复旦高等数学答案文档格式.docx
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由已知显然有函数的定义域为（-∞,+∞）,又当x?
0时,时,sin
可以是不为零的任意实数,此
可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].
x1?
4.没f（x）?
求f（0）,f（?
x）,f（）.
x
1
f（0）?
01?
1,f（?
x）1?
1,f（）?
x1?
1x?
11?
5.设f（x）?
1,?
1,
00?
2
求f（x?
1）.
f（x?
（x?
1,0?
.
x,1?
6.设f（x）?
2,g（x）?
xlnx,求f（g（x））,g（f（x））,f（f（x））和g（g（x））.解:
f（g（x））?
g（x）
xlnx
g（f（x））?
f（x）lnf（x）?
2?
ln2?
（xln2）?
2,
f（f（x））?
f（x）
g（g（x））?
g（x）lng（x）?
xlnxln（xlnx）.
3
7.证明:
f（x）?
2x?
1和g（x）?
.
证:
由y?
1解得x?
故函数f（x）?
2x3?
1的反函数是y?
r）,
这与g（x）?
是同一个函
数,所以f（x）?
8.求下列函数的反函数及其定义域:
（1）y?
2x?
5
（3）y?
3
（1）由y?
解得x?
y1?
y
所以函数y?
的反函数为y?
（2）由y?
ln（x?
2）?
1得x?
ey?
所以,函数y?
1的反函数为y?
ex?
2（x?
r）.
（3）由y?
32x?
5解得x?
（log3y?
5）
（log3x?
5）（x?
0）.
5的反函数为y?
（4）由y?
cos3x得cosx?
故x?
arccos.
又由?
cosx?
1得0?
数为y?
arccos
（0?
2）.
9.判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:
lnx
（1）函数的定义域为（-∞,+∞）,当x?
0时,有故?
）,有y?
又因为函数y?
0,当x?
0时,有
x2x
.即函数y?
有上界.
为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函
数必有下界,因而函数y?
有界.
又由y1?
y2?
x11?
21
x21?
（x1?
x2）（1?
x1x2）（1?
x）（1?
知,当x1?
x2且x1x2?
1时,y1?
y2,而
当x1?
y2.故函数y?
在定义域内不单调.
（2）函数的定义域为（0,+∞）,
m?
0且x1?
m;
x2?
e
m
0,使lnx2?
m.
取x0?
max{x1,x2},则有x0?
lnx0?
lnx2?
2m?
m,所以函数y?
lnx在定义域内是无界的.又当0?
x2时,有x1?
0,lnx1?
故y1?
（x1?
lnx1）?
（x2?
lnx2）?
x2）?
（lnx1?
0.即当0?
x2时,恒有y1?
y2,所以函数y?
lnx在（0,?
）内单调递增.10.判断下列函数的奇偶性:
（1）f（x）?
2x
2x
sinx.
解
:
（1）?
f（?
f（x）
（2）?
f（?
函数y?
e?
sin（?
（e
sinx）?
sinx是奇函数.
11.设f（x）定义在（-∞,+∞）上,证明:
（1）f（x）?
x）为偶函数;
（2）f（x）?
x）为奇函数.证:
（1）设f（x）?
x）,则?
）,有f（?
f（x）故f（x）?
x）为偶函数.
（2）设g（x）?
）,
有g（?
[f（x）?
x）]?
g（x）
故f（x）?
x）为奇函数.
12.某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数（销售均匀是指商品库存数为批量的一半）.解:
设年销售批数为x,则准备费为10x;
又每批有产品
10x
6
件,库存数为
10
件,库存费为
0.05元.
设总费用为,则y?
10x?
10?
0.05
13.邮局规定国内的平信,每20g付邮资0.80元,不足20g按20g计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y与重量x的关系.解:
当x能被20整除,即[
x20]?
x20x20
时,邮资y?
x20
0.80?
x25
当x不能被20整除时,即[]?
时,由题意知邮资y?
0.80.?
20?
25,?
综上所述有y?
0.80,?
20
0?
2000且0?
2000且
;
.?
其中
xx?
1的最大整数.,分别表示不超过,?
2020?
图1-1
s0?
h（ad?
bc）?
h（2hcot?
bc?
h（bc?
hcot?
）
从而bc?
s0h
l?
ab?
cd（ab?
cd）?
hsin?
s0h
2?
cos?
sin?
h?
cos40sin40
h
【篇二：
高等数学复旦大学版黄立宏修订版习题二答案详解】
ass=txt>
详解
1．设s?
ds12gt，求dt2.t?
解：
dsds?
