°

，∠HBD＝30°

∴tan30°

＝，即＝，

解得x＝30＋10.

∴河的宽度为（30＋10）米．

9．解：

（1）由题意得∠EAD＝45°

，∠FBD＝30°

∴∠EAC＝∠EAD＋∠DAC＝45°

＋15°

∵AE∥BF∥CD，

∴∠FBC＝∠EAC＝60°

∴∠DBC＝30°

又∵∠DBC＝∠DAB＋∠ADB，

∴∠ADB＝15°

∴∠DAB＝∠ADB，

∴BD＝AB＝2km.

即B，D之间的距离为2km.

（2）如图，过点B作BO⊥DC，交其延长线于点O.

在Rt△DBO中，BD＝2km，∠DBO＝60°

∴DO＝2×

＝（km），BO＝2×

cos60°

＝1（km）．

在Rt△CBO中，∠CBO＝30°

，CO＝BO·

tan30°

＝km，

∴CD＝DO－CO＝km.

即C，D之间的距离为km.

10．B　[解析]如图，延长AB交ED的延长线于点M，过点C作CJ⊥DM于点J，则四边形BMJC是矩形．

在Rt△CJD中，＝＝，设CJ＝4k米，DJ＝3k米，则有9k2＋16k2＝4，

∴k＝，

∴BM＝CJ＝米，BC＝MJ＝1米，DJ＝米，EM＝MJ＋DJ＋DE＝米．

在Rt△AEM中，tan∠AEM＝，

∴1.6≈，解得AB≈13.1（米）．

11．A　[解析]如图，作BM⊥ED交ED的延长线于点M，CN⊥DM于点N.

在Rt△CDN中，∵＝＝，设CN＝4k，DN＝3k，∵CD＝10米，∴（3k）2＋（4k）2＝100，∴k＝2，∴CN＝8米，DN＝6米．∵四边形BMNC是矩形，∴BM＝CN＝8米，BC＝MN＝20米，EM＝MN＋DN＋DE＝66米．在Rt△AEM中，tanE＝tan24°

＝，∴0.45≈，∴AB≈21.7（米）．

12．210　[解析]由题意得斜坡的高为18×

3＝54（cm），由题意有＝，解得AC＝210（cm）．

13．解：

如图，过点A作AE⊥CC′于点E，交BB′于点F，过点B作BD⊥CC′于点D，

则△AFB，△BDC，△AEC都是直角三角形，四边形AA′B′F，BB′C′D和BFED都是矩形，

∴BF＝BB′－B′F＝BB′－AA′＝310－110＝200（米），CD＝CC′－C′D＝CC′－BB′＝710－310＝400（米）．

∵i1＝1∶2，i2＝1∶1，

∴AF＝2BF＝400米，BD＝CD＝400米．

又∵EF＝BD＝400米，DE＝BF＝200米，

∴AE＝AF＋EF＝800米，CE＝CD＋DE＝600米，

∴在Rt△AEC中，AC＝＝1000米．

钢缆AC的长度是1000米．

14．解：

（1）如图，过点E作EM⊥AB于点M.

设ME＝x米，

∴AM＝tanα·

x米，BM＝tanβ·

x米．

∵AB＝36米，∴tanα·

x＋tanβ·

x＝36，

∴tan37°

x＋tan24°

x＝36，解得x＝30，

∴AE＝≈＝37.5（米）．

点A，E之间的距离约是37.5米．

（2）如图，延长EF交DG于点N.

∵EF∥BG，∴EN⊥DG，

易知GN＝BM＝tan24°

×

30≈13.5（米），DE＝CE，EF∥BC，

∴DN＝GN≈13.5米．

∵∠DCG＝30°

，∴∠DEN＝30°

∴EN＝≈（13.5×

）米．

∵斜坡DF的坡比为∶1，

∴＝，∴∠DFN＝60°

∴∠EDF＝30°

，FN＝≈（13.5×

）米，

∴DF＝EF＝EN－FN≈（13.5×

∴EF＋DF＝27×

＝18（米）．

设施工队原计划平均每天修建y米．

根据题意，得＝＋2，解得y＝3，

经检验，y＝3是方程的根且符合题意．

施工队原计划平均每天修建3米．

【关键问答】

①直角与方向角的差，直角与方向角的和，方向角的和或差，平行线的性质定理等．

②坡角指的是坡面与水平面的夹角，坡度指的是坡角的正切值，即斜坡的垂直高度与水平宽度的比．