初中辅助线专题.docx

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初中辅助线专题

如何作辅助线

作辅助线是解几何题常用的方法。

但部分学生感到较难掌握，常常不知从何处入手。

实际上作辅助线并不太难，当然前提是已掌握了有关定义、性质、定理等知识。

总指导：

1.解几何题时，如果缺少某些已知条件，无法直接证明或求得结果，就常常需要作辅助线，先证明或求得这些条件。

2.作辅助线时，常运用逆向思维，看得到所需证明或其它结果，除已知条件外，还缺什么条件。

作什么样的辅助线，通过什么定理或等量代换可以求得所缺条件。

3.一般说，作辅助线的直接目的有：

①构成直角三角形，利用“勾股定理”、“两锐角互余”等性质或定理；

②构成全等三角形，利用“对应角相等，对应边相等”性质；

③构成相似三角形，利用“对应角相等，对应边成比例”性质；

④构成等腰三角形，利用“两腰相等，两底角相等”、“三线合一”等性质；

⑤作中位线、弦垂线、中线、平行线、直（半）径等，利用有关性质或定理；

⑥利用对称、旋转、相等、相似等原理，把有关元素关联起来，进行等量代换。

一、在解决梯形问题中：

1.“平移腰”：

把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；有时从一腰的中点作另一腰的平行线；

2.“作高”：

使两腰在两个直角三角形中（图2）；

3.“平移对角线”：

使两条对角线在同一个三角形中（图3）；

4.“延腰”：

构造具有公共角的两个等腰三角形（图4）；

5.“等积变形”：

连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）；

6.“作中位线”：

连接两腰中点（图6）。

二、在解决圆的问题中

1.切线问题：

连结过切点的半径，构成直角三角形。

2.有关弦的问题：

作弦心距，想垂径定理。

3.弧上有中点：

中点连接圆心，想垂径定理。

4.圆周角问题：

过角顶点作直径，分别连接直径另一端与角两边的端点，构成两个直角三角形。

或连接圆心与圆周角一边的端点，想圆周角定理。

5.有直径：

过两端向圆上一点作弦构成直角。

6.两圆相交：

连公共弦。

7.两圆相切：

过切点引公切线。

8.弦切角问题：

（注：

6，7，8三条内容2007年华东师大版教材未编入）

三、在解其它问题中

1.给出中点或中线：

可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。

2.给出角平分线：

可向角的两边作垂线。

3.给出线段垂直平分线：

可向线段两端作连接线。

4.在比例线段证明中：

常作平行线。

作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。

5.求证一线段为另一线段的2倍或一半：

可延长短线段一倍或将长线段平分为两段。

6.等腰三角形：

常作底边中线，想“三线合一”。

7.直角三角形：

作斜边上的中线，注意它等于斜边的一半。

8.求证线段相等：

可考虑构成全等三角形。

9.求证线段成比例：

可考虑构成相似三角形。

10.求证命题与题设条件无直接关联时：

要考虑作把求证命题与有关题设条件关联起来的辅助线。

例1．台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A、B两处的上海救捞局所属专业救助轮“华意”轮、沪救12”轮前往出事地点协助搜救．接到通知后，“华意”轮测得出事地点C在A的南偏东60°，“沪救12”轮测得出事地点C在B的南偏东30°．已知B在A的正东方向，且相距100海里，分别求出两船到达出事地点C的距离．如图．

【观察与分析】本题是考查三角函数的应用问题，其实质上是用解直角三角形的知识解斜三角形的问题。

读懂题目，弄清与方位有关的词语，是解此题的关键。

依题意知△ABC是顶角为120°的等腰三角形，过点B作底边上的高，不难求出BC、AC的长。

解：

作BD⊥AC，依题意知∠ABC＝120°，∠BAC＝30°，

∴∠C＝180°－120°－30°=30°=∠BAC，BC＝AB＝100海里。

在Rt△BDC中，∵∠C＝30°，

∴DC＝BC·Cos30°＝50．

∴AC＝100．

例2.已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，如右上图所示.

求证：

BC=AB.

【观察与分析】本题实际上是一条几何定理“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的求证。

不难看出，只要作出△ABC关于AC的对称图形△AB′C，证明2BC=AB即可。

证明：

作出△ABC关于AC对称的△AB′C.如右下图所示。

∴AB′=AB.

又∵∠CAB=30°，∴∠B′=∠B=∠B′AB=60°.

∴AB=BB′=AB′

又∵△AB′C与△ABC为对称图形，B′C与BC是对应边

∴BC=B′C=BB′=AB.

例3.如图所示，在△ABC中，∠B=60°，AB=4，BC=2.求证△ABC是直角三角形。

【观察与分析】求证△ABC是直角三角形，只要证明∠BCA=90°即可，也就是要证明∠BCA=∠B+∠A.连接AB的中点D与顶点C，可看出△BCD是一个等边三角形，而△ADC是一个底角为30°的等腰三角形。

证明：

取AB的中点D，连接CD.如右图所示。

∵BC=2，AB=4，∴BC=BD=AD=2.

∴∠BCD=∠BDC.

又∵∠B=60°，∴∠BCD=∠BDC=60°.

∴DC=BD=DA.∴∠A=∠DCA.

又∵∠BDC是△DCA的一个外角，

∴∠BDC=∠A+∠DCA=60°.

∴∠A=30°，

∴∠BCA=180°-∠B-∠A=180°-60°-30°=90°.

∴△ABC是直角三角形.

例4.如图，已知：

AD=AE，DF=EF；求证：

△ADC≌△AEB.

