初中辅助线专题.docx

1、初中辅助线专题如何作辅助线作辅助线是解几何题常用的方法。但部分学生感到较难掌握，常常不知从何处入手。实际上作辅助线并不太难，当然前提是已掌握了有关定义、性质、定理等知识。总指导：1. 解几何题时，如果缺少某些已知条件，无法直接证明或求得结果，就常常需要作辅助线，先证明或求得这些条件。2. 作辅助线时，常运用逆向思维，看得到所需证明或其它结果，除已知条件外，还缺什么条件。作什么样的辅助线，通过什么定理或等量代换可以求得所缺条件。3. 一般说，作辅助线的直接目的有：构成直角三角形，利用“勾股定理”、“两锐角互余”等性质或定理；构成全等三角形，利用“对应角相等，对应边相等”性质；构成相似三角形，利用

2、“对应角相等，对应边成比例”性质；构成等腰三角形，利用“两腰相等，两底角相等”、“三线合一”等性质；作中位线、弦垂线、中线、平行线、直(半)径等，利用有关性质或定理；利用对称、旋转、相等、相似等原理，把有关元素关联起来，进行等量代换。一、在解决梯形问题中：1. “平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；有时从一腰的中点作另一腰的平行线；2. “作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；3. “平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；4. “延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形（图4）；5. “等积变形”：连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，

3、构成三角形（图5）；6. “作中位线”：连接两腰中点(图6)。 二、在解决圆的问题中 1. 切线问题：连结过切点的半径，构成直角三角形。 2. 有关弦的问题：作弦心距，想垂径定理。3. 弧上有中点：中点连接圆心，想垂径定理。4. 圆周角问题：过角顶点作直径，分别连接直径另一端与角两边的端点，构成两个直角三角形。或连接圆心与圆周角一边的端点，想圆周角定理。5. 有直径：过两端向圆上一点作弦构成直角。 6. 两圆相交：连公共弦。 7. 两圆相切：过切点引公切线。 8. 弦切角问题： (注：6，7，8三条内容2007年华东师大版教材未编入) 三、在解其它问题中1. 给出中点或中线：可以考虑过中点作中

4、位线或把中线延长一倍来解决相关问题。2. 给出角平分线：可向角的两边作垂线。3. 给出线段垂直平分线：可向线段两端作连接线。4. 在比例线段证明中：常作平行线。作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。5. 求证一线段为另一线段的2倍或一半：可延长短线段一倍或将长线段平分为两段。6. 等腰三角形：常作底边中线，想“三线合一”。7. 直角三角形：作斜边上的中线，注意它等于斜边的一半。8. 求证线段相等：可考虑构成全等三角形。9. 求证线段成比例：可考虑构成相似三角形。10. 求证命题与题设条件无直接关联时：要考虑作把求证命题与有关题设条件关联起来的辅助线。

5、例1台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A、B两处的上海救捞局所属专业救助轮“华意”轮、沪救12”轮前往出事地点协助搜救接到通知后，“华意”轮测得出事地点C在A的南偏东60，“沪救12”轮测得出事地点C在B的南偏东30已知B在A的正东方向，且相距100海里，分别求出两船到达出事地点C的距离如图【观察与分析】本题是考查三角函数的应用问题，其实质上是用解直角三角形的知识解斜三角形的问题。读懂题目，弄清与方位有关的词语，是解此题的关键。依题意知ABC是顶角为120的等腰三角形，过点B作底边上的高，不难求出BC、AC的长。解：作BDAC，依题意知ABC120，BAC30，C1801

6、2030=30=BAC， BCAB100海里。在RtBDC中，C30，DCBCCos3050 AC100例2. 已知：在ABC中，C=90，A=30，如右上图所示.求证：BC=AB.【观察与分析】本题实际上是一条几何定理“直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半”的求证。不难看出，只要作出ABC关于AC的对称图形ABC，证明2BC=AB即可。 证明：作出ABC关于AC对称的ABC.如右下图所示。AB=AB.又CAB=30，B=B=BAB=60.AB=BB=AB又ABC与ABC为对称图形，BC与BC是对应边BC=BC=BB=AB.例3. 如图所示，在ABC中，B=60，AB=4，BC=2.