2g.?
gt，故dtt?
2dt
2．
（1）设f（x）?
1，求f?
（x0）x
0（x0?
0）;
f?
（x0）?
（x）x?
1.2x0
（2）设f（x）?
x（x?
1）（x?
n）,求f?
（0）.解：
（0）?
limf（x）?
f（0）?
lim（x?
n）x?
0x?
1）nn!
23.试求过点（3，8）且与曲线y?
x相切的直线方程.
曲线上任意一点（x,y）处的切线斜率为k?
2x.因此过（3，8）且与曲线相切的直线方程为：
y?
8?
2x（x?
3）y?
3），且与曲线的交点可由方程组解得?
为（2，4），（4，16）即为切点.
故切线方程为：
4（x?
2）,y?
16?
8（x?
4）.
4．下列各题中均假定f?
（x0）存在，按照导数定义观察下列极限，指出a表示什么.f（x0?
f（x0）?
a;
f（x0?
f（x0）f（x0?
lim?
（x0）解：
x
（1）lim
故a?
（x0）
（2）f（x0）?
0,limx?
x0f（x）?
x0?
解：
limf（x）
（00?
xx?
xxx
00）0?
（x0）（3）limf（x0?
h）?
f（x0?
h）
0h?
a.
limf（x0?
limh?
h?
limf（x0?
f（x0）
h
2f?
（x0）
（x0）.
5．求下列函数的导数:
（1）y?
（2）y?
y3x3
（3）y?
25
3?
x6
6x?
y6.
．讨论函数y在x?
0点处的连续性和可导性.
f（0）,故函数在x?
0处连续.
又lim0?
limx?
0x3?
故函数在x?
0处不可导.
7.如果f（x）为偶函数，且f?
（0）存在，证明：
0.
证明：
f?
limf（?
f（0）x?
（0）,
故f?
8．求下列函数在x0处的左、右导数，从而证明函数在x0处不可导.
（1）y?
sinx,x?
0,
x3,x?
0,x0?
0;
ff（x）?
f（0）
xlim?
xlimsinx?
ff（x）?
f（0）x3
因f?
（0），故函数在x0?
0处不可导.?
（2）y?
e1,x?
0,x
0,x?
lim1
e1?
0,ff（x）?
1,因f?
x2,x?
1,x0?
证明：
f
（1）
（1）?
2,
f
（1）x2
（1）x?
（1），故函数在x0?
1处不可导.
9．已知f（x）?
sinx,
x,x?
0,求f?
（x）.x?
当x?
0时，f?
（x）?
cosx,
当x?
sinx?
0当x?
1,f?
l0?
ix?
1,
综上所述知f?
cosx,x?
1,x?
10．设函数f（x）?
ax?
b,x?
为了使函数f（x）在x?
1点处连续且可导，a,b应取什么值？
因lim2
xlim?
b）?
a?
b
要使f（x）在x?
1处连续，则有a?
b?
1,又ff（x）?
limax?
1ax
a
a,
1处可导，则必须f?
（1），
即a?
2.故当a?
2,b?
1时，f（x）在x?
1处连续且可导.
11.讨论下列函数在指定点的连续性与可导性:
因为limx?
0y?
yx?
0,所以此函数在x?
0处连续.又ff（x）?
sinx
f（0）sinx
（0），故此函数在x?
2xsin,x?
y（0）,故函数在x?
0处连续.x?
0x
1x2sinf（x）?
0,又y?
故函数在x?
0处可导.解：
因为limxsin2
（3）y?
1.2?
limf（x）?
lim（2?
1解：
因为x?
1x?
f
（1）?
1,故函数在x=1处连续.?
又f?
f
（1）x?
f（x）?
f
（1）2?
1f?
1?
（1），故函数在x=1处不可导.
12.证明：
双曲线xy?
a上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a.
在双曲线上任取一点m（x0,y0）,22
a2a2
则y?
y?
2,y?
xxx?
0a2?
2，x0
a2
则过m点的切线方程为：
y0?
2（x?
x0）x0
2x0y0x0a2
令y?
x0?
2x0aa
得切线与x轴的交点为（2x0,0），xya2
令x?
2y0x0x0
得切线与y轴的交点为（0,2y0），
【篇三：
高等数学复旦大学出版社习题答案三】
函数f（x）?
lnsinx在[,
]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的?
，使66
）?
]上连续，在（,）上可导，且f（）?
f（）?
ln2，666666
6666
cotx?
0得x?
（,）,故取?
，可使f?
0.事实上，由f?
sinx2662
证：
lnsinx在区间[,
2.下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件？
有没有满足定理结论中的?