证明：

连结AF

∵AD=AE,DF=EF,AF=AF

∴△ADF≌△AEF

∴∠ADC=∠AEB，

AD=AE

∠DAC=∠EAB

∴△ADC≌△AEB

例5.如图，中，，，矩形的边在线段上，、分别在、上，设为.写出矩形PQED面积与的函数关系式。

解：

过作⊥，为垂足（如图），

∵AB=AC=5，BH=BC=3，∴由勾股定理得：

AH=4

∵DP∥AH，∴△BDP∽△BAH，

∴

∵PQ=BC－2BP=6－2x

∴y=PQ·DP=（6－2x）·=

例6.如图，在△ABC中，∠A=90°P为AC边的中点，PD⊥BC，D为垂足。

求证：

BD2－CD2=AB2

【观察与分析】求证△ADC≌△AEB，已知条件中尚缺两个。

只有重构一对全等三角形，来求出所需条件。

所以应作辅助线AF.

证明：

连结BP，在Rt△BPD中，BD2=BP2－PD2①

在Rt△CDP中，CD2=PC2－PD2②

由①－②得：

BD2－CD2=BP2－PC2

∵AP=PC∴BD2－CD2=BP2－AP2

又∵∠A=90°∴在Rt△ABP中，AB2=BP2－AP2

∴BD2－CD2=AB2

例7.某片绿地形状如图所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，

【观察与分析】求线段长的问题，常需要化为解直角三角形的问题。

本题只要设法构成含60°的直角三角形再求解即可。

∠A=60°，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长。

解：

作DE⊥AB，垂足为E；CF⊥DE，垂足为F.

∵∠A=60°，CD⊥AD，∴CDE=60°

∴DF=CD=50m，CF=DF=50m.

∴AE=200－50，AD=2AE=400－100

例8.为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1:

0.8的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6米（如图所示）求：

【观察与分析】解决渠道、堤坝、燕尾槽、燕尾等这一类问题，实质上就是解等腰梯形问题。

常分为一个矩形和两个直角三角形研究。

（1）渠面宽EF；

（2）修200米长的渠道需挖的土方数．

解：

（1）作BG⊥EF，垂足为G，CH⊥EF，垂足为H，则BG=CH=1.2+0.6=1.8（m）

∵坡度为1:

0.8，即

∴EG=FH=BG×0.8=1.8×0.8=1.44（m）.

∴EF=1.44×2+2=4.88（m）.

（2）用解

（1）的方法可求出AD=3.92m.

.

V=SABCD×200=3.552×200=710.4（m3）.

答：

渠面宽4.88米。

修200米长的渠道需挖的土方710.4米3。

【观察与分析】求线段之间比值，常需化为相似三角形问题来解决。

延长FE、CB交于H后，不难看出△FAE≌△HBE，△FAG∽△HCG。

从CG=5AG，可知CH=5BH，从而求得DF:

FA=3。

例9.如图，平行四边形中，是的中点，是上一点，，连EG延长交于，求的值.

解：

延长FE、CB交于H（如图）

∵AE=EB，∠FAE=∠HBE，∠FEA=∠HEB

∴△FAE≌△HBE，AF=BH

设FA=a，则HB=a

在△FAG和△HCG中，

∵三个对应角分别相等

∴△FAG∽△HCG，，得CH=5FA=5a，DA=CB=CH－BH=4a，DF=3a

∴.

例10.已知：

如图，梯形ABCD中，CD//AB，∠A=40°，∠B=70°．

求证：

AD=AB—DC．

【观察与分析】求证：

AD=AB—DC，就需将DC移到AB上。

作DE∥CB，只要证明AD=AE即可。

证明：

作DE∥CB（见右图）∵CD∥AB∴四边形CDEB是平行四边形，EB=DC.

∵∠A=40°，∠B=70°．∴∠DEA=∠B=70°．

∠ADE=180°－40°－70°=70°

∴∠ADE=∠BEDAD=AE

∴AD=AB－EB=AB－DC

例11.如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．

【观察与分析】直观感觉四边形PQMN是一个菱形。

要证明，先得证明它是平行四边形，然后证明邻边相等。

这就需要在四边形ABCD中构造三角形，用三角形中位线定理来证明。

解：

四边形PQMN为菱形，证明如下：

连接AC、BD，

∵PQ为△ABC的中位线，∴PQ∥AC，且PQ=

同理：

MN∥AC，且MN=，∴PQ∥MN，且PQ=MN

∴四边形PQMN为平行四边形

在△AEC和△DEB中，

AE＝DE，EC＝EB，∠AED＝60°＝∠CEB，

即∠AEC＝∠DEB．∴△AEC≌△DEB．∴AC＝BD．

∴PQ＝AC＝BD＝PN，∴□PQMN为菱形。

例12.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，CD是AB边上的高，

【观察与分析】根据比例性质知，求证AC·BC=AE·CD就是求证，这就需要构成相似三角形。

连接EC则一目了然。

AE是⊙O的直径．求证：

AC·BC=AE·CD．

证明：

连结EC（如右下图），∴∠B=∠E．

∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°．

∵CD是AB边上的高，∴∠CDB=90°．

在△AEC与△CBD中，∠E=∠B，∠ACE=∠CDB，

∴△AEC∽△CBD．

∴，

即AC·BC=AE·CD．

例13.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，

AB=2a，CD=a，BC=2，四边形BEFG是矩形，

点E、F分别在腰BC、AD上，点G在AB上．

设FG=x，矩形BEFG的面积为y．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）当矩形BEFG的面积等于梯形ABCD的面积的一半时，求x的值；

（3）当∠DAB=30°时，矩形BEFG是否能成为正方形，若能，求其边长；若不能