7、求证ABC是直角三角形。【观察与分析】求证ABC是直角三角形，只要证明BCA=90即可，也就是要证明BCA=B+A.连接AB的中点D与顶点C，可看出BCD是一个等边三角形，而ADC是一个底角为30的等腰三角形。证明：取AB的中点D，连接CD.如右图所示。BC=2，AB=4，BC=BD=AD=2.BCD=BDC.又B=60，BCD=BDC=60.DC=BD=DA.A=DCA.又BDC是DCA的一个外角，BDC=A+DCA=60.A=30，BCA=180-B-A=180-60-30=90.ABC是直角三角形.例4. 如图，已知：AD=AE，DF=EF；求证：ADCAEB.证明：连结AF AD=AE

8、, DF=EF, AF=AFADFAEFADC=AEB，AD=AE DAC=EABADCAEB例5. 如图，中，矩形的边在线段上，、分别在、上，设为.写出矩形PQED面积与的函数关系式。解：过作，为垂足(如图)，AB=AC=5，BH=BC=3，由勾股定理得：AH=4DPAH，BDPBAH，PQ=BC2BP=62xy=PQDP=(62x)=例6. 如图，在ABC中，A=90P为AC边的中点，PDBC，D为垂足。求证：BD2CD2 = AB2【观察与分析】求证ADCAEB，已知条件中尚缺两个。只有重构一对全等三角形，来求出所需条件。所以应作辅助线AF.证明：连结BP，在RtBPD中，BD2= BP

9、2PD2 在RtCDP中，CD2= PC2PD2 由 得： BD2CD2 = BP2PC2 AP=PC BD2CD2 = BP2AP2又 A=90 在RtABP中，AB2= BP2AP2 BD2CD2= AB2例7. 某片绿地形状如图所示，其中ABBC，CDAD，【观察与分析】求线段长的问题，常需要化为解直角三角形的问题。本题只要设法构成含60的直角三角形再求解即可。A=60，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长。解：作DEAB，垂足为E；CFDE，垂足为F.A=60，CDAD，CDE=60DF=CD=50m， CF=DF=50m.AE=20050，AD=2AE=400100例8.

10、 为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1:0.8的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6米（如图所示）求：【观察与分析】解决渠道、堤坝、燕尾槽、燕尾等这一类问题，实质上就是解等腰梯形问题。常分为一个矩形和两个直角三角形研究。（1）渠面宽EF；（2）修200米长的渠道需挖的土方数 解：(1)作BGEF，垂足为G，CHEF，垂足为H，则BG=CH=1.2+0.6=1.8(m)坡度为1:0.8，即EG=FH=BG0.8=1.80.8=1.44(m).EF=1.442+2=4.88(m).(2)用解(1

11、)的方法可求出AD=3.92m.V=SABCD200=3.552200=710.4(m3).答：渠面宽4.88米。修200米长的渠道需挖的土方710.4米3。【观察与分析】求线段之间比值，常需化为相似三角形问题来解决。延长FE、CB交于H后，不难看出FAEHBE，FAGHCG。从CG=5AG，可知CH=5BH，从而求得DF:FA=3。例9. 如图，平行四边形中，是的中点，是上一点，连EG延长交于，求的值.解：延长FE、CB交于H(如图)AE=EB，FAE=HBE，FEA=HEB FAEHBE，AF=BH设FA=a，则HB=a在 FAG和HCG中，三个对应角分别相等 FAGHCG，得CH=5FA

12、=5a，DA=CB=CHBH=4a，DF=3a .例10. 已知：如图，梯形ABCD中，CD/AB，A=40，B=70求证：AD=ABDC【观察与分析】求证：AD=ABDC，就需将DC移到AB上。作DECB，只要证明AD=AE即可。 证明：作DECB(见右图) CDAB 四边形CDEB是平行四边形，EB=DC.A=40，B=70DEA=B=70ADE=1804070=70ADE=BED AD=AEAD=ABEB=ABDC例11. 如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，ADE和BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你

13、的结论【观察与分析】直观感觉四边形PQMN是一个菱形。要证明，先得证明它是平行四边形，然后证明邻边相等。这就需要在四边形ABCD中构造三角形，用三角形中位线定理来证明。解：四边形PQMN为菱形，证明如下：连接AC、BD， PQ为ABC的中位线，PQAC，且PQ=同理：MNAC，且MN=，PQMN，且PQ=MN 四边形PQMN为平行四边形在AEC和DEB中，AEDE，ECEB，AED60CEB，即 AECDEB AECDEB ACBD PQACBDPN， PQMN为菱形。例12. 如图，已知O是ABC的外接圆，CD是AB边上的高，【观察与分析】根据比例性质知，求证ACBC=AECD就是求证，这就

14、需要构成相似三角形。连接EC则一目了然。AE是O的直径 求证：ACBC=AECD证明：连结EC(如右下图)，B=E AE是O的直径，ACE=90 CD是AB边上的高，CDB=90 在AEC与CBD中，E =B，ACE=CDB，AECCBD ， 即ACBC=AECD 例13. 如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC=90，AB=2a，CD=a，BC=2，四边形BEFG是矩形，点E、F分别在腰BC、AD上，点G在AB上 设FG = x，矩形BEFG的面积为y（1）求y关于x的函数关系式；（2）当矩形BEFG的面积等于梯形ABCD的面积的一半时，求x的值；（3）当DAB=30时，矩形BEFG是否能成为正方形，若能，求其边长；若不能