？
x2,0?
⑴f（x）?
[0,1]；
0,x?
⑵f（x）?
[0,2]；
1,x?
⑴f（x）在[0,1]上不连续，不满足罗尔定理的条件.而f?
2x（0?
1），即在（0，1）内不存在?
，使f?
0.罗尔定理的结论不成立.
1,1?
x,0?
（1）不存在，即f（x）在区间（0,2）内不可导，不满足罗尔定理的条件.
2,而f?
1,0?
1.?
即在（0，2）内不存在?
，使f?
0.有满足罗尔定理结论的2
故罗尔定理的三个条件是使结论成立的充分而非必要条件.
3.函数f（x）?
2）（x?
1）x（x?
2）的导函数有几个零点？
各位于哪个区间内？
因为f
（2）?
0，则分别在[－2，－1]，[－1，0]，
[0，1]，[1，2]上应用罗尔定理，有?
2,?
1）,?
1,0）,?
（0,1）,?
（1,2）,使得f?
3）?
4）?
0.因此，f?
（x）至少有4个零点，且分别位于（?
1）,（?
1,0）,（0,1）,（1,2）内.
4.验证：
拉格朗日定理对函数f（x）?
x3?
2x在区间[0，1]上的正确性.
验证：
因为f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，满足拉格朗日定理的条件.由f
（1）?
）（1?
0）得3?
解得?
，即存在?
使得拉格朗日定理的结论成立.5.如果f?
（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导且f?
（a）?
0,f?
0,证明：
f（b）?
f（a）.
因为f?
（x）在[a,b]上连续，在（a，b）内可导，故在[a，x]上应用拉格朗日定理，则?
（a,x）,（a?
b），使得f?
于是f?
0,故有f（b）?
f（a）
6.设f（a）?
f（c）?
f（b），且a?
c?
b,f?
（x）在[a，b]内存在，证明：
在（a，b）内至少有一点?
（x）在[a，b]内存在，故f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且
（a）
f（a）?
f（b），故由罗尔定理知，?
（a,c），使得f?
0，?
（c,b），
使得f?
0，又f?
（x）在[?
2]上连续，在（?
2）内可导，由罗尔定理知，
2），使f?
0，即在（a，b）内至少有一点?
7.已知函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）?
0，试证：
，使得
0,?
（a,b）.
令f（x）?
ex,f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）?
0，由罗尔定理知，?
（a,b），使得f?
，即f?
）0?
e,即
8.证明恒等式：
2arctanx?
arcsin,
x2
2arctanx?
arcsin
2（1?
（1?
x2）2
22
022
f（x），g（x）在[0,足柯西定理的条件.
]上验证柯西定理的正确性.
]上连续，在（0,）内可导，且g?
0，满22
f（）?
（0,）满足柯西定理的结论.故?
2arctan
222
b）内有n阶导数，且10.设f（x）在[a,b]上有（n?
1）阶连续导数，在（a,
f（b）?
f（a）?
f（n?
1）（a）?
0.试证：
在（a,b）内至少存在一点?
，使f（n）（?
首先，对f（x）在[a,b]上应用罗尔定理，有a1?
（a,b），即a?
a1?
b，使得其次，对f?
（x）在[a,b]上应用罗尔定理，有a2?
（a1,b），即a?
a2?
b，f?
（a1）?
0；
（a2）?
一,般地，设在（a,b）内已找到n?
1个点a1,a2,?
an?
1,其中
an?
b,使得f（n?
1）（an?
0，则对f（n?
1）（x）?
0在[an?
1,b]上应用
罗尔定理有?
（an?
1,b）?
（a,b）,使得f（n）（?
0.11.利用洛必达法则求下列极限：
⑴lim
（?
2x）3;
⑶limex?
0x（ex?
⑷limsinx?
sinax?
xm
am
ln（1?
⑸lim）
axn?
an;
⑹xlim?
arccotx;
⑺lnx
cotx
⑻xlim?
sinxlnx;
⑼lim（ex1
）;
⑽lim1xx
（lnx）;
⑾xlim?
（21
arctanx）x
⑿lim（1x?
sinx）x;
⒀xlim[ln?
ln（1?
x）];
⒁
x）;
⒂limex?
esinxx?
sinx;
⒃lim（sinxxx?
⒄lim[1
11
x）x]x.
0e
⑴原式=lim
5
⑵原式=?
1cotx1?
csc24lim
28
⑶原式=limex?
1exx?
0ex?
xex?
02ex?
lim1x?
02?
⑷原式=lim
cosx
a1
cosa.
⑸原式=lim
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